8章弯曲应力及弯曲强度

弯 矩 图 特 点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
dFs ( x) q( x) dx
1 M 0; ( M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x)dx q( x)dx 2 0 2 q(x)
略去二阶小量。
内力方程
以坐标(x,FS) 和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变化 的图线称为剪力图和弯矩图。
x 表示梁截面的位置 。 FS 和M 分别表示剪力和弯矩的大小。
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
例 8-2 写出梁的内力方程，并画内力图。
MO P L FS(x) M(x)
解：
①计算约束反力. YO P ; M O PL ②写出内力方程
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
取两截面的右侧梁段为研究对象， 根据平衡条件建立剪力方程和弯 矩方程。
x
y
MC=2Fl
O A l x1 x2 C l
F
B
F
y
0; FS ( x1 ) F 0
Fs ( x1 ) F
0 x1 l
M 0
F
B l 2l－ x1
C
M ( x1 ) M C F (2l x1 ) 0
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
例 8-7 简支梁受力如图所示，写出其剪力方程和弯 矩方程。 y
q O
FRA
x
A C B
l
l
FRB
解:
1 由平衡方程计算约束反力。.
FRA FRB ql
2 建立如图所示坐标系。
3 建立剪力方程和弯矩方程。
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
y q O
FRA
3 建立剪力方程和弯矩方程。
x
B
A
C
l x
l
FRB
选取任意截面的左侧梁段为 研究对象，根据平衡条件建 立剪力方程和弯矩方程。
y
F
Fs(x)
0; FS ( x) qx FRA 0
Fs ( x) FRA qx q(l x) 0 x2 2l
M(x)
FRA
M 0 M ( x) FRA x qx 2 / 2 0 M ( x) FRA x qx 2 / 2 qx(l x / 2) 0 x 2l
qL2 2
x
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
例 8-4 图示简支梁受力F作用，试作此梁的内力图。
a A C RA
b F L
b B L RB
解：①计算约束反力.
a b RB F RA F L L ②写出内力方程. AC段： Fs1 ( x) RA b F L b M 1 ( x) RA x Fx L CB段： a Fs 2 ( x) RB F L a M 2 ( x) RB ( L x) F ( L x) L
3) 如果取截面的左边梁段研究，则顺时针转向的力 偶在截面上产生正弯矩； 取截面的右边梁段研究，则逆时针转向的力偶在 截面上产生正弯矩。反之产生负弯矩。
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
2 剪力图和弯矩图 描述内力的变化规律： （1）数学方法—剪力方程和弯矩方程； （2）几何方法—剪力图和弯矩图。 剪力方程： FS FS (x) 弯矩方程： M M (x)
x
第8章弯曲应力及弯曲强度
8.3 剪力、弯矩与分布载荷集度之间的微分关系 考虑图示受力情况的简支梁，在任意位置x 选取微段 dx （微元）作为自由体。
将平衡方程应用于自由体受力图。
分布载荷方向向上为正。
F q(x) M
q(x) M(x)
Fs M(x)+dM(x)
x
dx
dx
Fs+dFs
8.3 剪力、弯矩与分布载荷集度之间的微分关系 根据微元的平衡条件
M qL x1 M1 0 M1 M qLx1
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
2 用截面法计算FQ2 和 M2
qL M 1 1 a
y qL M x 2 M2 x2 Fs2 2 q 取2-2截面左边的梁段，根据 平衡条件计算FQ2和M2.
2
b FR M R
F
Y
0
ql FS 2 q( x2 a) 0
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
例 8-6 悬臂梁受力如图所示，计算截面C和D处的剪力和弯矩，
并写出剪力方程和弯矩方程。
y
MC=2Fl
O D C l x1 l
F
B
解:
x
A
截面A、C、D均为控制截面， 为获得剪力方程和弯矩方程， 将梁分成两段。
x2
1）建立如图所示坐标系.
2）x1和x2 分别表示两段的坐标.
Fs
ab F L a F L
M
③根据方程画内力图.
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 例 8-5 图示简支梁受力偶M作用，试作此梁的内力图。 a M 解：①计算约束反力. b
A C RA L
M L
B RB
Fs
a M L
M
b M L
M M RB RA L L ②写出内力方程. AC段： Fs1 ( x) RA M L M M 1 ( x) RA x x L CB段： M Fs 2 ( x) RA RB L M 2 ( x) RA x M RB ( L x) M ( L x) L ③根据方程画内力图.
