初三数学《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案)

《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案）【回顾与思考】
现实情境⎧
⎪
⎧
⎪
⎨⎨
⎩
⎪
⎪
⎩
圆的切线的性质--三角形内切圆
应用:d=r
圆的切线的判定
判定定理
圆的切线性质与判定综合应用
【经典例题】
关于三角形内切圆的问题
例1。

如图,点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BＡC=8０°,则∠BOC=( )
A.130°B．1００°Ｃ.50°D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．
圆的切线性质的应用
例2.已知:如图，ＡB是⊙Ｏ的直径,ＰA是⊙O的切线，过点Ｂ•作BC•∥ＯP交⊙Ｏ于点Ｃ,连结ＡC.
(1)求证:△ＡＢC∽△PＯA;（2）若ＡＢ=２，
PA=2,求BC的长.(结果保留根号)
圆的切线的判定
例3。

已知:如图，AB是⊙Ｏ的直径，P是⊙O外一点，PＡ⊥AB，•弦
BC∥OP，请判断Ｐ
C是否为⊙O的切线，说明理由.
【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目.解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．
【考点精练】
一、基础训练
1．已知⊙Ｏ的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cｍ,那么这条直线和这个圆的位置关系是（)
Ａ.相离 B.相切 C.相交D．相交或相离
2．如图1，AB与⊙Ｏ切于点B,AＯ=6cｍ，AB＝4cm,则⊙O的半径为（)
A.45cm
B.２5cm C．213ｃm D．13m
（1) (2）（３) 3.如图2，已知∠AOB＝30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心，•2cｍ•为半径作⊙M,•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
4．已知：如图3，AB为⊙O直径,BＣ交⊙O于点Ｄ,DＥ⊥AC于E，要使ＤE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件）．
5.如图4，AB为半圆O的直径,CＢ是半圆O的切线,B是切点,AC•交半圆Ｏ于点D,已知ＣＤ=1，AD=3,那么ｃoｓ∠CＡＢ＝____＿___．
(４）（5) ６．如图５，BＣ为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点Ｄ作⊙Ｏ•的切线ＡD，BA⊥D
Ａ于A，ＢA交半圆于E，已知BC=10,ＡD=4,那么直线ＣE与以点Ｏ为圆心，5
2
为半径
的圆的位置关系是___＿____.
７.如图，⊙Ｏ的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动.当⊙O移动到与ＡC边相切时,OＡ的长为多少？
8.如图，⊙Ｏ是△AＢC的内切圆，Ｄ、Ｅ、F分别是切点，判定△DＥF的形状(按角分类)，并说明理由.
二、能力提升:
9．如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上．
试探求：(1)当AＤ为⊙O的直径时,如图①，∠D与∠CＡB的大小关系如何?•并说明理由．
(2)当AD不为⊙Ｏ的直径时，如图②，∠D与∠ＣAB的大小关系同②一样吗?•为什么？
①②
10.如图,⊙O的直径ＡB=6cm,D为⊙O上一点，∠BAD=３0°，过点Ｄ的切线交AB•的延长线于点C.
求:(1）∠ADＣ的度数；（2)AＣ的长.
11.在图1和图２中，已知OA＝OB,ＡB=24,⊙O的直径为1０.
(１)如图１,ＡB与⊙Ｏ相切于点C，试求OA的值；
（2）如图２，若ＡB与⊙O相交于D、Ｅ两点,且D、E均为AB的三等分点,试求taｎA 的值.
１2.如图,在△ABＣ中，∠C=90°,以BＣ上一点O为圆心,以ＯB为半径的圆交AB•于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．
（1）求证:BA·ＢM＝BC·BN;
(2）如果ＣＭ是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC＝3时,求ＡＢ的值．
１3．已知:如图,△AＢC内接于⊙O,点Ｄ在OC的延长线上,siｎＢ=1
2
，∠ＣＡD=３0°．
(1)求证：AD是⊙O的切线;（２)若OＤ⊥AB，BＣ=５，求ＡD的长.
三、应用与探究：
