清华第五版数值分析第二章课件

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数
a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
上页 下页
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a0 a1 xn an xn yn 此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是 范德蒙(Vandermonde)行列式:
由式 n+1(xk)=0 和式 Pn(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x )n1 ( x )
可知:x0 , x1, , xn 和 x 是(t) 在区间[a,b]上的 n+2个 互异零点, 因此根据罗尔 (Rolle) 定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! 所以
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
上页 下页
2.2 拉格朗日插值
Lagrange 法1736-1813
上页
下页
2.2.2 拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过n的多项式
一性有
l ( x) x
i 0 i
n
k i
x ,
k
k 0,1, , n
特别当k=0时,就得到
i 0
li ( x ) 1
上页 下页
n
例1 已知 y x , x0 4, x1 9, 用线性插值(即一次插
值多项式)求 7 的近似值。 解 y0 2, y1 3, 基函数分别为: x9 1 x4 1 l0 ( x ) ( x 9), l1 ( x ) ( x 4) 49 5 94 5 插值多项式为 1 1 L1 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) 2 ( x 9) 3 ( x 4) 5 5 2 3 ( 1 ( x 6) ) ( x 9) ( x 4) 5 5 5 13 所以 7 L1 (7) 2.6 5
特别地, 当 n =1时又叫线性插值,其几何意义为
过两点的直线. 当 n =2时又叫抛物(线)插值, 其几 何意义为过三点的抛物线.
上页 下页
注意 : (1) 对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;
(2) 插值基函数l i(x) 仅由插值节点xi (i=0,1, … ,n)确定, 与被插函数 f(x)无关;
x ( a, b ) x ( a, b )
n M n 1 Rn ( x ) max ( x xi ) , ( n 1)! a x b i 0
其中: M n1 max f
a x b
( n1)
( x) 。
上页 下页
1 例3 设 f ( x ) ,节点 x0 2, x1 2.5, x2 4,求 f ( x ) x 的抛物插值多项式,且计算f (3)的近似值并估计误差。
P(x) f(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
其它点
P(x) f(x) = y
这类问题就称为插值问题, P(x)称为插值函数, P(x)一般取最简单又便于计算得函数。(多项式, 三角函数,分段多项式等) 上页 下页
上页 下页
则拉格朗日的三次插值多项式为
L3 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2 l2 ( x ) y3 l3 ( x )
1 1 ( 2) ( x 1)( x 3)( x 4) 0 ( x 1)( x 3)( x 4) 40 12 1 1 ( 6) ( x 1)( x 1)( x 4) 3 ( x 1)( x 1)( x 3) 8 15 1 3 ( x 1)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 1)( x 4) 20 4 1 ( x 1)( x 1)( x 3) 5
解 y0 f ( 2) 0.5, y1 f ( 2.5) 0.4, y2 f (4) 0.25
插值多项式为
( x 2.5)( x 4) ( x 2)( x 4) L2 ( x ) 0.5 0.4 ( 2 2.5)( 2 4) ( 2.5 2)( 2.5 4) ( x 2)( x 2.5) 0.25 ( 4 2)( 4 2.5)
第2章 插 值 法
必要性
1. 函数表达式过于复杂而不便于计算,且又需 要计算众多点处的函数值; 2. 已知由实验(测量)得到的某一函数 y=f(x) 在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 须知道其他点的值。 需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近 似表达式 上页 下页
0.05 x 2 0.425x 1.15
上页 下页
于是
f ( 3) L2 ( 3) 0.325
3 6 因为 f ( x ) 4 , M 3 max | f ( x ) || f ( 2) | x[ 2, 4 ] 8 x M3 | R3 ( x ) | | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 故 3! 1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8
上页 下页
例2 求过点(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的抛物线插值(即 三次插值多项式). 解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 以为节点的基函数 分别为: ( x 1)( x 3)( x 4) 1 l0 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 1 1)( 1 3)( 1 4) 40
( x3 4x2 3 )
上页
下页
2.2.3 插值余项
截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也称为n次Lagrange插
值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
(3) 插值基函数l i(x) 的顺序与插值节点xi (i=0,1, … ,n)
的顺序一致.
以 xi (i=0,1,…,n)为插值节点, 函数 f(x) 1作插值多
项式, 由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质
i 0
li ( x ) 1
上页 下页
n
这是因为若取(x)=xk (k=0,1,…,n),由插值多项式的唯
上页 下页

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中ai为实数,就称P(x) 为 插值多项式,相应的插 值法称为多项式插值。
上页
下页
问题
• • • • 1.多项式是否存在? 2.若存在,是否唯一? 3.误差是多少? 4.若存在唯一,如何构造?
上页
下页
插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项 式存在且唯一.
2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
Pn(x)使其满足 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 这就是多项式插值问题. (5-1)
1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
1 x0 1 x1 1 xn
x0 2 x0 n x12 x1n xn 2 xn n
上页 下页
( x j xi ) 0
ji
由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一. 证毕。
误差
定理2 设 f (x) 在区间 [a ,b]上存在 n+1 阶导数,
xi∈ [a, b] (i=0,1, …, n) 为 n+1个互异节点, 则对任何
其中 n1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
( ( a, b ) 且与x有关)
上页 下页
f ( n1) ( ) n Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) ( x xi ) ( n 1)! i 0

M n 1 n Rn ( x ) ( x xi ) , ( n 1)! i 0
( x 1)( x 3)( x 4) 1 l1 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 12 ( x 1)( x 1)( x 4) 1 l2 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 4) ( 3 1)( 3 1)( 3 4) 8 ( x 1)( x 1)( x 3) 1 l3 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 3) (4 1)( 4 1)( 4 3) 15
Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) K ( x )n1 ( x )
其中K(x)是待定函数。
对于任意固定的x[a,b], xxk ,构造自变量 t 的辅 助函数 ( t ) f (t ) Pn (t ) K ( x )n1 (t )
上页 下页
( t ) f (t ) Pn (t ) K ( x )n1 (t )
Ln ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) yn ln ( x ) yi li ( x )
可知其满足iຫໍສະໝຸດ 0nLn ( x j ) y j j 0,1, , n
称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性, 得 Pn ( x ) Ln ( x )
上页
下页
其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函
数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为
插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(5-1)称为插值条件。
从几何意义来看,上
述问题就是要求一条多
项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
x∈ [a ,b], 有
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
其中 n1 ( x ) ( x xi )
i 0 n
( ( a, b ) 且与x有关)
上页 下页
证 由插值条件和n+1(x) 的定义, 当x=xk 时 , 式子显 然成立, 并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,…,n ), 这表明x0 , x1, … , xn 都是函数n+1(x) 的零点, 从而 n+1(x) 可表示为
相关文档
最新文档