2018-2019学年浙江省绍兴市第一中学高一数学下学期学考模拟考试试题{含解析}
绍兴市第一中学数学高一下期末基础卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12716]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：12712]已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛4．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +6．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．(0分)[ID ：12675]要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 8．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A．2⎛ ⎝⎭B．2⎡⎢⎣⎦C．2⎡⎢⎣⎭ D．⎛ ⎝⎦9．(0分)[ID ：12672]若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3 CD10．(0分)[ID ：12635]已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 11．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．(0分)[ID ：12664]已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．913．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞14．(0分)[ID ：12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．415．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题16．(0分)[ID ：12828]已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．17．(0分)[ID ：12827]在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示） 18．(0分)[ID ：12826]在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.19．(0分)[ID ：12819]设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．20．(0分)[ID ：12802]已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______．21．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .22．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．23．(0分)[ID ：12732]在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆3AC =__________．24．(0分)[ID ：12754]某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．25．(0分)[ID ：12747]已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =，则点P 的坐标为________三、解答题26．(0分)[ID ：12910]为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 27．(0分)[ID ：12907]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=ABC 的周长．28．(0分)[ID ：12902]ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 29．(0分)[ID ：12867]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.30．(0分)[ID ：12863]如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ； (2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．B4．B5．A6．C7．C8．A9．B10．B11．C12．D13．A14．B15．C二、填空题16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中17．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决18．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位19．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式20．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用21．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通23．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解24．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图25．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式4．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．B 解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+2222322m OA nOB OAm OA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=2=229m n ∴=又C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.11．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．12．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()1111441445529a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．13．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A.【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.14．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.15．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．二、填空题16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n na 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,nn n n n n n a S S a a---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22n n a n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.nn n nn n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．17．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决解析：12nm【解析】 【分析】 【详解】由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()22221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积之和为211=22ππ⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122,1342n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答案为12nm. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.18．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位解析：{8,8-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =,所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想19．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：1n-【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1n S n=-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.20．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>， ∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a++≥+=. ∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.21．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到11 2.222S AB AB =⨯⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为2，由正弦定理的面积公式得到：11 2.2S AB AB =⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=故得到AC =.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.24．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为．考点：三视图．25．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设点(),P x y ,得出向量33,22AP BP AP BP ==-,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.【详解】 设点(),P x y ,因为点P 在直线,且3||||2AP PB =, 33,22AP BP AP BP ∴==-,3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=--+，即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或243122639x x y y -=-+⎧⎨-=--⎩, 解得815x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.三、解答题 26．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125ii y==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑，解得：^ 1.23b=-，^8.69a=，所以：8.69 1.ˆ23yx =-， （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．27．（12+【解析】 【分析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 2a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac B B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =2c ∴==a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.28．（1）3C π=（2）5【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 6222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.29．（Ⅰ）516.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】【分析】【详解】 （Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为516． （Ⅱ） 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为616； 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 30． （1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=， 【解析】【分析】（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值. 【详解】（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APS ABC ∆∆，所以12sin cos sin cos h PS PS BC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t =+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in94S S ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 【点睛】 直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.。
浙江省绍兴市第一中学2018-2019学年高一下学期学考模拟考试数学试题
（）
A.
2, 2
B. 2,0
C. 2,1
D. 0,1
4.已知实数 x ， y 满足 4 x y 1， 1 4x y 5 ，则 9x y 取值范围是（ ）
A. [ 7,26]
B. [ 1,20]
C. [4,15]
D. [1,15]
5.给出平面区域如图所示， 若目标函数 z x ay(a 0) 仅在点 (2, 2) 处取得最大值， 则 a 的取值范围为 （ ）
D. 8
8.已知 x ， y 满足______ ． x y1
9.若关于 x 的不等式 x 2 x a a 在 R 上恒成立 , 则 a 的最大值是 _________.
10. 若正实数 x ， y 满足 2x y 2 ，则 4x2
y2
的最小值是 __________ ．
y 1 2x 2
的. 的 三、解答题（每题 20分，共 40分）
11. 已知 f x
x2
1
a
x 1.
a
1 （ 1）当 a 时，解不等式 f x 0 ；
2 （ 2）若 a 0 ，解关于 x 不等式 f x 0 .
12. 已知函数 f x 3x 2
（ 1）解不等式 f x 4 x 1 ；
1 A. 0 a
3
1 B. a
3
1 C. a
3
6.正实数 x 、 y 满足 4x2 y2 2xy 4 ，则 2x y 的最大值是（
A. 2
B. 3
C. 4
二、填空题（每题 6 分，共 24 分）
a
7.已知 12 a 60 , 15 b 36, 则
取值范围为 __________.
