小学四年级上册《数学与思考》第一讲

第一讲探索规律（一）

高斯的故事中，我们已经领悟了规律问题。数列里相邻两个数的差都相等，这就是共同拥有的特征，就是一种规律，在我们的学习中有许多数字是按某种规律排列的，只要同学们多观察，善于动脑，一定会找到它们的排列规律。并运用规律解决实际问题。

例1 找出下面数列的变化规律，并运用规律在括号里填上适当的数。

（1）1，6，11，16，21，（），（）

（2）60，48，36，（），（），（）

（3）1，4，9，16，（），（）

（4）81，27，9，（），（）

分析与解：寻找数列的变化规律，关键看变化过程。

（1）从左往右看，逐渐增加，相邻两个数的差为5，括号内应填26，31。（2）从左往右看，逐渐减少，相邻两个数的差为12，括号内应填24，12，0。（3）看大小，逐渐增加，可是增加的数却不相同，相邻两个数的差分别是3，5，7，……，推出括号里应填25，36。换个角度思考，可以发现数列的变化规律：1×1，2×2，3×3，4×4，……太简单了。

（4）看得出从大到小的变化规律吗？原来前一个数都是后一个数的3倍，括号里应填（），（），棒！

例2 寻找规律，并运用规律填数。

（1）1，1，2，3，5，8，13，（），（）

（2）2，3，5，8，12，17，（），（）

分析与解：

（1）相邻两个数的关系很难找，如果看三个数就有规律了。从第三个数开始，后面的数都是前面两个数的和，括号里应填8+13=21，13+21=34。

（2）把相邻两个数的差写下来看。

1，2，3，4，5，……

原来如此，括号里填23，30。

例3 已知下面数列的变化如下，请接着后面写出两个数。

（1）1，5，2，10，3，15，4，20

（2）0，3，8，15，24

分析与解：

（1）数的大小变化没有明显的规律。如果隔一个数去看，你就会有所发现。实际它是由1，2，3，4，……与5，10，15，20，……这两个数列组合而成的。后两个数为5，25。

（2）相邻两个数的差分别为：3，5，7，9，即24+11=35，35+13=48，如果要我们写出更多的数，这种方法就很难了。看下面的比较。

1，4，9，16，25

0，3，8，15，24

可以知道下面的数列是由上面的各数分别减1得到的。这样运用更方便。

例4 在括号里填上适当的数。

（1）1，3，7，15，31，（），（）

（2）2，6，12，20，30，（），（）

分析与解：

（1）看差的变化：2，4，8，16，……括号里填63，127，也可以这样想：

1×2+1=3 15×2+1=31

3×2+1=7 31×2+1=63

7×2+1=15 63×2+1=127

（2）相邻两数的差有规律：如下4，6，8，……

括号里应填：30+12 = 42， 42+14=56

还有一个规律是：1×2=2，2×3=6，3×4=12，4×5=20，5×6=30，6×7=42，7×8=56。

[方法与技巧]

１．有趣吧！数列的变化是多样的，同一个数列，思考的角度不同，所描述的规律是不同的。但有一点没有变化，无非是探求数与数之间的和、差、积、商的关系。

２．数列的变化规律，离不开数与数之间的和、差、积、商的关系。一般从小到大的变化，考虑和与积的关系，一般从大到小的变化，考虑差与商的关系。３．探求规律时，我们要放开思路，看1个数不行，看2个数，甚至要看多个数之间的关系，就是分组观察、发现、思考。例（2）还要想到特殊的数列。由特殊到一般是我们认识事物的一种规律。

例5 观察下列算式的规律，在括号里填上同样规律的数。

2×2=1×1+3

3×3=2×2+5

4×4=3×3+7

5×5=4×4+9

10×10=（）×（）+（）

分析与解：

仔细观察，把上面的式子变换一下：

2×2=1×1+（2+1）

3×3=2×2+（3+2）

4×4=3×3+（4+3）

5×5=4×4+（5+4）

则10×10=9×9+（10+9）

10×10=9×9+19

[方法与技巧]

规律——指某一类事物共同的特征。寻找规律的基本思路：从不同角度去观察思考、去发现基本特征，然后去一个一个的检验，这些特征是否是共同特征，只有是共同特征，才称得上是规律，最后再运用规律去解题。

喜欢总结规律的人，一定是一位很聪明的人。

探索规律（一）练习设计

1、观察下列数列的排列规律，并填空

（1）2，5，10，17，（），37

（2）1，3，2，6，5，15，14，（），41

（3）0、1、2、0、1、2、0、1、（）、（）、1、2 （4）1、2、4、8、16、32、64、128，（）

（5）1、4、13、40、121、（）、（）

（6）1、3、6、10、15、（）、28

（7）1、4、9、16、（）、（）

（8）1、3、7、15、（）、63

（9）1、2、3、5、8、（）、（）、34 （10）1、8、27、64、（）、216

2、下图上按一定规律排列起来的。在正方形内画出适当的图形。

3、按规律在空白处填数。

4、下面每组数中的数排列是有规律的，第10组的三个数的和是多少？（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）……

5、观察下面算式，寻找规律，再填上合适的数。

37×3 = 111 37×6 =（）

37×（）= 333 37×（）= 999

6、看下面算式计算的规律。

1+3 ＝ 4 ＝ 2×2

1+3+5＝9 ＝ 3×3

1+3+5+7＝16 ＝ 4×4

1+3+5+7+9 ＝ 25 ＝5×5

计算：1+3+5+7+…+47+49＝（）

7、自己设计几组有规律的数，相信自己，我能行！