河南省中招考试数学模拟试卷含答案解析

河南省中招考试数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内。

1．5的相反数是（）
A．B．﹣5 C．±5 D．﹣
2．12月30日，晋豫鲁铁路正式开通运营，据了解，晋豫鲁铁路是“晋煤外运”的新通道．线路起自山西兴县瓦塘站，终点是山东日照，全线长1260公里，横跨山西、河南、山东三省．总941亿元，941亿用科学记数法表示为（）
A．941×108B．94.1×109C．9.41×1010D．9.41×1011
3．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
4．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）
A．68° B．32°C．22°D．16°
5．下列运算正确的是（）
A．（2x2）3=6x6B．3a+2b=5ab C．﹣a5•a5=﹣a10D．（a+b）2=a2+b2
6．一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）
A．2个B．3个C．5个D．10个
7．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是（）
A．13.5，20 B．15，5 C．13.5，14 D．13，14
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．分式方程的解是．
10．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm．则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是．
11．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率
为．
12．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．
13．把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且
tan∠ACO=2，点E在x轴上，若△ACE为直角三角形，则E的坐标是．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．先化简÷（a+2）+，再求值，a为整数且﹣2≤a≤2．
17．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足条件，矩形AFBD是正方形．
18．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=，n=，表示“足球”的扇形的圆心角是
度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
19．一架空客A320﹣200型客机12月28日从印尼泗水飞往新加坡途中失事．我国政府马上派出舰船搜救，我海一艘潜艇在海面下500米A点处测得仰角为30°正前方的海底有疑似黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有疑似黑匣子信号发出，求海底疑似黑匣子C点处距离海面的深度？（结果保留根号）
20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y 轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
21．在圣诞节前夕，几位同学到某文具店调查一种进价为2元的圣诞贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：
（1）要实现每天800元的利润，应如何定价？
（2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？
22．（1）问题发现
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
（2）类比引申
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．
23．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
河南省中招考试数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内。

