高一数学限时练7答案解析-.doc

成效中学高一数学限吋练（七）（2018.3.26）
一、选择题
1. 给出下列命题：
①如果不同直线W 、n 都平行于平而a,则m 、zt —定不相交；
©如果不同直线仍、n 都垂直于平而a ，则m 、/t 一定平行；
©如果平面a 、/?互相平行，若直线m （=a ，直线ncf ，则m//n;
④如果平面a 、/?互相垂直，且直线⑺、N 也互相垂直，若m 丄a ，贝ijn 丄/?.
其中正确的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列命题正确的是（）
A. 两两相交的三条直线可确定一个平面
B. 两个平而与第三个平而所成的角都相等，则这两个平而一定平行
C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
3. 将一个底而半径为1，髙为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体 积
为（）
4. 已知三棱柱-人仏么的侧棱与底而边长都相等，么在底而ABC 上的射影7）为衫C 的中点，
则异而直线与所成的角的余弦值为（）
二、填空题
6. 已知圆锥的侧面展开图是半径力3，圆心角力120°的扇形，
7. 若正四棱锥P-/的高为2,侧棱/VI 与底面ABCD 所成角的大小力1则该正网棱
4
B. 7T 3 87T
D.
5.某个长方体被一个平面所截，得到的儿何体的三视图如图 所示，则这个几何体的体积为（） A. 4 B. 2V2 C. 4>/2 D. 8 "TI + -+I
丄 丁7?+^上
3 4 卜及十
则这个圆雒的高为 ______
锥的体积为_____ .
三、解答题
8如图为一简单组合体，其底面A衫CD为正方形，PD丄平面EC//PD, IL PD = AD = 2EC = 2, /V 为线段PB的屮点.
(I)证明：NE LPD: p (n)求三棱锥E — PSC的体积.
9如图，在三棱柱?1权＜：一＞11权161中，丑Si丄平面Z丑C, ZF/IC = 90°, AC = AB = AA lf BC 的屮点.
(1)求证：4五丄丑
(2)求异而直线A£与^所成的角的大小；
(3)若G为中点，求二而角C—71G — E的正切值. . ______________
1解：在①中，如果不同直线m、At都平行于平而a,则w 相交、平行或异而，故①错误；
在®中，如果不同直线m、〃都垂直于平面a，则由线面垂直的性质定理得m、M—定平行，故®正确；
在@中，如果平而a、/?互相平行，若直线me a：直线nc/?，则w、n相交、平行或异面，故®
错误；
在④屮，如果平面a、/?互相乘直，且直线m、A?也互相垂直，若m丄a，则n与/?相交或平行，故④错误.
故选：A.
在①中，W、n相交、平行或异面;在®中，由线面垂直的性质定理得—定平行;在®中，… n相交、平行或异而；在④中，n与相交或平行.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、而而间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.
2解：对于九两两相交的三条直线可确定一个平而或三个平面，故A错误；
对于队两个平而与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故6错误；对于
C,过平而外一点的直线一定在平而外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于和两
条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共而直线，故£>错误.
故选：C.
根据空间屮的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项屮的命题判断正误即可.
本题考査了空间屮的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质应用问题，是基础题0 3解：如图，
设切割岀的圆柱的底而半径为r(0 <r<l),高为/z, 则= -» 艮P/i = 2 — 2r，
•••圆柱的体积V = 7r x r2 x (2 — 2r) = zr(—2r3 + 2r2)(0 < r < 1). 令,(r) = —2r3 + 2r2,则尸(r) = —6r2 + 4r = —2r(3r — 2).
当re(O, I)时，尸(r)〉0,当re(|，1)时，f(r) < 0, .•./⑺在⑺，I)上为增函数，在1)上为减函数，则当r = |时，/(r)有极大值，也就是最大值为/(|)=吾.
.•.切割出的圆柱最大体积为故选：C.
由题意画岀图形，设切割出的圆柱的底而半径为r(0<r<l)，高为/t，利用三角形相似把/I 用含有r 的代数式表示，写出圆柱体积，利用导数求最值.
