高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版

1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 答案：C
2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
答案：C
4．下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是________．(写出符合要求序号)
解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面．可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形． 答案：①②③
2．利用公理2可证明点共线，线共点等问题．
3．求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角， 可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”． 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角．
解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，
F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)，∴FD1·OE
＝3，∴cos θ＝
，
即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.
答案：B
变式3.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与 AD1所成角的余弦值为( )
∴异面直线BC1与AC
所成角的大小为arccos .
【分析点评】
1. 高考考查平面的基本性质(如正方体的截面问题)、异面直线公垂线的证明(在指明 公垂线的前提下)，以及异面直线成角大小的计算问题．
2．本题主要解决异面直线成角大小的计算，可通过作图(作辅助线)、证明、计算， 也可以利用向量计算两向量的夹角，无论哪种方法都应注意到异面直线成角的 范围是(0°，90°]．
则EFGH为平行四边形．
(2)∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH綊 BD；又∵
＝2，
∴FG綊 BD，∴EFGH为梯形，则EF，GH相交于一点O，即O∈EF，O∈GH， ∴O∈平面ABC，O∈平面ADC，又面ABC∩面ADC＝AC，则O∈AC，即EF、AC、 HG相交于一点．
变式2.(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有______________，可 能将整个空间划分为____________． (2)已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者 相交于一点． 答案：(1)一条或三条 若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分 为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分 (2)证明略
解法二：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D—xyz.设 AD＝a，DD1＝b，则有D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)， C(0，a,0)，C1(0，a，b)．∴BD＝(－a，－a,0)， AC＝(－a，a,0)，CC1＝(0,0，b)， ∴BD·AC＝0，BD·CC1＝0，∴BD⊥AC，BD⊥CC1， 又∵AC、CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面ACC1A1.
与异面直线相关的问题有异面直线的判定，异面直线所成的角，异面直线的 公垂线及异面直线间的距离，这其中最重要的是异面直线所成的角．求异面 直线所成的角，一般是通过平行线首先找到它们所成的角，然后放到三角形 中，通过解三角形求之． 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求．
【例3】 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中 心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角 的余弦值等于( )
答案：D

3．(2009·全国Ⅰ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的 中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，连接A1B，则∠A1BE即为所求，设AB＝1，
在△A1BE中，A1E＝1，BE＝ ，A1B＝ .
cos∠A1BE＝
.
解答：解法一：(1)证明：∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱， ∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC， 又∵AC、CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面ACC1A1.
(2) 如 图 ， 设 BD 与 AC 相 交 于 O ， 连 结 C1O.∵CC1⊥ 平 面 ABCD ， BD⊥AC ， ∴BD⊥C1O，∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角，∴∠C1OC＝60°.
A.
B.
C.
D.
解析：如图，连结BC1，A1C1，则∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角，设
AB＝1，在Rt△A1AB中，A1B＝
，则BC1＝A1B＝ ，
在Rt△A1B1C1中，A1C1＝
，
在△A1BC1中，cos∠A1BC1＝
.
答案：D
【方法规律】
1．由公理3及公理3的推论结合公理1，可证明点线共面问题，如例1及变式将立 体几何问题转化为平面几何问题．
直线是异面直线． 4．异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线
a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所 成的 锐角(或直角) 叫异面直线a，b所成的角．异面直线所成的角的范围： (0， ]． 5．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是 直角 ，则两条异面直线垂 直．两条异面直线a，b垂直，记作a⊥b.
4． 求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要特别注意异 面直线成 角的范围是(0°，90°].
(本题满分12分)如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱． (1)求证：BD⊥平面ACC1A1； (2)已知二面角C1－BD－C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小.
【答题模板】
3．利用向量法求异面直线a，b所成角θ，可在直线a，b上分别求出方向向量a， b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|，然后再确定异面直线a、b所成角θ的大小．
(2)设BD与AC相交于O，连结C1O，则点O坐标为( ， ，0)，
OC1＝(－ ， ，b)．∵BD·OC1＝0，∴BD⊥C1O，又BD⊥CO，
∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角，∴∠C1OC＝60°，
∵tan∠C1OC＝
，∴b＝ a，∵AC＝(－a，a,0)，BC1＝
(－a,0，b)，∴cos〈AC，BC1〉＝
公理3 经过 不在 同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1 经过一条直线和直线 外的一点 有且只有一个平面； 推论2 经过两条 相交 直线有且只有一个平面； 推论3 经过两条 平行 直线有且只有一个平面； 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．异面直线的定义：不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直线． 3．异面直线定理：连结 平面内一点 与平面外一点的直线，和平面内不经过此点的
证明：∵a∩l＝A，∴直线a与l确定一个平面，此平面设为α；又a∥b，则a 与b也确定一个平面设为β，而平面α与平面β都过直线a与直线a外一点 B，因此α与β为同一平面，因此b⊂α，同理可证c⊂α，因此直线a、b、 c、l在同一平面内.
利用两平面交线的唯一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的 常用方法．证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法． 证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上， 也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明 点在直线上．
A.
B.
C.
D.
解析：解法一：连结AC、AC1，则O为AC中点，∴AC1∥OE，取A1D1中点M，
连结AM，MC1，由AF綊MD1知四边形AFD1M为平行四边形，∴AM∥D1F，
则∠MAC1或其补角为异面直线所成角，可求AC1＝2 ，AM＝MC1＝ ，
在△MAC1中，cos∠MAC1＝
.
评注：还可采用以下两种作辅助线的方法，求异面直线OE和FD1所成角的余 弦值，如图所示： (1)取C1D1中点M，连结OM、ME，解△MOE； (2)取BC中点G，GC中点M，连结C1G、EM、MO，解△OEM.
【例2】 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分
别是边BC、CD上的点，
(1)若F、G分别为BC、CD的中点，试证EFGH为平行四边形；
(2)若
＝2，试证EF、AC、HG相交于一点．
证明：(1)如图连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，
第九章 直线 平面 简单几何体
第43课时 平面的基本性质及空间的两条直线
理解平面的基本性质/会用斜二测画法画水平放置简单几何体的直观图/能够画 出空间的两条直线、直线和平面的各种位置关系的直观图形/能够根据图形想 象它们的位置关系/掌握两条异面直线所成的角的概念
1．平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内． 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有 这些公共点的集合是一条过这个公共点的 直线 ．
本题型是利用平面的性质证明若干元素(点或直线)共面，常有两种方法：方法一 是根据公理3或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；方法二 是先根据公理3或其推论确定出两个平面，然后再证明这两个平面重合．解决此 类问题的方法是将立体几何问题转化为平面几何问题．
【例1】 如图，已知直线a、b、c、l满足a∥b∥c且a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C， 证明四条直线a，b，c，l在同一平面内．
连结A1B，∵A1C1∥AC，∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角．设BC＝a，
则CO＝ a，CC1＝CO·tan 60°＝ a，A1B＝BC1＝ a，A1C1＝ a.
在△A1BC1中，由余弦定理得，cos∠A1C1B＝
，
∴∠A1C1B＝arccos ，∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos .