小船渡河问题

小船渡河问题
1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2.三种速度：船在静水中的速度v 1、水的流速v 2、船的实际速度v 。

3.三种情况
(1)渡河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，t min ＝d v 1
(d 为河宽)。

(2)渡河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x min ＝d 。

(3)渡河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。

确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆
弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。

由图可知sin θ＝v 1v 2，最短航程x min ＝d sin θ＝v 2v 1
d 。

【题型1】已知某船在静水中的速度为v 1＝5 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，水流速度为v 2＝3 m/s ，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v 2′＝6 m/s ，船在静水中的速度为v 1＝5 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河？
【答案】(1)20 s 2034 m (2)25 s (3)不能
【解析】(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短
时间为t ＝d v 1＝1005
s ＝20 s. 如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l ＝d 2＋x 2，由题意可得x ＝v 2t ＝3×20 m ＝60 m ，代入得l ＝2034 m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v 1＝5 m/s ，大于水流速度v 2＝3 m/s ，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向
上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v 1cos θ＝v 2，cos θ＝v 2v 1
＝0.6，则sin θ＝1－cos 2 θ＝0.8，船的实际速度v ＝v 1sin θ＝5×0.8 m/s ＝4 m/s ，所用的时间为t ＝d v ＝1004
s ＝25 s.
(3)当水流速度v 2′＝6 m/s 时，则水流速度大于船在静水中的速度v 1＝5 m/s ，不论v 1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
【题型2】一小船在静水中的速度为3 m/s ，它在一条河宽为150 m ，水流速度为4 m/s 的河流中渡河，则该小船( )
A ．能到达正对岸
B ．渡河的时间可能少于50 s
C ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D ．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
【答案】C
【解析】因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A 错误；
当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t ＝d v 船
＝50 s ，故渡河时间不能少于50 s ，故B 错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x ＝v 水t ＝200 m ，故C 正确；当v 船与实际运动
方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cos θ＝34，故渡河位移s ＝d cos θ
＝200 m ，故D 错误。

【题型3】如图所示，河宽d ＝120 m ，设小船在静水中的速度为v 1，河水的流速为v 2.小船从A 点出发，若船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min ，小船恰好到达河正对岸的C 点；若船头指向河正对岸的C 点，经过8 min ，小船到达C 点下游的D 点.求：
(1)小船在静水中的速度v 1的大小；
(2)河水的流速v 2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离s CD .
【答案】(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
【解析】(1)小船从A 点出发，若船头指向河正对岸的C 点，则此时v 1方向的位移为d ，
故有v 1＝d t min ＝12060×8
m/s ＝0.25 m/s. (2)设AB 与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C 点，故v 1沿河岸方
向的分速度大小恰好等于河水的流速v 2的大小，即v 2＝v 1cos α，此时渡河时间为t ＝d v 1sin α，
所以sin α＝d v 1t ＝0.8，故v 2＝v 1cos α＝0.15 m/s. (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为s CD ＝v 2t min ＝72 m.
【题型4】如图所示，一条小船位于200 m 宽的河中央A 点处，离A 点距离为100 3 m 的下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s ，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止水中的速度至少为( )
A ．433 m/s
B ．833
m/s C ．2 m/s D ．4 m/s
【答案】C
【解析】小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan θ＝1001003＝33
，则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速度v min ＝v 水sin 30°＝2 m/s ，C 正确.
针对训练
1.船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图乙所示，经过一段时间该船以最短时间成功渡河，下列对该船渡河的说法错误的是
( )
A ．船在河水中的最大速度是5 m/s
B ．船渡河的时间是150 s
C ．船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D ．船渡河的位移是13×102 m
【答案】B
【解析】由题图乙可知，水流的最大速度为4 m/s ，根据速度的合成可知，船在河水中的最
大速度是5 m/s ，选项A 正确；当船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短，有t ＝d v ＝3003
s ＝100 s ，因此船渡河的时间不是150 s ，选项B 错误，C 正确；在渡河时间内，船沿水流方向的位移x 在数值上等于水流速度与时间图像所围成的面积大小，根据速度变化的对称性可
得x ＝4×1002
m ＝200 m ，再根据运动的合成与分解可得，船渡河的位移为13×102 m ，选项
D 正确。

