两小时数学高考知识点全扫描

两小时数学高考知识点全扫描 高考数学易忘公式及结论
集合
● 包含关系
A B A A B B =⇔=B A ⊂⇔
● 集合12{,,
,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1
个；非空的真子集有2n –2个.
二次函数，二次方程
● 方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件
● 闭区间上函数的最值 只能在0)(='x f 处及区间的两端点处取得。

二次函数0)(2
>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是⎩⎨⎧<->0
40
2
ac b a . 简易逻辑
● 真值表
● 常见结论的否定形式
●
P ⌝
:否定一个含有量词(∀或∃)的命题,不但要改变量词(∀改为∃)，还要对量词后
面的命题加以否定，但作用范围不变。

● 函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>-- 上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果
0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.
● 两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(a mx f +与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
● 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图
象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线
0),(=--b y a x f 的图象.
● 指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
● 对数的换底公式
log log log m a m N N a =
. 推论 log log m n
a a n
b b m
=.
● 对数的四则运算法则 若a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈.
● 设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=∆.若)(x f 的定义域为
R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,
需要单独检验.
数列
● 等差数列的通项公式11(1)()
n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； ● 其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=
1(1)2
n n na d -=+. ● 等比数列的通项公式1
11()n n
n a a a q
q n N q
-==⋅∈；
其前n 项的和公式为11
(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
● 分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
● 数列的通项公式与前n 项的和的关系11,
1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩
三角函数
● 常见三角不等式 （1）若(0,
)2x π
∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. ● 同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ，tan 1cot θθ⋅=. ● 和角与差角公式
s i n ()s i n c o s c o s s
αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b a
ϕ=
). ● 二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-.
22tan tan 21tan α
αα
=
-
● 三角函数的周期公式
函数s i n ()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+的周期2T π
ω
=
；函数
t a n ()y x ωϕ=+的周期T π
ω
=
. ● 正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===. ● 余弦定理 2
2
2
2c o s a b c b A =+-
; ● 面积定理111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B === 向量.
● a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cosθ． ● a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. ● 向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b(b ≠0)12210x y x y ⇔-= a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. ● 线段的定比分公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则
12
1211x x x y y y λλ
λλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12
(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. ● 三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. ● 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心（中垂线）2
2
2
OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心（中线）0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心（高）OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心（角平分线）0aOA bOB cOC ⇔++=. 不等式
● 常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒22
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +
∈
⇒
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）柯西不等式 ))(()(2
22
12
22
12
2211b b a a b a b a ++≤+，(当且仅当i i b a λ=时取“=”号)．
（4）b a b a b a +≤+≤-. 直线方程
● 两条直线的平行和垂直 ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B += ● 点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
圆
● 直线的参数方程⎩
⎨⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x . （t 为参数）
● 圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨=+⎩. （θ为参数）
椭圆
● 椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩
.（θ为参数）
● 焦点三角形：P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，则三角形12PF F 的面积
S=2
12
tan
;2
PF F b ∠∙特别地，若12,PF PF ⊥此三角形面积为2b ； ● 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在点P ，使12PF PF ⊥的条件是c≥b,即椭圆的离
心率e 的范围是； 双曲线
● 双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a
b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22
22
b y a x .
(3)若双曲线与122
22=-b
y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴
上，0<λ，焦点在y 轴上）.
● 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值） 抛物线 ● 焦点与准线
22(0),(,0),;
44(0),(),;
44
a a
y ax a x a a
ay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y ● 焦半径公式
抛物线2
2(0)y px p =>，C 00(,)x y 为抛物线上一点，焦半径02
p
CF x =+. ● 过抛物线px y 22
=（p>0)的焦点
F 的直线与抛物线相交于
2
11221212(,)(,),,4,1
(A x y B x y y y p x x p O =-=OA OB 则有即k .K =-为原点)
4,4/2
21-=⋅=⋅OB OA K k p x x 即。

● 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
221212||1tan ||1t AB x x y y co αα=-+=-+● 比如在椭圆中：
1122(,),(,),M(0,0),:A x y B x y x y 中点则有
22
11221(1)x y a b += 22
2222
1(2)x y a b += 22
012122212120(1)(2)()()x y y x x b b x x y y a y a -+-⇒=∙-=∙---
（1）-（2）)(22
002121a
b y x x x y y k -⋅=--=
立体几何
● 直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面所成的角为θ,平面的法向量为u ，直线l 与平
面法向量的夹角为φ,
则=
=φθcos sin
● 二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小。

● 异面直线间的距离
||
||
CD n d n ⋅=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为
12,l l 间的距离).
● .点B 到平面α的距离 ||
||
AB n d n ⋅=
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.
● 面积射影定理 'cos S S θ
=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'
S ，它们
所在平面所成锐二面角的为θ). ● 球的半径是R ，则其体积3
43
V R π=
,其表面积24S R π=． ●
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. ● 棱长为a
的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4
a . ● 柱体、锥体的体积
1
3V Sh =柱体Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 1
3
V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
组合数公式
m
n
C =m n m m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)
1()1(=！！！)(m n m n -⋅.
● 二项式定理
n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，
=. 概率
● n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k
n n P k C P P -=-
● 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=;
（2）121P P ++
=.
● 数学期望 1122
n n E x P x P x P ξ=++++
● 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.
● 方差()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+
+-⋅+
● 标准差 σξ=ξD .
● 方差的性质 (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. ● 正态分布密度函数
(
)()()2
2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.
● 标准正态分布密度函数(
)()2
2,,x f x x -=∈-∞+∞.
● 对于2(,)N μσ，6826.0)(=+≤<-σμσμX P .
9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，9974.0)33(=+≤<-σμσμX P
● 回归直线方程
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑. 点),(y x P 在回归直线上。

不能期望回归方程得到y 的预报值就是预报变量y 的精确值。

● 相关系数 |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。

|r|75.0≥时认为两变量有很强的线性关系。

● 列联表独立性分析 2
1212
211222112
)(++++-=n n n n n n n n n χ
01.0)635.6(2≈≥χP （99％的把握）
05.0)841.3(2≈≥χP （95％的把握）
导数
● 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.
(2) '1
()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =
'；e a x
x
a log 1)(log ='. (6) x
x e e =')(; a a a x
x
ln )(='.
● 导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''
()uv u v uv =+.
（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. ● .复合函数的求导法则
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''
()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''
x u x y y u =⋅，或写作
'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.
● .判别)(0x f 是极大（小）值的方法 当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 复数
● 复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）
复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +=。