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
求弯曲内力的简便方法: 1) 任意截面上的剪力在数值上等于该截面左侧或 右侧梁段上所有外力的代数和。 截面左侧梁段上向上的力或截面右侧梁段上向 下的力产生正剪力，反之产生负剪力。 2) 任意横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧或 右侧梁段上所有外力对截面形心之矩的代数和。 向上的力产生正弯矩，向下的力产生负弯矩。
8.1 平面弯曲的概念和实例 弯曲的一些实例
8.1 平面弯曲的概念和实例
8.1 平面弯曲的概念和实例
8.1 平面弯曲的概念和实例
梁的简化：
力学模型: 通常使用轴线来表示梁的力学模型. 梁的支撑类型: 1) 固定端或夹紧支座 2) 铰支座
（或固定铰支座）
3) 滚动支座 （或可动铰支座）
8.1 平面弯曲的概念和实例
YO FS(x) M(x)
x
P
Fs ( x) Y0 P
x
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
③根据方程画内力图.
–PL
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
画内力图的方法: 1) 一般将梁的左端点定为x轴的原点，坐标指向右。 2) 用简便方法写出距原点为x的任意横截面上的剪 力和弯矩，即为剪力方程和弯矩方程。
3) 根据内力方程确定图线形式，将特征点相连即可 得内力图。
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
例 8-3写出梁的内力方程，并画内力图。
q
FS(x) L M(x)
解：
①写出内力方程.
x
FS(x)
Fs ( x) qx
x – qL
1 2 M ( x ) qx 2
②根据方程画内力图.
M(x)
2
b FR M R
1 2 M R M qL(a b) qb 2 Fy 0
Fs 2 q(a b x2 ) FR
Fs 2 q(a b x2 ) FR 0
M2 2 FS2 FR MR
x2
Fs 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M R FR (a b x2 ) q(a b x2 ) 2 M 2 0 2 1 M 2 M R FR (a b x2 ) q(a b x2 ) 2 2 1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
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第八章
弯曲应力及弯曲强度
平面弯曲的概念和实例 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
剪力、弯矩与分布载荷集度之间 的微分关系
本章介绍
惯性矩 弯曲正应力 梁的弯曲切应力 梁的弯曲强度计算 梁的合理强度设计
第8章弯曲应力及弯曲强度
8.1 平面弯曲的概念和实例 弯曲：
以上关系可之间的微分关系 剪力、弯矩与外力之间的关系
无外力作用 外 力 均布载荷 集中力 集中力偶
F q=0
m
q>0
斜直线
Fs
q<0
C
从左侧向右侧突降 Fs
C
无变化 Fs
剪 力 图 特 点
水平直线
Fs Fs
Fs
Fs1 C
C x
右左到右突变下降
x
Fs>0
M(x)
M(x)+dM(x)
dM ( x) Fs ( x) dx
Fs
dx
Fs+dFs
8.3 剪力、弯矩与分布载荷集度之间的微分关系 因此可以建立载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
dFs ( x) q( x) dx
dM ( x) Fs ( x) dx
d M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
分割 选取
替换 平衡
Fs
M
F ＝0， M ＝0，
y C
计算 Fs 和 M. Fs 和 M 即为弯曲内力
Fs – 称为剪力 M– 称为弯矩
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 弯曲内力的符号约定: 弯矩 的符 号约 定：
M
M
剪力 的符 号约 定:
Fs Fs
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 例 8-1 悬臂梁受力如图所示，计算1截面和2截面上的 剪力和弯矩. q 2 qL M 1 解: 1 求支反力
2
8.3 剪力、弯矩与分布载荷集度之间的微分关系
载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
dFs ( x) q( x) dx dM ( x) Fs ( x) dx
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
反映在内力图上：剪力图上某点处的切线斜率等于 该点处的载荷集度的数值；弯矩图上某点处的切线 斜率等于该点处的剪力的数值。
静定梁的三种类型:
1) 简支梁
简支梁的一端是铰支座， 另一端为滚动支座.
2) 悬臂梁 悬臂梁一端固定另一端自由. 3) 外伸梁
8.1 平面弯曲的概念和实例
载荷类型
均布载荷
集中载荷
q
F
简支梁
线性分布载荷
载荷集度
q
M
力偶
悬臂梁
第8章弯曲应力及弯曲强度
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 1 剪力和弯矩 使用截面法计算弯曲内力
MC=2Fl
M(x1)
M ( x1 ) M C F (2l x1 ) F x1 0 x1 l
以上为AC段的剪力方程和弯矩方程。
Fs(x1)
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
取两截面的右侧梁段为研究对 象，根据平衡条件建立剪力方 程和弯矩方程。
x
y
MC=2Fl
O A l x1 x2 C l
F
B
F
y
0; FS ( x2 ) F 0
Fs ( x2 ) F
l x2 2l
M 0
F
M(x2) B FS(x2) 2l－ x2
M ( x2 ) F (2l x2 ) 0 l x2 2l
M ( x2 ) F (2l x2 )
以上为CB段的剪力方程和弯矩方程。