2.如图所示，一条小河，河宽d ＝60 m ，水速v 1＝3 m/s 。

甲、乙两船在静水中的速度均为v 2＝5 m/s 。

两船同时从A 点出发，且同时到达对岸，其中甲船恰好垂直到达正对岸的B 点，乙船到达对岸的C 点，则（ ）
A ．α＝β
B ．两船过河时间为12 s
C ．两船航行的合速度大小相同
D ．BC 的距离为72 m
【答案】A 【解析】因为同时到达对岸，所以d v 2cos α＝d v 2cos β，解得α＝β，A 正确；当船垂直岸渡河时t ＝d v 2
＝12 s ，现在两船在垂直河岸方向上的速度小于v 2，故渡河时间大于12 s ，B 错误；由于两船的方向不同，而水流方向相同，根据平行四边形定则可得两者的合速度不同，C 错误；
根据几何知识可得cos α＝cos β＝45，所以sin β＝35，故乙船在水流方向的速度为v ＝3＋35
×5＝6 m/s ，渡河时间为t ′＝60v 2cos β
＝15 s ，所以BC 的距离为x BC ＝vt ′＝6×15 m ＝90 m ，D 错误。

3.某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定．已知此人过河最短时间为T 1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T 2；已知船的划行速度大于水速．则船的划行速率与水流速率之比为( )
A ．T 2T 22－T 21
B ．T 2T 1
C ．T 1T 21－T 22
D ．T 1T 2
【答案】A
【解析】设河宽为d ，设船在静水中的速率为v 1，水流速为v 2.
最短时间过河时，船头与河岸垂直，T 1＝d v 1
最小位移过河时，v 合＝v 21－v 22 T 2＝d v 合＝d v 21－v 22
联立解得v 1v 2＝T 2T 22－T 21
.A 选项正确． 4.(多选)如图，河水由西向东流，河宽为800 m ，河中各点的水流速度大小为v 水，各点到
较近河岸的距离为x ，v 水与x 的关系为v 水＝3400
x (m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v 船＝4 m/s ，下列说法正确的
是( )
A ．小船渡河的轨迹为直线
B ．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C ．小船渡河的时间是200 s
D ．小船在距南岸200 m 处的速度小于距北岸200 m 处的速度
【答案】BC
【解析】小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，选项A 错误；当小船行驶到河中央时
水流速度最大，v 水＝3400
×400 m/s ＝3 m/s ，那么小船在河水中的最大速度v max ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，选项B 正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的时间是t ＝d v 船＝8004
s ＝200 s ，选项C 正确；在距南岸200 m 处的河水速度大小与距北岸200 m 处的河水速度大小相等，根据矢量的合成法则，则两种情况下小船的合速度大小相等，选项D 错误.
5.(多选)如图所示，河宽为L ，河水流速为u ，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为v 。

出发时两船相距d ，行驶过程中两船船身均与岸边成45°，乙船最终到达正对岸的A 点，两船始终没有相遇。

则下列说法正确的是（ ）
A ．v ∶u ∶1
B ．两船行驶的路程相等
C ．两船同时到达河对岸
D ．L<d /2
【答案】ACD
【解析】根据乙船最终到达正对岸的A 点，可知乙船的合速度沿虚线方向，v ∶u ∶1，选项A 正确。

乙船是以最短路程过河，而甲船的合速度方向与河岸夹角小于45°，甲船行驶的路程大于乙，选项B 错误。

甲船垂直河岸的分速度等于乙船垂直河岸的分速度，所以两船同时到达河对岸，选项C 正确。

甲船沿河岸方向的分速度为v cos45°+u ，过河时间t=L/ v sin45°，两船始终没有相遇，d>(v cos45°+u) L / v sin45°=L+uL/ v sin45°=2L ，所以L<d /2，选项D 正确。