江西省2023年中考数学真题及参考答案

江西省2023年中考数学真题及参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.下列各数中，正整数是（）
A .3
B .1
.2C .0D .2-2.下列图形中，是中心对称图形的是（）
3.若4-a 有意义，则a 的值可以是（）
A .1
-B .0C .2D .64.计算()322m 的结果为（）
A .68m
B .66m
C .62m
D .52m 5.如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面CD PD ⊥于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在PD 上，若︒=∠35AOC ，则OBD ∠的度数为（）
A .︒35
B .︒45
C .︒55
D .︒
656.如图，点D C B A ,,,均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）
A .3个
B .4个
C .5个
D .6个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.单项式ab 5-的系数为.
8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学计数法表示应为
.
9.化简：()=-+221a a .
10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知︒=∠60α，点C B ,表示的刻度分别为cm cm 31，，则线段AB 的长为cm .
11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点Q B A ,,在同一水平线上，ABC ∠和AQP ∠均为直角，AP 与BC 相交于点D .测得m AQ cm BD cm AB 122040===，，，则树高=PQ m .
12.如图，在▱ABCD 中，︒=∠60B ，AB BC 2=，将AB 绕点A 逆时针旋转角()︒<<︒3600αα得到AP ，连接PD PC ，.当PCD ∆为直角三角形时，旋转角α的度数为.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）计算：0
3345tan 8-︒+；
（2）如图，AD AB =，AC 平分BAD ∠.
求证：ADC ABC ∆≅∆.
14.如图是44⨯的正方形网格，请仅用无刻的的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中作锐角ABC ∆，使点C 在格点上；
（2）在图2中的线段AB 行作点Q ，使PQ 最短.
15.化简x x x x x x 1112-⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配率；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.
17.如图，已知直线b x y +=与反比例函数()0>=x x k y 的图象交于点()32，A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数()0>=x x
k y 的图象于点C .（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式；
（2）求ABC ∆的面积.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.今年植树节，某班同学共同发种植一批树苗，如果没人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵.
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
19.图1时某红色是文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B ，E D A ,,均在同一直线上，AD AC AB ==，测得︒=∠55B ，m DE m BC 28.1==，.（结果保留小数点后一位）
（1）连接CD ，求证：BC DC ⊥；
（2）求雕塑的高（即点E 到直线BC 的
距离）.
（参考数据：82.055sin ≈︒，
57.055cos ≈︒，43.155tan ≈︒）
20.如图，在ABC ∆中，︒=∠=644C AB ，，以AB 为直径的☉O 与AC 相交于点E D ,为弧ABD 上一点，且︒=∠40ADE .
（1）求E B 的长；
（2）若︒=∠76EAD ，求证：CB 为☉O 的切线.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.为了解中学生的示例情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.
（1）=m ，=n ；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为
；分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0的视力不良.若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.
22.
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在▱ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为O .
求证：▱ABCD 是菱形.
知识应用
（2）如图②，在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ,685===BD AC AD ，，①求证：▱ABCD 是菱形；
②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 与点F ，若ACD E ∠=∠21，求EF
OF 的值.
六、解答题（本大题共12分）
23.综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 为AC 上一点，2=CD .动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿A B C →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF .设点P 的运动时间为ts ，正方形DPEF 的面积为S ，探究S 与t 的关系.
初步感知
（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，
①当1=t 时，=S ；②S 关于t 的函数解析式为.
（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.
延伸探究
（3）若存在3个时刻321,,t t t （321t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等.①=+21t t ；
②当134t t =时，求正方形DPEF 的面积.
参考答案
一、选择题
1.A
2.B
3.D
4.A
5.C
6.D 二、填空题
7.5
-8.7108.1⨯9.12+a 10.211.612.90°或180°或270°
三、解答题
13.（1）解：原式=2+1-1=2
（2）证明：∵AC 平分BAD ∠，∴DAC BC ∠=∠.在ABC ∆和ADC ∆中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=AC AC DAC BAC AD AB ，∴ABC ∆≌()SAS ADC ∆.
14.解：（1）如下左图（右图中的51~C C 亦可）：
答：ABC ∆即为所求.
（2）如下图：
答：点Q 即为所求.
15.解：（1）②，③；
（2）按甲同学的解法化简：原式()()()()
()()x x x x x x x x x x 11111112-⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++-+-=()()()()()()()()()()x x
x x x x x x x x x x x x x x 2111121111112
=-+⋅-+=-+⋅-+++-=
按乙同学的解法化简：原式()()()()x
x x x x x x x x x x x x x x x x x 111111111122-+⋅-+-+⋅+=-⋅-+-⋅+=x x x 211=++-=.
16.解：（1）随机
（2）解法一：列表如下：
由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.
∴P （甲、丁同学都被选为宣传员）6
1122==
.解法二：画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.