本题考查柱、锥、台体体积的求法，训练了利用导数求函数的最值，是屮档题.
4解：①只有丄平面石即丄平面时，
才能满足对于任意给定的点P,存在点0，使得込丄CP,
•.•过仏点于平而垂直的直线只有一条
而
•••①错误；
©当点P与仏重合时，
CP丄4召，且CP丄71/)1,
CP丄5P 而Z 召Z\,
•••对于任意给定的点2，都有DW c平而ylFDp •••对于任意给定的点2，存在点P，使得.•.②正确；
③只有CP垂直込/?在平面打中的射影时，A/?丄CP，•••③正确；
④只有CP丄平而AC/^时，④才正确，
•••过C点的平面AC/^的垂线与衫么无交点，
•••④错误.
故选：B
5解：三视图复原的儿何体是长方体，长方体忪、宽、商分别是: 2' 2，3，
所以这个几何体的体积是2 x 2 x 3 = 12，
长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，
则这个几何体的体积为12 xf = 8.
故选D.
三视图S原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体
长、宽、高，即可求出几何体的体积.
此题考查了梭柱的体积和表面识，由三视图判断儿何体，考查三视®的读图能
力，计算能力，空间想象能力.
6解：设圆锥的成面半径为〃，母线长为/,贝 1 解得f = 1，r = 1.
•••圆锥的罚/i = y/l2— r2 = V9 — 1 = 2^2-
故答案为：2V2-
根据圆锥侧囬展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的尚.
本题考杏了圆锥的结构特征，弧长公式，属于基础题.
7解：连结AC、BD，交于点0,连结尸0, •••正
四棱锥P — ylFCT)的高为2,
侧棱M与底面A6CD所成角的大小为1
4
...尸0丄平面A召CZZ且尸0 = 2,
•••侧棱以与底面ABCD所成角为，且
^PAO =
4
••• A0 = 2，A AB = 2V2,
.•.该正四棱锥的体积：
y = 1 x PO x S正方形ABCD = | x 2 x(2V2 x
2V2) =
故答案为：
连结AC、交于点0，连结P0，贝丄平面ABCD,且卯=2，从而侧棱PA与底而
MCD所成角为z/MO,且进而yu? = 2, AB = 2扎由此能求出该正四棱锥的
体积.
本题考查正叫棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题.
8 (I)证明：连结AC与交于点F,则F为的中点，
连结A77,
E
•••/V为线段尸召的屮点，/. NF//PD, H/VF
又EC//P瞰EC = \PD,
••• NF//ECKNF = EC.
.•.四边形7VFCE为平行四边形，
NE//FC, ^NE//AC.
X-.- PD丄平而71567)，4C c而A8CD f
v NE//AC. •' NE 1 PD;
(n)解：••• PD 丄平P£) c平由f W)C£，
平面尸DCE丄平面ABCD,
••• BC 1. CD，TffiPDCF Cl平面4FCD = CD，BC c平面ABCD,
/. BC 丄平面PDCE.
三棱锥 F — PFC 的体积 膩=V B _PEC = !S 麗-5C = |x|xlx2x2=|. 9证明：（I ）连结川9交AC 于点yv ，连结AW -AB//CD f
•••△ CDN 〜么 ABN
BN AB o ••• — = — =2. DN CD
V BM = 2PM ，
BM BN ••• — = — = 2.
PM DN ... MN//PD.
又觀（=平而AMC PD （Z ：平而MAC, ••• PD//^MAC.
（n ） •.•平面丄平面AB CD,平面/MB n 平UM 打CD =如，丄4D, AD c 平面ABCD, A AD 丄平•尸c 平面 PAB ， ••• X£> 丄 /\4.
同理可证/^ _L /M.
XAB AD cz^ABCD, AB n AD = A, PA 丄平面 ABCD.
（皿）解：由（n ）知，/M 丄平面ABCR 乙PCA 为PC 与平面/WCD 所成的角. V PA=AD = 2, CD = 1,
/. AC = ^lAD 2 + CD 2 = V5,
PC 与平面MCZ ）所成角的正切值力 ••• tanzPCTl
PA _ 2>/5 ~。