b
的1 D. 0 a 2 ）
2018-2019学年绍兴一中高一下学期数学期中试卷
1 + 1 1 =
S1 S2
S 2019
▲．
15.已知 sin2 = a ，cos2 =b，0＜ ＜ ，给出 tan 值的五个答案：① b ；
4
4
1 a
② a ；③ 1 b ；④ 1 a ；⑤ a b 1 ．其中正确的是
1b
a
b
a b 1
21.（本题满分 9 分）
在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，向量 OA
1, 2 , OB
2,1
， OM
t,3
（I）若 OD OA OB ,当 OD DA DB 10 ，求 的值;
第 8 题图
第 10 题图
9.若 sin 2
5 , sin
5
10 10
,且
4
, ,
,
3 2
, 则
的值是（
▲
）
A． 7 4
B． 9 4
C． 5 或 7 44
D． 5 或 9 44
10.如图，已知三个边长均为 2 的正三角形△ A1B1A2 ，△ A2B2 A3 ，△ A3B3 A4 ， 其中 A1 ， A2 ，
层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ▲ ）
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
3.设 sin 2 sin 0 ， ( ,0) ，则 tan 2 的值是（ ▲ ）
2
A． 3
B． 3
C． 3 3
D． 3 3
4．已知向量 a ， b 满足
浙江省绍兴市第一中学2018_2019学年高一数学下学期学考模拟考试试题
浙江省绍兴市第一中学2018-2019学年高一数学下学期学考模拟考试试题《不等式》班级 ＿＿ 姓名 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 学号 ＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿一、选择题（每题6分，共36分） 1．若a ＜b ＜0，则( )A.1a ＜1b B ．0＜a b ＜1 C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b2.若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)4.已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －y 的取值范围是( )A ．[－7,26]B ．[－1,20]C ．[4,15]D ．[1,15]5.给出平面区域如图所示，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0) 仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13B ．a ≥13C ．a ＞13D ．0＜a ＜126.正实数x 、y 满足42422=-+xy y x ，则2x+y 的最大值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题（每题6分，共24分） 7. 已知12<a<60,15<b<36,则ab的取值范围为 . 8.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为__________．9. 若关于x 的不等式|x-2|+|x-a|≥a 在R 上恒成立,则a 的最大值是 .10. 若正实数x ，y 满足2x+y=2，则224122x y y x +++的最小值是____ _．三、解答题（每题20分，共40分）11.已知f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0； (2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.12.已知函数f （x ）=｜3x+2｜ （Ⅰ）解不等式14)(--<x x f ，（Ⅱ）已知m+n=1（m ，n>0），若11||()(0)x a f x a m n--≥+>有解，求实数a 的取值范围．高一数学学考模拟测验《不等式》班级 ＿＿ 姓名 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 学号 ＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿一、选择题（每题6分，共36分） 1．若a ＜b ＜0，则( C )A.1a ＜1b B ．0＜a b ＜1 C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析：∵a ＜b ＜0，∴两边同乘以b 得ab ＞b 2，故选C.2.若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)解析：令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝m 2＋m －2＜0，f －1＝m 2－m ＜0，解得0＜m ＜1，故选D.4.已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －y 的取值范围是( B )A ．[－7,26]B ．[－1,20]C ．[4,15]D ．[1,15]解析：令m ＝x －y ，n ＝4x －y ，则z ＝9x －y ＝83n －53m ∈[－1,20]．5.给出平面区域如图所示，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0) 仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( C )A ．0＜a ＜13B ．a ≥13C ．a ＞13D ．0＜a ＜12解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za ，则由题意得－3＝k AC ＜－1a ＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：C6.正实数x 、y 满足42422=-+xy y x ，则2x+y 的最大值是 （ C ）A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题（每题6分，共24分） 7. 已知12<a<60,15<b<36,则a b 的取值范围为 . 1(,4)38.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为__________．解析：画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 9. 若关于x 的不等式|x-2|+|x-a|≥a 在R 上恒成立,则a 的最大值是 【解析】|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a ≤1, 所以a 的最大值为1.10. 若正实数x ，y 满足2x+y=2，则224122x y y x +++的最小值是_____．45三、解答题（每题20分，共40分）11.已知f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0； (2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0. 【解】(1)当a ＝12时，不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，解得12≤x ≤2.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤2.(2)因为不等式f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，当0＜a ＜1时，有1a ＞a ，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a ≤x ≤1a ；当a ＞1时，有1a ＜a ，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a ≤x ≤a ；当a ＝1时，原不等式的解集为{1}．12.已知函数f （x ）=｜3x+2｜ （Ⅰ）解不等式14)(--<x x f ，（Ⅱ）已知m+n=1（m ，n>0），若11||()(0)x a f x a m n--≥+>有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）51(,)42-（Ⅱ）3100≤<a【解析】：（Ⅰ）解含绝对值的不等式，关键在于根据绝对值的定义去绝对值，分类讨论 （Ⅱ）不等式恒成立问题，先化为函数最值，即先求11m n+最小值，由411))(11(11≥+++=++=+nmm n n m n m n m 得||()4x a f x --≥，再根据绝对值的定义去绝对值，分类讨论.试题解析：（Ⅰ）不等式14)(--<x x f ，即4123<-++x x ，当32-<x 时，即,4123<+---x x 解得,3245-<<-x 当132≤≤-x 时，即,4123<+-+x x 解得,2132<≤-x当1>x 时，即,4123<-++x x 无解，综上所述)21,45(-∈x ． （Ⅱ）411))(11(11≥+++=++=+nmm n n m n m n m ， 令。