14.已知在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，ＡＤ是∠BAC的角平分线，以AB上一点Ｏ为圆心,A Ｄ为弦作⊙O．（1)在图中作出⊙O;（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证:ＢC为⊙O的切
线;(3)若AＣ=3，ｔaｎＢ=3
4
,求⊙Ｏ的半径长.
15.（2014•德州,第22题１0分）如图,⊙O的直径ＡB为10cm,弦ＢC为5ｃm,Ｄ、Ｅ分别是∠AＣＢ的平分线与⊙Ｏ，AＢ的交点，P为AＢ延长线上一点,且PＣ=PＥ.
(1）求AC、AD的长；
（２）试判断直线ＰＣ与⊙O的位置关系,并说明理由．
16．（２01４•菏泽，第１８题１０分）如图,ＡＢ是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上,连接BC,AC,作ＯD∥BC与过点Ａ的切线交于点D，连接DＣ并延长交ＡB的延长线于点Ｅ.
(1）求证：DＥ是⊙Ｏ的切线;
（2）若＝，求ｃoｓ∠AＢC的值．
参考答案：
例题经典例1：Ａ例2：(1)略（２）ＢC=2
3
3例3:略
考点精练1．B 2．B 3．4 4．∠B＝∠C 3
6.相离
23
8．△DEF•是锐角三角形.连结OD、ＯＥ、ＯF．综合应用圆的切线性质,四边形内角和定理
和圆周角定理．可以证得∠ＤＥF=9０°-1
2
∠A,∠ＤFＥ=９0°-
1
2
∠B，∠ＥＤ
F=90°-1
2
∠C．
△DＥF的三个内角都是锐角
9.（1）∠D=∠CＡＢ，理由（略) （2)∠Ｄ=∠CＡB 作直径ＡE、连结CE 由(1）可知：•∠Ｅ＝∠ＣAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CＡB
1０．（１)∠ADＣ的度数为1２0°（2）９cm
１1．(1)解:连结ＯC ，∵ＡＢ与⊙O 相切于C 点，∴∠O ＣA ＝9０°,∵O Ａ=OB,∴ＡC ＝B Ｃ=12 在Rt•△ACO 中,OA ＝2222125AC OC +=+=13
(2）作OF ⊥A Ｂ于点Ｆ点，连结ＯD ，∴DF=EF ；AF=AD+DF=8+４=12,在Rt•△OD Ｆ中,O Ｆ=222254OD DF -=-=3，在Rt △ＡＯF 中，tanA=
31124OF AF == １2.(1）证明:连接ＭN 则∠BMN=90°＝∠ACB ，•
∴△ACB ∽△ＮMB ，∴BC AB BM BN
=，∴A Ｂ·BM ＝B Ｃ·BN
(2)解：连接ＯM,则∠O ＭＣ=90°，∵Ｎ为OC•中点，•∴M Ｎ=ON ＝OM ，∴∠ＭＯN=６０°,∵OM ＝OB ，∴∠B=12
∠M ＯN ＝３0°.∵∠A ＣB=90°,∴AB=２AC=2×3＝6 １3.(１)证明：如图，连结OA,因为ｓｉｎB=
12,所以∠Ｂ=3０°，故∠O ＝６0°,又OA=OC ，•所以△ACO 是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠ＣA Ｄ=30°,所以∠OAD=9０°,所以AD•是⊙O 的切线
（2)解:因为O Ｄ⊥AB,所以OC 垂直平分AB ，则AC=BC=5,所以OA=５,•在△ＯＡD 中,∠OA Ｄ=９0°,由正切定义，有ｔan ∠A ＯD=
AD OA ,所以A Ｄ=５3 １4.
15．解：(１）①如图，连接BD,∵AＢ是直径,∴∠ＡCＢ=∠AＤB=９０°,在RＴ△ABC中, AＣ==＝８，
②∵CD平分∠ＡＣＢ,∴AＤ=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形,∴AＤ=AB＝×1０
=5cm;
（2)直线ＰC与⊙O相切，理由:连接OC,∵ＯC=ＯA,∴∠CＡO=∠OCＡ,∵PＣ＝ＰE,∴∠P ＣE=∠PEC，∵∠PEC=∠ＣＡＥ＋∠ACE，∵CD平分∠ＡCＢ,∴∠ＡCE=∠ECB，∴∠PCB ＝∠ACO,∵∠ACB=90°，∴∠OCＰ=∠OCＢ+∠PCB=∠AＣO+∠ＯCB=∠ＡCB=９０°,
OＣ⊥PC,∴直线ＰC与⊙O相切．
１6.（1)证明：如图，连接O C.∵ＡＤ是过点Ａ的切线，AＢ是⊙O的直径，∴AD⊥ＡB，∴∠DＡB=90°.∵OD∥BC，∴∠1=∠２，∠3=∠４.∵OC=OB,∴∠２=∠４．∴∠1=∠３．
在△COD和△ＡＯD中,
,∴△ＣOD≌△ＡOＤ(SAS)∴∠OCＤ=∠ＤAB=9０°,即OC⊥DＥ于点C.
∵OC是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;
（2）解:由=，可设CＥ=2k(k＞0),则DE=3k，∴ＡD=DC＝ｋ.∴在Rt△DAE中,AＥ=＝2k．∴tanE=＝.∵在Rt△OCE中,ｔaｎE==.∴=，
∴OC=OA=.∴在Rt△AOD中，OD=＝k，∴cos∠ＡＢC=cｏs∠AＯＤ= =.。