《17.2 勾股定理的逆定理》课件(2课时)

由上面的几个例子你有什么发现？
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.
命题2与上节命题1的题设和结论有何关系?
题设
结论
命题1：直角三角形
a2+b2=c2
命题2： a2+b2=c2
直角三角形
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命 题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆 命题.
C
长，且满足两条较小边的平方和等于最
长边的平方，即可判断此三角形为直角
三角 ，最长边所对角为直角.
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定 理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的
逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如:
1.勾股定理及其逆定理,
解：（2）因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不 符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是那么哪一个角是直角？ (3) a=1 b=2 c= 3 ;
解：（3）因为 12+（ 3）2 =4=22，根据勾股定理的逆定理，
如图南北方向pq以东为我国领海以西为公海晚上10时28分我边防反偷渡巡逻101号艇在a处发现其正西方向的c处有一艘可疑船只正向我沿海靠近便立即通知下在pq上b处巡逻的103号艇注意其动向经检测ac10海里bc8海里若该船只的速度为128海里小时则可疑船只最早何时进入我领海
第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理
例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15;
解（：1）因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根 据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠A 是直角.
(2) a=13 b=14 c=15;
=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
D
例2 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，
晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西
方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下
在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，
BC=8海里，若该船只的速度为12.8海里/小时，果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 ,那么这
个三角形是直角三角形.
2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上
的高为(B )
A.17
B.15
C.8
D.120
17
3.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25.则∠B =90º.
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合作探究
①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形; ②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直 角三角形.
我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断
是否为直角三角形呢？
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合作探究
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打 上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角 便是直角．你认为结论正确吗？
（1）（1（3）12）
（2）
（11）
（3）
（10） （9）
（4） （5）（6）（7）（8）
相传，大禹治水 时也用这类似的 方法确定直角.
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具体做法：把一根绳子打上等距离的13 个结，然后把第1个结和第13个结用木桩 钉在一起，再分别用木桩把第４个结和 第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成 了一个三角形，其中有一个角是直角 .
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（3）勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角 的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化 为解决直角三角形问题所需的条件.
例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15; (2) a=13 b=14 c=15; (3) a=1 b=2 c= 3 ; (4) a:b: c=3:4:5; 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最 大边的平方.
2.两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系? 答：任何命题都有逆命题，因为命题不管真假；
但并不是所有的定理都有逆定理，因定理的逆命题不一定是
真命题.
例1 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成 立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
课堂小结
1.运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？
（1）要正确使用勾股定理的逆定理，只有弄清楚满足的关 系式a2+b2=c2,其中a,b是两较短边，c是最长边；最长边所对 的角才是直角.
（2）在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理 是”黄金搭挡”，经常配套使用，即有时先用勾股定理，再 用其逆定理；有时先用其逆定理再用勾股定理，要视具体情 况而定.
的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25； 9，40，41；等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17； 10，24，26；等等
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组 数同样是勾股数.
课堂小结
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么 作用？
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
断△ACD是直角三角形.
C
4
12
B
3
D
A
13
例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3 ，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
解:
连接AC.
C
4
12
B
3
A
13
在 Rt△ABC 中，
ACB= AB2+BC2= 32+42 =5 在△ACD 中， AC2+CD2=52+122=169，AD2=169， 所以△ACD 是直角三角形， 且∠ACD=90°。 所以四边形 ABCD 的面积
aC
A
a2 b2 c2 AB 2 c2 取正得AB c
在ABC 和ABC 中 AC AC
c
b
BC
BC
AB AB
B
C
a
∴∠C= ∠C′=900
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
△ABC是直角三角形.
A
a2+b2=c2
直角三角形
c Ba
b 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三 角形的判定定理，即已知三角形的三边
如果三角形的三边分别为3，4，5， 这些数满足关系：32+42=52，围成的 三角形是直角三角形．
动手画一画
实验操作： 下列各组数中的两数平方和等于第三数 的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它 们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5；
② 4，7.5，8.5．
（1）这二组数都满足 a2b2 c2 吗？ （2）它们都是直角三角形吗？ （3）提出你的猜想：
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答：不对，错在没有分清最长边. 正确解答如下： ∵a2+c2=( 5)2 +12=6,b2=( 6)2 =6, ∴a2+c2= b2, ∴由 a,b,c 为边组成的三角形是直角三角形.
知识要点
勾股定理逆定理使用“误区”
判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的 平方和是否等于最长边的平方和.不能简单地看某两边的 平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判.
勾股定理及其逆定理使用方法
解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定 理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断 一个三角形是否是直角三角形的.
例1 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3 ，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
提示
连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定 理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角 形是不是直角三角形.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
问题引入
1. 直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角； (2)两锐角互余； (3)勾股定理； (4)直角三角形30°角的性质.
2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历 了哪些过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到 探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的 过程.
第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标
1.应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认 识．
P B
即6×8=10BD，解得BD=24/5
C
在Rt△BCD中，
CD BC 2 BD2 82 ( 24)2 6.4 5
又∵该船只的速度为12.8海里/小时，
A D
Q
∴需要6.4÷12.8=0.5小时=30分钟进入我领海，
即最早晚上10时58分进入我领海.
解题反思：
找出CD是为该船只进入我领海的最短路线， 也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南 北方向和东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC， 又由△ABC三边的数量关系可判定△ABC是直角 三角形，于是本题便构造成直角三角形应用勾及 其逆定理.
这个三角形是直角三角形，∠B 是直角.
(4) a:b: c=3:4:5;
解：（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为 （3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个 三角形是直角三角形，∠C是直角.
解题小结：
勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长
？
△ABC是直角三角形
构造两直角边 分别为a,b的 Rt△A′B′C′
A
c
b
B aC
△ABC≌ △ △A′B′C′
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．A 求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，
c
b
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则 AB 2 BC 2 AC 2 a2 b2 B
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a 、 b ，斜边为c满足a2+b2=c2.
勾股定理的逆命题
互逆命题
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.
证明结论
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形．
∠C是直角
北
早何时进入我领海？
东
分析：根据勾股定理的逆定可得出
P
△ABC是直角三角形，然后利用勾股定
B
理的逆定理及直角三角形的面积公式可
求出PD的值，然后再利用勾股定理便 C
A D
可求出CD的长.
Q
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
北
即△ABC是直角三角形。
东
设PQ与AC相交于点D，根据三角形 面积公式有BC·AB=AC·BD
内容是：如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形. 作用：把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来 判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形 的判定依据.
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（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你 能说出它们之间的关系吗？
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题， 其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
活动：探究用勾股定理逆定理应用举例 引例 判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否
是直角三角形，其中a= 6 ,b=1, c= 5 .
小明的解法是：
∵a2+b2=( 6)2 +12=7,c2=( 5)2 , ∴a2+b2= c2, ∴由 a,b,c 为边组成的三角形不是直角三角形.
请问小明的解法对吗？如对，请说明其依据是什么？ 如不对，错在哪里？写出正确的解答过程.