浙江省绍兴一中2018学年第二学期期中考试高一数学试卷
绍兴一中2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图，已知向量 ，那么下列结论正确的是（ ）BA. B. C. D.2. 在ABC ∆中，已知，，，则等于（ ）CA ．B ．C ．D ．3．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) B A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取最小值时， 等于( )DA. 9B. 8C. 7D. 6n 8420191817A ．9 B ．12C ．16D ．178. 已知等比数列 的公比是 ，首项 ，前n 项和为 ，设 成等差数列，若，则正整数 的最大值是( )A A. B. C. D.9．已知正项数列数列 ， 为前 项和，且满足， ，若不等式对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）CA.（-∞，6）B. （2，+∞）C. （-∞，-1）D. （-∞，1）解： ， 当n 为奇数时， ，当n 为偶数时， ，所以，10. 两非零向量 , 满足:| |=| |,且对任意的x ∈R ,都有| +x |≥,若| |=2| |,0<λ<1,则的取值范围是( )BA.[( )，( ）] B. [( )，) C. [( )， ] D. [1，( )]对任意的x ∈R ,都有|b +x a |≥ -, 即有(b +x a )2≥ -,即为b 2+2x a ·b +x 2a 2≥b 2-a ·b +a 2,由|a |=|b |,可得x 2a 2+2x a ·b +a ·b -a 2≥0恒成立,可得4(a ·b )2-4a 2·(a ·b-a 2)≤0,(θ为a ,b 的夹角),即为|a |4·cos 2θ-|a |4·cos θ+|a |4≤0,即有 - ≤0, -≥0,可得cos θ= ,sin θ=,（或者直接由几何法得出三角形ABC 为正三角形） 可设|a |=|b |=2,|c |=1,设 =a =(2,0),=b =(1, ),=c ,C 在单位圆上运动,由=λa +(1-λ)b 可得P 在线段AB 上运动(不含端点), 即有单位圆上的点到线段AB 的距离的最小值为 -1,最大值为 ,则 - - --的范围是 -. 故答案为[( )，)二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分) 11.数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a .【答案】53. 12. 在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 和 27,8113.已知数列{}n a 为递增的等差数列，且-4，则 ；n a = ．,14.数列{a n }的前 项和为 ，已知a n,则________.15. 已知 =1， =2, 与 的夹角为60°，则 ＋ 在 方向上的投影为________．2 16. 在锐角ABC ∆中，角 对应的边为 ， ,若2A B =，则ab的取值范围为________． 解析：∵A=2B ,∴根据正弦定理得=2cos B.(sin B ≠0)∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B.∵角C 为锐角,∴30°<B<60°.又0°<A=2B<90°,∴30°<B<45°,<cos B<,即 <2cos B< ,则的取值范围是( ),17. 已知数列{a n}，{b n}满足a 1＝2，b 1＝1，⎩⎨⎧a n ＝23a n －1＋13b n －1＋1，b n＝13an －1＋23b n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则(a 1008＋b 1008)(a 2018－b 2018)＝________.解析 由题意可得a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＋2，a n －b n ＝13(a n －1－b n －1)， 所以数列{a n ＋b n }是以a 1＋b 1＝3为首项，2为公差的等差数列， 数列{a n －b n }是以a 1－b 1＝1为首项，13为公比的等比数列，所以(a 1008＋b 1008)(a 2018－b 2018)＝(3＋2×1007)×＝.三、解答题 (本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18. （本小题9分）平面内给定三个向量 ＝(3，2)，＝(－1，2)， ＝(4，1)． (1)求满足 ＝m＋n 的实数m ，n ； (2)若(＋k )∥(2b － )，求实数k 的值； (3)若n ≠0，且m＋n 与 －2 垂直，求m n 的值． 解：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.（3分）(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.（3分）(3)m a ＋n b ＝(3m －n ，2m ＋2n )， a －2b ＝(5，－2)，由题意得5(3m －n )－2(2m ＋2n )＝0， 解得m n ＝.（3分）19. （本小题10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ,已知c=6，sinA-sinC= sin （A —B ）（1）求B 的大小.（2）若16,sinC a ≤≤求的取值范围.解：（1）因为sinA=sinC+sin （A —B ）= sin （A+B ）+sin （A —B ）=2sinAcosB 所以cosB=12.B=60︒…………………………………..4分 （2）22222cos 636b a c ac B a a =+-=-+由余弦定理，，即由正弦定理6sin ,sinc sin c b c B B b ===即sinC=a ∈,从而sinC的取值范围为⎤⎥⎣⎦………….10分 （其他正确答案请酌情给分）20．（本小题10分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1可得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，a 1－1＝1≠0，所以a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝4，为非零常数，所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列．（5分） (2)解 由a n －n ＝4n －1，得a n ＝4n －1＋n ， 所以S n ＝4n －13＋(n ＋1)n 2.（5分）21. （本小题10分）在 中，点 在 上， ， 是 的中点. (1)设= , = ,用 ， 表示 , ; （2）若， ，求. （1）, =（5分）（2）在 和 中，由正弦定理可得,.（5分）22.