∴P （甲、丁同学都被选为宣传员）61122==
.17.解：（1）∵直线b x y +=与反比例函数()0>=x x k y 的图象交于点()32，A ，∴32=+b ，23k =.∴1=b ，6=k .
∴直线AB 的表达式为1+=x y ，反比例函数图象的表达式为()06>=x x
y .
（2）过点A 作BC AD ⊥，垂足为D .
∵直线1+=x y 与y 轴交点B 的坐标为()1,0，
x BC ∥轴，∴C 点的纵坐标为1.∴616==x x ，，即6=BC .由x BC ∥轴，得BC 与x 轴的距离为1.∴2=AD .∴6262121=⨯⨯=⋅=
∆AD BC S ABC .四、解答题
18.解：（1）设该班的学生人数为x 人.
依题意，得254203-=+x x .解得45=x .
答：该班的学生人数为45人.
（2）由（1）可知，树苗总数为155203=+x .
设购买甲种树苗y 棵，则购买乙种树苗()y -155棵.
依题意得()54001554030≤-+y y .解得80≥y .
答：至少购买了甲种树苗80棵.
19.（1）证明：∵AD AC AB ==，∴点D C B ,,在以点A 为圆心，BD 为直径的圆上.∴︒=∠90BCD ，即BC DC ⊥.
（2）解：过点E 作BC EF ⊥，垂足为F .
在BCD Rt ∆中，BD
BC B =
cos ，8.1=BC ，∴16.355cos 8.1cos ≈︒==B BC BD .∴16.5216.3=+=+=DE BD BE .
在EBF Rt ∆中，BE
EF B =sin ，∴2.455sin 16.5sin ≈︒⨯=⋅=B BE EF .因此，雕塑的高约为m 2.4.
20.解：（1）连接OE .
∵︒=∠40ADE ，∴︒=∠=∠802ADE AOE .
∴︒=∠-︒=∠100180AOE BOE .
∴E B 的长ππ9
101802100=⋅⋅=l .
（2）证明：∵︒=∠=80AOE OE OA ，，∴︒=∠-︒=∠502
180AOE OAE .∵︒=∠76EAD ，∴︒=∠-∠=∠26OAE EAD BAC .
又︒=∠64C ，∴︒=∠-∠-︒=∠90180C BAC ABC ，即BC AB ⊥.
又OB 是☉O 的半径，∴CB 为☉O 的切线.
五、解答题
21.解：（1）68,23%.
（2）320.
（3）①小胡的说法正确.
理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，∴初中生的视力水平好于高中生.
理由②：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，∴初中生的视力水平好于高中生.②14300320
20082604414342816826000=++++++++⨯（名）.∴估计该区有14300名中足额生视力不良.
建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.
22.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC
OA =又AC BD ⊥，∴BD 垂直平分AC .∴BC BA =.∴▱ABCD 是菱形.
（2）①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，68==BD AC ，，∴321421====
BD OD AC OA ，.∴25342222=+=+OD OA .又25522==AD ,∴222AD OD OA =+，∴︒=∠90AOD ，即AC BD ⊥.
∴▱ABCD 是菱形.
②解：如图，取CD 的中点G ，连接OG .
∵▱ABCD 是菱形，
∴ACD
ACB OD OB AD BC ∠=∠===，，5∵ACD E ∠=
∠21，∴ACB E ∠=∠21，即E ACB ∠=∠2，又COE E ACB ∠+∠=∠，∴COE E ∠=∠，∴4
==CO CE ∵GD GC OD OB ==，，∴OG 为DBC ∆的中位线
11∴BC OG ∥，且2521==
BC OG ，∴CE OG ∥，∴ECF OGF ∆∆~，∴85==CE OG EF OF .六、解答题
23.解：（1）①3.②22
+=t S （2）由图象可知，当点P 运动到点B 时，6=S .
将6=S 代入22+=t S ，得262+=t ，解得2=t 或2-=t （舍），
当点P 由点B 运动到点A 时，设S 关于t 的函数解析式为()242+-=t a S .将()6,2代入，，得()24262
+-=a ，解得1=a .故S 关于t 的函数解析式为()242
+-=t S .由图像可知，当P 运动到A 时，18=S .
由()24182
+-=t ，得8=t 或0=t （舍）∴()6128=⨯-=AB .
（3）①4.
由（1）（2）可得()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤+=8
2,2420,222t t t t S .在图②中补全20<≤t 内的图象，
根据图象可知20≤≤t 内的图象与42≤≤t 内的图象
关于直线2=x 对称.
因此421=+t t .
②根据二次函数的对称性，可知832=+t t .
由①可知421=+t t ，∴413=-t t .
又134t t =，∴4411=-t t ，得341=
t .此时正方形DPEF 的面积9
3422=+=t S
.。