cxj20415x

5i1 + 5i2 = V i −i −i = 0 3 4 5 2i4 − 3i5 = 0 i −i −i = 0 1 2 3 5i2 − 7i3 − 2i4 = 0
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在许多实际问题中， 都会出现线性方程组的求解问题。 在许多实际问题中， 都会出现线性方程组的求解问题。
bi( i ) − x = i
a
j = i +1 (i ) ii
( aiji ) x j ∑
n
i = n − 1, n − 2,⋯ ,2,1
定理 若A的所有顺序主子式 均不为 ，则高斯消元 的所有顺序主子式 均不为0， 的所有
无需换行即可进行到底，得到唯一解。 无需换行即可进行到底，得到唯一解。
例如：结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、 例如：结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化 化问题等等。 化问题等等。
在许多数学问题中， 也会出现线性方程组的求解问题。 在许多数学问题中， 也会出现线性方程组的求解问题。
例如：三次样条、最小二乘法、非线性方程组、 例如：三次样条、最小二乘法、非线性方程组、微分方程组 数值解、微分方程边值问题的差分法与有限元法等等。 数值解、微分方程边值问题的差分法与有限元法等等。 线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位. 线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位 下面来看线性方程组的解法。 下面来看线性方程组的解法。
结合全主元消去后的 结果： 结果：
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高斯-若当消去法 高斯-若当消去法 与高斯消元法的主要区别： 高斯消元法的主要区别： 的主要区别 每步不计算 mik ，而是先将当前主元 akk(k) 变为 1; 所在列的上、下元素全消为0; 把 akk(k) 所在列的上、下元素全消为
Ax =b ⇒ ⇒
I x = A −1b x = A −1b
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三、运算量
由于计算机中乘除 运算的时间远远超过加减 运算的时 故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数 乘除的次数， 间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数， 而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 为运算量的数量级 而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 高斯消元法: 高斯消元法
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当 det( A) ≠ 0 时， 线性方程组有唯一解
求解线性方程组的方法： 求解线性方程组的方法： （1） 直接法：主要针对系数矩阵为低阶稠密矩阵 ） 直接法： 的线性方程组以及某些大型稀疏矩阵的方程组； 的线性方程组以及某些大型稀疏矩阵的方程组； （2） 迭代法：主要针对解大型稀疏矩阵的线性方 ） 迭代法： 程组. 程组
用矩阵和向量表示， 用矩阵和向量表示，上述方程组可改写为
Ax = b
其中
a11 a A = 21 ⋮ an1
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
x1 x x = 2 ⋮ xn
b1 b b = 2 ⋮ bn
(1 a11) 0 (2) (2) (A ,b ) = ⋮ 0
i = 2 ,3 , ⋯ , n
(1 ( ( a12) ⋯ a11 ) b11 ) n (2) (2) (2) a22 ⋯ a2 n b2 ⋮ ⋮ ⋮ ( (2 ( an2 ) ⋯ ann ) bn2 ) 2
a11 ... a1i 事实上， 非奇异， 注：事实上，只要 A A ) = ...，... A−1 存在，则可通过逐 非奇异 即 ... 存在， det( i
次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组， 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 a i 1 ... a ii 唯一解。 唯一解。
⋯ ⋯
(k akk ) ⋮ (k ank )
( ( ⋯ a11 ) b11 ) n (2) (2) ⋯ a2 n b2 ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ akn bk ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ ann bn
第i行 − 第k行 × mik , 则
( ( ( aijk + 1 ) = aijk ) − mik akjk )
用增广矩阵表示： 解：用增广矩阵表示：
1 (A b ) = 0 2 1 r3 + r2 → 0 0
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即上三角方程组： 即上三角方程组：

x1 + x 2 + x 3 = 6 4 x2 − x3 = 5 − 2 x 3 = −6
回代， 回代，得：
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用高斯消去法求解方程组： 例1. 用高斯消去法求解方程组：

