工程水文学第四章 水文统计基本方法

反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2
2
xCvCs
a0
洪峰流量
（2） 1540 980 1090 1050 1860 1140 790 2750 762 2390 1210 1270 1200 1740 883 1260 408 1050 1520 483 794 26170 1246 0.46
序号
（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据 配合的情况，若不理想，则修改参数再次进行计算。
（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况， 从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲 线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。
二、统计参数对频率曲线的影响：
（1）均值 x 对 频率曲线的影响
1.均值大的 位于小的之上。
P
10
20
50
75
90
95
99
Kp
1.33
1.2
0.98
0.82
0.7
0.63
0.52
Xp
864.5 780
637
533
455
409.5
338
理论频率曲线
三、频率与重现期的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般P≤50%）
T1 P
2. 当研究枯水或年径流时（一般 P≥50%）
绘出理论频率曲线。
xp x(1 Cv p ) K p x
理论频率曲线的绘制：
已知统计参数 Cs、 CV、 x 对应的值：
，求不p x
然后在频率格纸上绘曲线，横坐标为频率，纵坐 标为水文特征值。
例4-5：某站年径流系列符合P-Ⅲ型分布，已知该系列的，
某枢纽处年最大洪峰流量计算表
排序
（4） 2750 2390 1860 1740 1540 1520 1270 1260 1210 1200 1140 1090 1050 1050 980 883 794 790 762 483 408 26170
模比系数（Ki)
（5） 2.207 1.918 1.493 1.396 1.236 1.220 1.019 1.011 0.971 0.963 0.915 0.875 0.843 0.843 0.786 0.709 0.637 0.634 0.611 0.388 0.327 21.00
f (x)dx xP
即求出的 x p 应满足 ：
x p 取决于P、 、 、 a0 四个参数。
令： x x ，Φ是均值为零，标准差为1的 xCv 标准化变量（离均系数）
则有: x x(1 Cv)
该式包含CS、P与 Φp的关系，根据拟定CS值，可
得值不，同通过P 下的式Φ即p 值可，求附出表与。各然种后P利相用应已的知的值x p，从和x而CV可
0.5
0
0
1
0
225
-3375 0.925 -0.075
1225
-42875 0.825 -0.175
2500 -125000 0.75 -0.25
2790
165750
52.8
0.264102 1.12
(Ki-1)3 0.125
0 -0.00042187 -0.00535938 -0.015625 0.10359375
2.均值大的较 小的陡。
（2）CV对频率曲线的影响
1.随着CV的 增大,频率曲线 越来越陡。
（3）CS对频率曲线的影响
1. CS越大, 均值(K=1)对应 的频率越小， 频率曲线中部 越向左偏，且 上段 越陡，下 段越平缓。
例4-6：某枢纽处最大洪峰流量频率计算
年份
（1） 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 总计 均值 变差系数
年份 （1） 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
年最大洪峰流量 （2） 720 1080 1030 1250 1440 1420 1120 2060 1370 2650
序号 （3）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由大到小排列 （4） 2650 2060 1440 1420 1370 1250 1120 1080 1030 720
F ( x)
F(x) P( X x) x f (x)dx
四、随机变量的统计参数
⒈总体统计参数、样本统计参数 ⒉均值、均方差、变差系数、偏态系数
⒊总体：随机变量所有取值的全体。 ⒋样本：从总体中抽取的一部分。 ⒌样本容量：样本包括的项数，样本大小。
⒍水文样本系列： 统计参数是样本统计参数。
⒈均值( x )：
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如P—Ⅲ型的 x 、CV、CS 。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。
⒈ 均值x 无偏估计：
⒉ CV的无偏估计量：
n
(Ki 1)2
Cv
i 1
n 1
⒊ CS 的无偏估计量：
n
(Ki 1)3
Cs
i 1
(n 3)Cv3
0.1
11
2
3
7 10 14 22 126 178 252 399
0.3
34
6
9
7 10 15 23 51 72 102 162
0.5
5
7
10
16 8 11 16 25 41 58 82 130
0.7
7 10 14
22 9 12 17 27 40 56 80 126
1
10 14 20
32 10 14 20 32 42 60 85 134
二、概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准：
三、频率
P(A) k n
对于水文现象，用频率作为概率的近似值：
w( A) m n
第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取
值用 xi 表示 。
例：水文特征值：年径流、洪峰流量。