（本题满分10分）已知数列{n a }满足：2110n n n a a a +--+=，12a =（1）求23,a a ；（2）证明数列{n a }为递增数列； （3）求证：1231111...1na a a a ++++< 解析 (1) 121+-=+n n n a a a ，7,332==a a （2分）（2）()0112221>-=+-=-+n n n n n a a a a a 对*∈N n 恒成立，（2分）（3）n n n a a a -=-+211n n n n n a a a a a 11111121--=-=-⇒+111111---=⇒+n n n a a a 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++++111111111111111113221321n n n a a a a a a a a a a1111111<---=+n a a （6分）ABMCN参考答案：BABDCBAACB 11.53. 12. 27,81 13．, 14.16. (), 17..18.解：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝59，n＝89.（3分）(2)a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.（3分）(3)m a＋n b＝(3m－n，2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)，由题意得5(3m－n)－2(2m＋2n)＝0，解得mn＝.（3分）19.解：（1）因为sinA=sinC+sin（A—B）= sin（A+B）+sin（A—B）=2sinAcosB所以cosB=12.B=60︒…………………………………..4分（2）22222cos636b ac ac B a a=+-=-+由余弦定理，，即由正弦定理6sin,sinc sinc b c BB b===即sinC=a∈,从而sinC的取值范围为⎤⎥⎣⎦………….10分（其他正确答案请酌情给分）20.(1)证明由a n＋1＝4a n－3n＋1可得a n＋1－(n＋1)＝4(a n－n)，a1－1＝1≠0，所以a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4，为非零常数，所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列．（5分） (2)解 由a n －n ＝4n －1，得a n ＝4n －1＋n ， 所以S n ＝4n －13＋(n ＋1)n 2.（5分）21. 解（1）, =（5分）（2）在 和 中，由正弦定理可得,.（5分）22.解析 (1) 121+-=+n n n a a a ，7,332==a a （2分）（2）()0112221>-=+-=-+n n n n n a a a a a 对*∈N n 恒成立，（2分）（3）n n n a a a -=-+211n n n n n a a a a a 11111121--=-=-⇒+111111---=⇒+n n n a a a 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++++111111111111111113221321n n n a a a a a a a a a a1111111<---=+n a a （6分）。
浙江省普通高中2018-2019学年度高三数学学考模拟卷(一)与参考答案
浙江省普通高中数学学考模拟试卷（一） 2018-10 班级： 姓名： 考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==,则AB = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}4D ．{}2,4 2．已知向量()1,2AB =,()2,2BC =,下列说法中正确的是A ．()4,3AC =B ．4BC = C ．5AC =D ．以上都不正确3．若tan θ=且θ为第三象限角,则cos θ=A B ．C ．13D ．13-4．式子21lg 2lg5log 2++= A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-5．下列函数中,与sin 2y x =的最小正周期和奇偶性都相同的是A ．cos 2y x =B ．sin y x =C ．tan y x =D ．sin 2x y =6．函数()()ln 2f x x =-A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．(]1,2-D ．[]1,2- 7．在点()1,1,()2,3,()4,2中,与点()0,1-在直线3210y x -+=同一侧的点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．两平行直线1:l 210x y ++=,2:4230l x y ++=的距离为AB C D ．29．下列关于空间中的直线,l 平面α和平面β的说法中正确的是A ．若l α∥,则平面α内所有直线都与直线l 平行B ．若αβ⊥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 垂直C ．若αβ∥且l α⊥,则平面β内所有直线都与直线l 垂直D ．若αβ∥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 平行。
2018年浙江省绍兴市高考一模数学试卷【解析版】
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，1] 2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（4分）已知a∈R，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04B．3C．D．26．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC＝5，，则BC＝（）A．2B．3C．5D．107．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2xC．f（x）＝2x D．f（x）＝sin x9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，＝，＝．（用数字作答）12．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a＝，X的数学期望E（X）＝．13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2＝S6，，则a1＝，公差d＝．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y＝2，则当x＝时，取得最小值为．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有种不同值班方案．（用数字作答）16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB＝，则的最大值为．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线P A与平面ABC所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，1]【解答】解：集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：B．2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝i，得z＝，则|z|＝||＝．故选：C．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体左侧是半球，右侧是圆柱，几何体的体积V＝π×13+π×12×2＝．故选：B．4．（4分）已知a∈R，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当a＝0时，f（x）＝x2，为偶函数，则“a＝0”是“f （x）＝x2+ax是偶函数”的充分条件，若“f（x）＝x2+ax是偶函数”，则有f（﹣x）＝f（x），即x2﹣ax＝x2+ax，解可得a＝0，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的必要条件，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的充分必要条件，故选：C．