x1 + x 2 + x 3 = 6 4 x2 − x3 = 5 2 x1 − 2 x 2 + x 3 = 1
1 1 6 r − 2r 1 1 1 6 3 1 4 − 1 5 → 0 4 − 1 5 0 − 4 − 1 − 11 − 2 1 1 1 1 6 4 −1 5 0 − 2 − 6
1 10 9 例： 1 1 10 9 2 ⇒ 1 0 10 9
− 10 9
10 9 ⇒ x 2 = 1 , x1 = 0 9 − 10
注意： 注意：这两个方程组 严格等价。 在数学上严格等价 在数学上严格等价。
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实际应用中直接调用高斯消 元法解3 元法解3阶线性方程组的结 果：
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设有n 设有n元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a x + a x + … + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 x1 + an 2 x2 + … + a，xn = bn nn
数
值
分
析
主讲教师： 主讲教师：陈晓江 Email：cxj60@ ： QQ ： 452041894
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第四章 线性方程组的直接解法
§1 实际问题的导入 §2 高斯消去法 §3 矩阵的三角分解法 §4 解三对角方程组的追赶法 §5 向量和矩阵的范数 §6 方程组的性态与误差分析
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§1 实际问题的导入
先看一个实际问题。 先看一个实际问题。 在电路图中， 在电路图中， 由基尔霍夫定律可知， 由基尔霍夫定律可知， 在电路中的任一节点， 在电路中的任一节点， 在任一瞬间流出（流入）该节点的所有电流的代数和恒为零. 在任一瞬间流出（流入）该节点的所有电流的代数和恒为零 作参照点， 以G作参照点，可知电流满足以下的线性方程组 作参照点
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消元
(1 假定 a11) ≠ 0
定义行乘数
1 ai(1 ) mi 1 = ( 1) a11
i = 2 ,3 , ⋯ , n
第i行 − 第1行 × mi 1 , 则
a
(2) ij
=a
( 1) ij
−m a

( 1) i1 1 j
i , j = 2 ,3 , ⋯ , n
( bi( 2 ) = bi( 1 ) − mi 1b11 )
x3 = 3
x2 = 2 x1 = 1
所以
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
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二、高斯选主元消去法
例：单精度解方程组 /* 精确解为 x1 =
10 −9 x1 x1
8个 个
+ +
x2 x2
= 1 = 2
8个 个
1 = 1.00 ... 0100... 和 x 2 = 2 − x1 = 0.99 ... 9899... */ −9 1 − 10
( A( 1 ) , b( 1 ) )
由于 det( A) ≠ 0
( 可知 aiii ) ≠ 0
i = 1,2 , ⋯ , n
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因此 , 上三角形方程组 A( n ) x = b( n ) 有唯一解
因此可得线性方程组 Ax = b 的解：
回代
( bnn ) xn = ( n ) a nn
用高斯消元法计算： 高斯消元法计算： 计算
m 21 = a 21 / a11 = 10 9 8个 个
a 22 = 1 − m 21 × 1 = 0.0 ... 01 × 109 − 109 = −10 9 ɺ
b 2 = 2 − m 21 × 1 = − 10 9 ɺ
10 −9 1 1 ⇒ 0 − 10 9 − 10 9 ⇒ x 2 = 1, x1 = 0
(1 a11) ( 1) 记 (1) (1) a21 A = ( A, b ) = ( A , b ) = ⋮ a( 1) n1 (1 ( a12) ⋯ a11 ) n (1 ( a22) ⋯ a21 ) n ⋮ ⋮ ( (1 an1 ) ⋯ ann) 2
( b11 ) ( 1) b2 ⋮ ( bn1 )
小主元 可能导致计算 失败。 失败。
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全主元消去法 每一步选绝对值最大的元素为主元素， 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 | m ik | ≤ 1 . Step k: ① 选取 | a i
k
jk
| = max | a ij | ≠ 0 ;
k ≤ i , j≤ n
② If ik ≠ k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk ≠ k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后 的顺序，须记录交换次序 交换次序， 再换回来。 再换回来。 列主元消去法 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。