一元定积分

1 2 0 ||T || 0
S x dx lim

i 1
n
2 i
xi
y
y x2
因为定积分存在，对区间 [ 0, 1 ] 取特殊的分割
O
x
1
将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为
1 2 n 1 0 1 n n n
1 每个小区间的长度 xi n i i 1 i 取 i [ , ] n n n (i 1,2, , n)
第九章 定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式
§3 可积条件
§4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算
9.1 定积分的概念
y
一、问题提出
1. 曲边梯形的面积
设 y = f (x)为区间[a, b] 上连 续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b
| f (i )xi J |
i 1
n
则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分. 记作
J f ( x)dx
a
b
也可用极限符号来表达定积分
J lim f (i )xi f ( x)dx
b ||T || 0 i 1 a
义
二、定积分的定义
定义: 在 [a, b] 内任取一组分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn }
y
y x2
则有
O
x
1 n 2 n n 1 1 n
S x 2 dx lim
0
1
||T || 0
i2 xi
i 1
n
i 2 1 lim ( ) n n i 1 n
n
1 n 2 lim 3 i n n i 1 1 1 lim 3 n (n 1)(2n 1) n n 6
b
b
b
b

a
a
f ( x)dx 0
a
a f ( x)dx b
f ( x)dx
曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形面积可用定积分表示为
S f ( x)dx
a
b
变力作功问题可表示为
W
F ( x ) dx
a
b
注：
F F(ξ ) , ξ [x , x ]作的功 Wi F (i )ti i i i1 i
ti ti ti 1
b
i
a
t1
ti 1 t i
t
⑶ 求和 总功 ⑷ 取极限 令 || T || max {ti } 0
1i n
W F (i )ti
i 1
再演示一下这个过程
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi
y
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(xi)代替 4、作和：S∆= f (1 )x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
a x1
xi 1 xi
1 i n
b
x
记 Δxi = xi – xi-1 ， 并称
|| T || max {xi }
为分割 T 的模
定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的
一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点
i Δi , i=1, 2, … , n ，作和
f ( )x
i 1 i
n
i
称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎 曼（Riemann）和
定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε
> 0 ，总存在 δ > 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T
= { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任意的i Δi , i=1, 2, … , n ，只要 ||T|| < δ , 就有
求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、 直转化为曲的辩证思想。这个计算过程， 就是一个先微分后积分的过程。也就是说， 把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每 个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这 些小“矩形”面积的和近似地表示原来大 曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转 化为局部的直，即“以直代曲”。
然后，再把分割无限加细，通过取极 限，就使小矩形面积的和，转化为原来大 曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来 转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转 化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、 积零为整的思想方法，是微积分乃至整个 高等数学的一个重要方法。
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
从中可以得到一个什么样的启示？
小曲边梯形的底：
y
y f (x)
f (i )
[ xi 1 , xi ]
小曲边梯形的高：
f (i )
小曲边梯形的面积：
O a
xi 1 xi i
b
x
Si f (i )(xi xi 1 )
⑴ 分割
i 1
n
i
O a x1
xi 1 xi b
x
y
⑷ 取极限 （直转化为曲） 让每个小区间的长度趋于零
f ( i )
令 || T || max {xi } 0
1i n
若极限
||T || 0
i
lim f (i )xi
i 1
n
O a x1
xi 1 xi b
x
存在，
则定义此极限值为曲边梯形的面积
1 n (n 1)(2n 1) 1 lim 3 3 6 n n
——曲边三角形面积的计算
Archimedes的想法：把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分 点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来 近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
O a
y f (x)
b
x
y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 下面讨论曲边梯形的面积
对于多边形的面积，我 们在中学就已经会计算
y
y f (x)
了，例如
矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不 能用这个公式来计算。
O a
b
x
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是
我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受
力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点
运动到 B 点，求变力作的功
F(x)
A
B
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化 不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲 边梯形面积的思想，
⑴ 分割
用任意的一组分点： a t0 t1 tn1 tn b 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n ⑵ 近似代替 在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi ，于是在该小区间上的力
f (i )xi (xi xi xi 1 )
i 1 n
y f (x)
S lim f (i )xi f ( x)dx
b || || 0 i 1 a
n
a
b
n i 1
x
5、取极限 S ||lim0 f (i )xi (|| T || max{xi }) T ||




例2 利用定义计算定积分 1
2
1 dx. x
2 n 1 解 在[1,2]中插入分点 q , q ,, q ,
典型小区间为[q
i 1
, q i ]，（i 1,2,, n ）
n
注 1： 积分和的极限与函数的极限有很大的区别 积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.
注 2：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du
规定当 a= b 时, 规定当 a > b 时,
f (i )xi (xi xi xi 1 )
i 1 n
y f (x)
f (i )
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
a x0 x1
x2
xi 1 i xi
xn 1 xn b
x
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi
y
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(xi)代替 4、作和：S∆= f (1 )x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
1.

f ( x ) dx 与

b
a
f ( x)dx 的差别
是函数 是一个确定的常数
f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数

b
a
f ( x)dx是一个和式的极限
2 .当
f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及 i
f ( )x
n i 1 i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx a f ( x)dx

a
a
f ( x)dx 0
例 1 求在区间 [ 0, 1 ] 上，以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积 解 由定积分的几何意义，有
（化整为零）
用任意的一组分点： a x0 x1 xn1 xn b
把 [ a, b ] 分成 n 个小区 间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n 相应地把曲边梯形分为 n
y
个小曲边梯形，其面积分
别记为ΔSi i=1, 2, …, n
O a x1
xi 1 xi b
定积分

b
a
f ( x)dx
y o
a S
b
x
就是位于 x 轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即

b
a
f ( x)dx S
y=f (x)
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； x 轴下方的面 在 积取负号．
2
2
2
y x2

O







1 n
2 n
k n
n n
x
三 定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分

b
y=f (x)
a
f ( x)dx
o
y A S
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
a
b
x
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
y
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
S liLeabharlann Sn n 1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 6
1 1 1 2 1 n 1 1 Sn 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 6 n 1 1 1 1 2 . 6 n n
n
若极限
||T ||0
lim F (i ) ti
i 1
n
存在，
则定义此极限值为力所做的功
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或 是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某 些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者 说都归结为形如
n f ( i ) xi i 1
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题 中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天 要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定
x
⑵ 近似代替
（曲转化为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 于是小曲边梯形的面积 其中 xi xi xi 1
Si f (i )xi
y
f ( i )
i
O a x1
xi 1 xi b
x
⑶ 求和
（积零为整）
y
大曲边梯形的面积
f ( i )
S f ( i )xi