5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04B．3C．D．2【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域：将目标函数变形为y＝﹣3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过（1，0）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0＝3，故选：B．6．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC＝5，，则BC＝（）A．2B．3C．5D．10【解答】解：内角C为钝角，，可得cos C＝﹣＝﹣，在△ABC中，AC＝5，，由余弦定理可得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即45＝25+BC2﹣10•BC•（﹣），即BC2+8BC﹣20＝0，解得BC＝2（﹣10舍去），故选：A．7．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵（t∈R），由题意BF垂直于双曲线的渐近线y＝x，∵k BF＝﹣，∴﹣•＝﹣1，∴b2﹣ac＝0，∴c2﹣a2﹣ac＝0，∴e2﹣e﹣1＝0，∵e＞1，∴e＝．故选：D．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2xC．f（x）＝2x D．f（x）＝sin x【解答】解：若存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．即函数f（x）在（0，+∞）上存在最大值，分析给定的四个函数，A，B，C均不满足条件，故选：D．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，把△A′CM继续旋转，一直旋转到平面ABC里面，这时A′在A″位置，这时∠AMN＝＝∠A″MN，，此时，∠A″MB是直线A′M和BM所成的最小角，∵＞不成立，∴θ的取值不可能为．故选：A．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x【解答】解：x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），可得x tan y＝4sin2＜4•＝x2，即tan y＜x，又x＜tan x，可得tan y＜tan x，即y＜x；由x tan y＝4sin2＞x tan⇔2sin x sin＞x sin⇔2sin x＞x，由y＝2sin x﹣x的导数为y′＝2cos x﹣1，x∈（0，），cos x∈（，1），则2cos x﹣1＞0，即函数y＝2sin x﹣x在x∈（0，）递增，可得2sin x＞x，即有y＞，可得＜y＜x，故选：C．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，＝20，＝35．（用数字作答）【解答】解：由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，故＝20，＝35故答案为：20，3512．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a＝，X的数学期望E（X）＝．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：2a+a＝1，解得a＝，E（X）＝＝．故答案为：，13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2＝S6，，则a1＝﹣14，公差d＝4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2＝S6，，∴2a1+d＝6a1+d，a1+2d﹣（a1+d）＝2，联立解得a1＝﹣14，d＝4．故答案为：﹣14，4．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y＝2，则当x＝时，取得最小值为．【解答】解：根据题意，正数x，y满足2x+y＝2，则y＝2﹣2x，则＝+2x﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当2x2＝1，即x＝时，等号成立，则当x＝时，取得最小值2﹣2，故答案为：，．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有1800种不同值班方案．（用数字作答）【解答】解：根据题意，5个人中必须有1人值2天班，据此分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，有C51C62＝75种安排方法，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，有A44＝24种情况，则一共有75×24＝1800种不同值班方案；故答案为：1800．16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB＝，则的最大值为．【解答】解：设△ABC的外接圆为⊙O′，则⊙O′的直径2R＝＝，∴R＝．以O′为圆心，以O′C为y轴建立平面坐标系如图所示：则＝（4，0）．∵∠AOB＝∠ACB＝，∴O的轨迹为优弧．设＝（a，b），显然当O为圆O′与x轴负半轴的交点时，a取得最大值，∴＝4a≤．故答案为：．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝3或．【解答】解：a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f（0）≤2，即|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，即f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；f（）＝2，即|a﹣|＝2，解得a＝或（舍去）．当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，当x＝时，f（x）＝＞2，不符题意；当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，显然当x＝﹣1时，取得最大值4，不符题意；当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣|，f（1）＝，f（﹣1）＝，f（）＝2，符合题意．故答案为：3或．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．【解答】解：（Ⅰ）＝．即．所以f（x）的最小正周期T＝π．（Ⅱ）由，得，又因为＝，所以，即．所以＝＝．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线P A与平面ABC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AC的中点O，连结PO，BO．因为△ABC为正三角形，所以AC⊥BO；因为P A＝PC，所以AC⊥PO．又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面BOP，所以AC⊥平面BOP．因为PB⊂平面BOP，所以AC⊥PB．解：（Ⅱ）解法一：过点P作BO的垂线，垂足为H，连结AH．因为AC⊥平面BOP，AC⊂平面ABC，所以平面BOP⊥平面ABC，又平面BOP∩平面ABC＝BO，PH⊂平面BOP，故PH⊥平面ABC．所以直线P A与平面ABC所成角为∠P AH．在△BOP中，PO＝1，，，由余弦定理得＝，所以∠POB＝150°．所以∠POH＝30°，．又，故＝，即直线P A与平面ABC所成角的正弦值为．解法二：如图，以O原点，以OA，OB为x，y轴建立空间直角坐标系．可求得∠BOP＝150°，则A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），．平面ABC的一个法向量为，．