1．5的相反数是（）
A．B．﹣5 C．±5 D．﹣
【考点】相反数．
【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
【解答】解：根据概念，（5的相反数）+5=0，则5的相反数是﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．12月30日，晋豫鲁铁路正式开通运营，据了解，晋豫鲁铁路是“晋煤外运”的新通道．线路起自山西兴县瓦塘站，终点是山东日照，全线长1260公里，横跨山西、河南、山东三省．总941亿元，941亿用科学记数法表示为（）
A．941×108B．94.1×109C．9.41×1010D．9.41×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将941亿用科学记数法表示为9.41×1010．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，由①得，x＜4；由②得，x≥3，
故此不等式组的解集为：3≤x＜4，
在数轴上表示为：
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）
A．68° B．32°C．22°D．16°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．【解答】解：∵CD=CE，
∴∠D=∠DEC，
∵∠D=74°，
∴∠C=180°﹣74°×2=32°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=32°．
故选B．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5．下列运算正确的是（）
A．（2x2）3=6x6B．3a+2b=5ab C．﹣a5•a5=﹣a10D．（a+b）2=a2+b2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式，即可解答．
【解答】解：A、（2x2）3=8x3，故错误；
B、3a与2b不是同类项，不能合并，故错误；
C、正确；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式，解决本题的关键是熟记相关法则．
6．一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）
A．2个B．3个C．5个D．10个
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数．【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，
从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．
故选；C．
【点评】此题主要考查了由三视图判定几何体的形状，此问题是中考中热点问题，同学们应熟练掌握．
7．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是（）
A．13.5，20 B．15，5 C．13.5，14 D．13，14
【考点】众数；条形统计图；中位数．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合直方图即可得出众数，中位数．
【解答】解：结黄瓜14根的最多，故众数为14；
总共50株，中位数落在第25、26株上，分别是13，14，故中位数为=13.5．
故选C．
【点评】本题考查了众数、中位数及条形统计图的知识，解答本题的关键是理解众数、中位数的定义，能看懂统计图．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）
A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，
所以abc＞0．
故A选项错误；
B、∵x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b=0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．
故D选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．分式方程的解是x=2．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程得到解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1=3（x﹣1），
去括号得：2x﹣1=3x﹣3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm．则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是96πcm2．
【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．
【分析】根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．
【解答】解：圆锥的表面积=×12π×10+π×62=96πcm2．
故答案为：96πcm2
【点评】本题考查了圆锥的表面面积的计算．首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键．
11．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6，
所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率==．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了轴对称图形．
12．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．
【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出
DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF=，
∴CE==2，
∴AB=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
13．把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是m＞1．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线y=﹣x+3+m与直线
y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【解答】解：方法一：
直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
方法二：如图所示：
把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，
则m的取值范围是m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+．
【考点】轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
【专题】几何动点问题．
【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE 长，代入求出即可．
【解答】
解：连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是
BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，DE=1，
∴BE=，BD=，
即BC=1+，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，
故答案为：1+．
【点评】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且
tan∠ACO=2，点E在x轴上，若△ACE为直角三角形，则E的坐标是（1，0）、（13，0）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】利用待定系数法求得一次函数表达式，进而求得A（ 1，6），进一步分两种情况分别讨论即可求得．
【解答】解：∵C（﹣2，0），tan∠ACO=2，在一次函数y=kx+b，解得b=4，
∴一次函数表达式为 y=2x+4，
∵A（ n，6）在直线y=2x+4上，解得n=1
∴A（ 1，6）
∵∠ACE为锐角，
∴分两种情况讨论：
①∠AEC=90°时，E1（ 1，0）
②∠EAC=90°时，△ACE1∽△AE1E2
∴AE12=CE1•E1E2
∴62=3E1E2
∴E1E2=12
∴E2（ 13，0）
综上所述E1（ 1，0）、E2（ 13，0）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．先化简÷（a+2）+，再求值，a为整数且﹣2≤a≤2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=•+
=+
=，
∵a为整数且﹣2≤a≤2且a≠±2，
∴当a=1时，原式=﹣5；
当a=﹣1时，原式=﹣1；
当a=0时，原式=﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足条件∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
（3）添加∠BAC=90°，根据直角三角形的性质：斜边中线等于斜边的一半可得AD=BD，进而可得矩形AFBD是正方形．
【解答】解：（1）BD=CD，
理由：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴DB=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
（3）△ABC满足∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形；
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=BD，
∴矩形AFBD是正方形．
【点评】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
18．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为40，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=10，n=20，表示“足球”的扇形的圆心角是72度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），
喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人），
补全统计图如图所示；
（2）∵×100%=10%，
×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：（1）40；（2）10；20；72；
（3）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）==．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．一架空客A320﹣200型客机12月28日从印尼泗水飞往新加坡途中失事．我国政府马上派出舰船搜救，我海一艘潜艇在海面下500米A点处测得仰角为30°正前方的海底有疑似黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有疑似黑匣子信号发出，求海底疑似黑匣子C点处距离海面的深度？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点C作CE⊥DE，交AB于G，交DE于E根据∠GBC和∠BAC的度数，求出BC=AB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出GC，从而得出答案．
【解答】解：过点C作CE⊥DE，交AB于G，交DE于E，
∵∠GBC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC，
∴BC=AB=3000米，
∴CG=1500米，
∵GE=500米，
∴CE=1500+500（米），
答：海底疑似黑匣子C点处距离海面的深度为1500+500米．
【点评】本题考查了解直角三角的应用，用到的知识点是仰角的定义和特殊角的三角函数值，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y 轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D．（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）分两步进行解答，①当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S
四边形
CQPR=CQ•PD列出S关于x的解析式，②当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S
=CQ•PG列出S关于x的解析式．
四边形CQPR
【解答】解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），∴C（0，2），
∵D是BC的中点，
∴D（1，2），
∵反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=2；
（2）当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y=，
∴S
=CQ•PQ=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），
四边形CQPR
=CQ•CR=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞当P在直线BC的下方时，即x＞1如图2，同理求出S
四边形CQPR
1），
综上S=．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答（2）问的函数解析式需要分段求，此题难度不大．
21．在圣诞节前夕，几位同学到某文具店调查一种进价为2元的圣诞贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：
（1）要实现每天800元的利润，应如何定价？
（2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）设要实现每天800元的利润定价为x元，由总利润=每个的利润×数量列方程即可解答；
（2）设每天的利润为y元，由总利润=每个的利润×数量就可以得出y与x的关系式，将解析式化为顶点式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设要实现每天800元的利润定价为x元，根据题意，得
（x﹣2）（500﹣）=800
整理得：x2﹣10x+24=0
解得：x1=4，x2=6
∵物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．
即2×240%=4.8，
∴x2=6不合题意舍去，
∴要实现每天800元的利润，应定价每张4元；
（2）设每天的利润为y元，则
y=（x﹣2）（500﹣）
=﹣100x2+1000x﹣1600
=﹣100（x﹣5）2+900
∵x≤5时，y随x的增大而增大，并且x≤4.8，
∴当x=4.8元时，利润最大，
=﹣100（4.8﹣5）2+900=896＞800，
y
最大
∴800元的利润不是最大利润，当定价为4.8元时，才能获得最大利润．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=每个的利润×数量，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数解析式是关键．
22．（1）问题发现
如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
（2）类比引申
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF；
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出
△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，
∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【解答】解：（1）理由是：如图1，
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，。