离散型随机变量： 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变 量。
第六节 水文频率计算—适线法（配线法）
适线法： 是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下， 求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条 理论频率曲线。
目估适线法、优化适线法。
一、目估适线法
（1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频 率，在频率格纸上点绘经验点据。
（2）选定水文频率分布线型（一般选用P-Ⅲ型）。 （3）初估一组参数 x 、CV、CS。
二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称为随 机变量的概率分布。 对于水文变量；常研究大于等于某一取值 x 的概 率 F(x) ，即：
F(x) 水文上通常称随机变量的累积频率曲线， 简称频率曲线。
三、概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。
为了使初估值大致接近实际，可用矩法或其它方 法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。
当用矩法估计时，因CS的抽样误差太大，一般不 计算CS，而是根据经验假定CS为CV的某一倍数（如 CS =2 CV ）。
（4）根据假定的 x 、 CV 、 CS ，查附表 ，计算xP 值，以x P为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。
x(1
2Cv Cs
)
理论频率曲线绘制： P x p
水文计算：
一般需求出指定频率P所对应的随机变量取值， 即 P x p 。例如：频率为1%（百年一遇）的设计 洪峰流量 x p1% ? 。这就需要对密度曲线进行积 分，求出等于及大于 x p 的累积频率 P值。
F(xP ) P(X xP )
Ki-1 （6） 1.207 0.918 0.493 0.396 0.236 0.220 0.019 0.011 -0.029 -0.037 -0.085 -0.125 -0.157 -0.157 -0.214 -0.291 -0.363 -0.366 -0.389 -0.612 -0.673 0.000
1.12
第四节 水文频率曲线线型
一、经验频率曲线 由实测资料（样本）绘制的频率曲线。
⒈绘制 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共 n 项， 按由大到小的次序排列为x1、x2、...、x m、...、x n。第m 项的经验频率就是在系列中大于及等于样本 x m 的项数 出现次数（m次）与样本容量（n）之比值，即
二、权函数法
马秀峰（1984）提出。
三、抽样误差 由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为：
xi xi x总 (i 1,2,, k)
样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽 样误差近似服从正态分布。
可以证明，xi (i 1,2,, k)
系列的均方差
x
可作为度量抽样误差的指标，称为均方误。
第一节 概述 一、水文现象的随机性： 二、概率论和数理统计学在水文分析中的应用： 三、水文统计解决的问题：
给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。 方法：确定频率曲线。
第二节 概率的基本概念 一、事件 指在一定条件组合下，随机试验的结果。 分为：必然事件、不可能事件、随机事件。 水文测验可看作随机试验。
x
1 n
xi
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
样本 1 2 3 4 5
均值 均方差 变差系数 偏态系数
系列 300 200 185 165 150 200
样本系列统计参数计算（P.40）
(xi-x)2 (xi-x)3
Ki
Ki-1
10000 1000000 1.5
(Ki-1)2 （7） 1.4562 0.8424 0.2426 0.1570 0.0556 0.0483 0.0004 0.0001 0.0008 0.0014 0.0073 0.0157 0.0248 0.0248 0.0456 0.0849 0.1317 0.1340 0.1510 0.3751 0.4524 4.252
x 650 mm , CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘理论频率曲线。
解：当CS=2Cv 时，查附表得不同频率下的Kp，代入下式：
xp x(1 Cv p ) K p x
P
0.01
0.1
0.2
0.33
0.5
1
2
Kp
2.22
1.96
1.87
1.81
1.77
1.67
1.58
Xp
1443 1274 1215.5 1176.5 1150.5 1085.5 1027
各参数的均方误（抽样误差）：
x
n
2n
1
3 4
Cs 2
Cv
Cv 2n
1
2Cv 2
3 4
Cs 2
2CvCs
Cs
6 n
(1
3 2
Cs 2
5 16
Cs4 )
CV=2CS时样本参数的均方误(相当误差，%）
cv 参数 100
均值 50 25
变差系数
偏态系数
10 100 50 25 10 100 50 25 10
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体 中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年 数的增多，总会出现更小的数值。对上式进行修 正，有：
数学期望公式：
在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各 项的值为纵坐标点图，再通过点群中心目估绘光滑 曲线即经验频率曲线。
例4-4：已知某水利枢纽，年最大洪峰流量系列， 绘制经验频率曲线。