设直线P A与平面ABC所成角为θ，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）＝4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝4x3+2x﹣1，f'（x）＝12x2+2＞0．故f（x）在R上单调递增．（Ⅱ）由于|f（0）|≤f（1），即|a|≤5a+3|a﹣1|，解得a≥﹣1．①当a≥0时，f'（x）＝12ax2+6|a﹣1|x+2a，当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，符合题意．②当时，f'（0）＝2a＜0，f'（1）＝8a+6＞0，存在x0∈（0，1），使得f'（x0）＝0，故f（x）在（0，x0）单调递减，f（x）在（x0，1）单调递增．因为+6（1﹣a）x0+2a＝0，所以，+2ax0﹣a＝＝．由单调性知|f（x0）|＝f（x0）＜f（1）．符合题意．③当时，，，f（x）在上递减，在上递增，且．符合题意．④当时，f'（x）＝12ax2+6（1﹣a）x+2a，△＝﹣60a2﹣72a+36＞0，f'（0）＜0，f'（1）＜0，对称轴．故f'（x）＝0在（0，1）内有两个不同的实根x1，x2，设x1＜x2，则f（x）在（0，x1）单调递减，f（x）在（x1，x2）单调递增，f（x）在（x2，1）单调递减．必有f（x2）＞f（1），不符合题意．综合①②③④，所以a的取值范围是．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则e＝，即a＝2b．又，所以b＝1，a＝2．所以椭圆M的方程为．（Ⅱ）设P（x0，y0），C（s，0），D（0，t），其中s＜0，t＜0．因为A（2，0），B（0，1），所以，，得，．又四边形ABCD的面积为2，得（2﹣s）（1﹣t）＝4，代入得，即＝4（x0﹣2）（y0﹣1），整理得．可知点P在第三象限的椭圆弧上．设与AB平行的直线（m＜0）与椭圆M相切．由消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2＝0，△＝8﹣4m2＝0，．所以点P到直线AB的距离的最大值为＝．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）设f（x）＝e x﹣x﹣1，令f'（x）＝e x﹣1＝0，得到x＝0．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）≥f（0）＝0，即e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）．故，所以a n+1＞a n．解：（Ⅱ）先用数学归纳法证明．①当n＝1时，．②假设当n＝k时，不等式成立，那么当n＝k+1时，＝，也成立．故对n∈N*都有．所以．取n＝2t﹣1（t∈N*），b1+b2+…+b n＝．即b1+b2+…+b n．所以，对任意实数M＞0，取t＞2M，且t∈N*，n＝2t﹣1，则b1+b2+…+b n＞M．故不存在满足条件的实数M．。
浙江省绍兴市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及答案含有详细解析
浙江省绍兴市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题1、已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式（a+b ﹣c ）（ a+b+c ）=ab ，则∠C 的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2、已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．3、△ABC 中，，则△ABC 一定是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 4、已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1•a 20=100，那么a 7+a 14的最小值为（ ） A ．20 B ．25 C ．30 D ．505、若变量满足,则目标函数z=x-y 的最小值为( )A ．-3B ．-5C ．2D ．-4 6、已知，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ． 7、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=15，则S 7等于( ) A ．13 B ．50 C ．49 D ．63 8、已知△ABC ，a=，b=，∠A=30°，则c=（ ） A ．B ．或C ．D ．均不正确9、在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．10、在△ABC 中，如果，那么cosC 等于（ ）A. -1B. 111A ．1B ．2C ．D ．12、mA ．B ．C ．D ．二、填空题13、已知钝角△ABC 的三边a=k ，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围 。
14、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块。
15、不等式的解为 。
16、已知，，则的最小值是________。
三、解答题17、在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若。
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.[1, 2) B.(1, 2) C.(−2, 1) D.(−2, 1]2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1+i)z =i ，则|z|=( ) A.14B.12C.√22D.√23. 如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.5π3B.8π3C.10π3D.12+2π34. 已知a ∈R ，则“a =0”是“f(x)=x 2+ax 是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 若x ，y 满足约束条件{y ≥0x +y ≤1x −2y ≥0 ，则3x +y 的最大值为（ ）A.04B.3C.73D.26. 在△ABC 中，内角C 为钝角，sinC =35，AC =5，AB =3√5，则BC =( ) A.2 B.3C.5D.107. 如图，已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点．若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →=tBF →(t ∈R)，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.√5C.1+√32D.1+√528. 已知a∈R，函数f(x)满足：存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．则f(x)可以为（）A.f(x)=lgxB.f(x)=−x2+2xC.f(x)=2xD.f(x)=sinx9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A′CM，使得A′M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A.π9B.π6C.π5D.π310. 已知x∈(0, π6)，y∈(0, π6)，且xtany=2(1−cosx)，则（）A.y<x4B.x4<y<x2C.x2<y<x D.y>x二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，C63=________，C74=________．（用数字作答）若离散型随机变量X的分布列为则常数a=，X的数学期望E(X)=．设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2=S6，S55−S44=2，则a1=________，公差d=________．已知正数x，y满足2x+y=2，则当x=________时，1x−y取得最小值为________．某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有________种不同值班方案．（用数字作答）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB=π3，则OC→∗AB→的最大值为________．已知a>0，函数f(x)＝|x2+|x−a|−3|在区间[−1, 1]上的最大值是2，则a＝________54．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数f(x)=12sinxcosx−√32cos2x+√34．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x0∈[0,π2brack，且f(x0)=12，求f(2x0)的值．如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=CA=2，PA=PC=√2，PB=√7．(Ⅰ)求证：AC⊥PB；(Ⅱ)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．已知函数f(x)=4ax3+3|a−1|x2+2ax−a(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当x∈[0, 1]时，恒有|f(x)|≤f(1)，求a的取值范围．已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且|AB|=√5．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=e a n−1(n∈N∗)．（其中e为自然对数的底数，e=22.71828…）(Ⅰ)证明：a n+1>a n(n∈N∗)；(Ⅱ)设b n=1−a n，是否存在实数M>0，使得b1+b2+...+b n≤M对任意n∈N∗成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，则A∩B={x|1<x<2}=(1, 2)．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】由(1+i)z=i，得z=i1+i，则|z|=|i1+i |=|i||1+i|=√2=√22．3.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状，利用圆柱与球的体积计算公式即可得出．【解答】该几何体左侧是半球，右侧是圆柱，几何体的体积V=12×43π×13+π×12×2=8π3．4.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由偶函数的定义和性质分析可得：“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分条件，且“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的必要条件，综合即可得答案．【解答】根据题意，当a=0时，f(x)=x2，为偶函数，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分条件，若“f(x)=x2+ax是偶函数”，则有f(−x)=f(x)，即x2−ax=x2+ax，解可得a= 0，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的必要条件，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分必要条件，5.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过(2, 2)时，z最大．【解答】画出x，y满足约束条件{y≥0x+y≤1x−2y≥0表示的平面区域：将目标函数变形为y=−3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过(1, 0)时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0=3，6.【答案】A【考点】三角形求面积【解析】由同角的平方关系可得cosC，再由余弦定理，解方程可得BC．【解答】内角C为钝角，sinC=35，可得cosC=−√1−925=−45，在△ABC中，AC=5，AB=3√5，由余弦定理可得，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC，即45=25+BC2−10⋅BC⋅(−45)，即BC2+8BC−20=0，解得BC=2（−10舍去），7.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=bax，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】∵AB→=tBF→(t∈R)，由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=bax，∵k BF=−bc，∴−bc ⋅ba=−1，∴b2−ac=0，∴c2−a2−ac=0，∴e2−e−1=0，∵e>1，∴e=1+√52．8.【答案】D【考点】函数的求值【解析】若存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．即函数f(x)在(0, +∞)上存在最大值，进而得到答案．【解答】若存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．即函数f(x)在(0, +∞)上存在最大值，分析给定的四个函数，A，B，C均不满足条件，9.【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】把△A′CM继续旋转一直旋转到平面ABC里面，这时A′在$A^{``}$位置，由此能推导出θ的取值不可能为π9．【解答】如图所示，把△A′CM继续旋转，一直旋转到平面ABC里面，这时A′在$A^{``}$位置，这时$\angle AMN = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9} = \angle A^{``}MN$，$\angle A^{``}MB = \pi - \frac{4\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}$，此时，$\angle A^{``}MB$是直线A′M和BM所成的最小角，∵5π9>π2不成立，∴θ的取值不可能为π9．10.【答案】 C【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】运用二倍角的余弦公式和不等式sinx <x <tanx （x ∈(0, π2)），结合不等式的性质，即可得到大小关系． 【解答】x ∈(0, π6)，y ∈(0, π6)，且xtany =2(1−cosx)，可得xtany =4sin 2x2<4⋅x 24=x 2，即tany <x ，又x <tanx ，可得tany <tanx ，即y <x ；由xtany =4sin 2x2>xtan x2⇔2sinxsin x2>xsin x2 ⇔2sinx >x ，由y =2sinx −x 的导数为y′=2cosx −1， x ∈(0, π6)，cosx ∈(√32, 1)，则2cosx −1>0，即函数y =2sinx −x 在x ∈(0, π6)递增， 可得2sinx >x ，即有y >x2， 可得x2<y <x ，二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 【答案】 20,35 【考点】 归纳推理 【解析】由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，问题得以解决． 【解答】由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，故C 63=20，C 74=35 【答案】13,23【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】由离散型随机变量X 的分布列，得2a +a =1，由此能求出常数a 和E(X)．【解答】由离散型随机变量X 的分布列，得： 2a +a =1，解得a =13， E(X)=1×23+0×13=23．【答案】−14,4 【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2=S 6，S55−S 44=2，可得2a 1+d =6a 1+6×52d ，a 1+2d −(a 1+32d)=2，联立解得a 1，d ．即可得出． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2=S 6，S55−S 44=2，∴ 2a 1+d =6a 1+6×52d ，a 1+2d −(a 1+32d)=2，联立解得a 1=−14，d =(4)【答案】√22,2√2−2【考点】 基本不等式 【解析】根据题意，将2x +y =2变形可得y =2−2x ，则1x −y =1x +2x −2，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】根据题意，正数x ，y 满足2x +y =2，则y =2−2x ， 则1x−y =1x+2x −2≥2√1x×2x −2=2√2−2，当且仅当2x 2=1，即x =√22时，等号成立，则当x =√22时，1x −y 取得最小值2√2−2，【答案】 1800 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】根据题意，5个人中必须有1人值2天班，据此分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，有C 51C 62=75种安排方法， ②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，有A 44=24种情况， 则一共有75×24=1800种不同值班方案； 【答案】16√33【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】以△ABC 的外心为坐标原点建立坐标系，求出外接圆的半径，得出O 点的轨迹为优弧ACB^，建立坐标系， 【解答】设△ABC 的外接圆为⊙O′，则⊙O′的直径2R =4sin60∘=8√33， ∴ R =4√33． 以O′为圆心，以O′C 为y 轴建立平面坐标系如图所示： 则AB →=(4, 0)．∵ ∠AOB =∠ACB =π3，∴ O 的轨迹为优弧ACB ^． 设OC →=(a, b)，显然当O 为圆O′与x 轴负半轴的交点时， a 取得最大值4√33，∴ OC →∗AB →=4a ≤16√33．故答案为：16√33．【答案】 3或【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值． 【解答】f(1)＝2，即|a −3|＝2，解得a ＝5或a ＝1(1)f(12)＝2，即|a −134|＝2，解得a =54或214（舍去）．当a ＝1时，f(x)＝|x 2−x −2|，当x =12时，f(x)=94>2，不符题意（2）当a ＝5时，f(x)＝|x 2−x +2|，显然当x ＝−1时，取得最大值4，不符题意（3）当a ＝3时，f(x)＝|x 2−x|，显然当x ＝−1时，取得最大值2，符合题意（4）当a =54时，f(x)＝|x 2−x −74|，f(1)=74，f(−1)=14，f(12)＝2，符合题意． 故答案为：3或54．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】(Ⅰ)f(x)=12sinxcosx −√32cos 2x +√34=14sin2x −√34(1+cos2x)+√34．即f(x)=12sin(2x −π3)． 所以f(x)的最小正周期T =π．(Ⅱ)由x 0∈[0,π2brack ，得2x 0−π3∈[−π3,2π3brack ，又因为f(x 0)=12sin(2x 0−π3)=12， 所以2x 0−π3=π2，即2x 0=5π6．所以f(2x 0)=f(5π6)=12sin(2∗5π6−π3)=12sin4π3=−√34． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】(Ⅰ)利用二倍角和辅助角公式化简即可求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)根据x 0∈[0,π2brack ，f(x 0)=12，利用和与差的公式即可求解f(2x 0)的值． 【解答】(Ⅰ)f(x)=12sinxcosx −√32cos 2x +√34=14sin2x −√34(1+cos2x)+√34．即f(x)=12sin(2x −π3)． 所以f(x)的最小正周期T =π．(Ⅱ)由x 0∈[0,π2brack ，得2x 0−π3∈[−π3,2π3brack ，又因为f(x 0)=12sin(2x 0−π3)=12， 所以2x 0−π3=π2，即2x 0=5π6．所以f(2x 0)=f(5π6)=12sin(2∗5π6−π3)=12sin4π3=−√34． 【答案】证明：(Ⅰ)如图，取AC 的中点O ，连结PO ，BO ．因为△ABC 为正三角形，所以AC ⊥BO ； 因为PA =PC ，所以AC ⊥PO ．又PO ∩BO =O ，PO ，BO ⊂平面BOP ， 所以AC ⊥平面BOP ．因为PB ⊂平面BOP ，所以AC ⊥PB ．（2）解法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．因为AC ⊥平面BOP ，AC ⊂平面ABC ，所以平面BOP ⊥平面ABC ， 又平面BOP ∩平面ABC =BO ，PH ⊂平面BOP ，故PH ⊥平面ABC ． 所以直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ． 在△BOP 中，PO =1，BO =√3，PB =√7， 由余弦定理得cos∠POB =2×1×√3=−√32，所以∠POB =150∘．所以∠POH =30∘，PH =12．又PA =√2， 故sin∠PAH =PH PA=12√2=√24，即直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为√24．解法二：如图，以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系． 可求得∠BOP =150∘，则A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，C(−1, 0, 0)，P(0,−√32,12)．平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1)，AP →=(−1,−√32,12)．设直线PA 与平面ABC 所成角为θ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为sinθ=|cos <n →,AP →>121×√2=√24．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)取AC 的中点O ，连结PO ，BO 推导出AC ⊥BO ，AC ⊥PO ，从而AC ⊥平面BOP ．由此能证明AC ⊥PB ．(Ⅱ)法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．推导出平面BOP ⊥平面ABC ，PH ⊥平面ABC ，直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ，由此能求出直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值．法二：以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值． 【解答】证明：(Ⅰ)如图，取AC 的中点O ，连结PO ，BO ． 因为△ABC 为正三角形，所以AC ⊥BO ； 因为PA =PC ，所以AC ⊥PO ．又PO ∩BO =O ，PO ，BO ⊂平面BOP ， 所以AC ⊥平面BOP ．因为PB ⊂平面BOP ，所以AC ⊥PB ．（2）解法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．因为AC ⊥平面BOP ，AC ⊂平面ABC ，所以平面BOP ⊥平面ABC ， 又平面BOP ∩平面ABC =BO ，PH ⊂平面BOP ，故PH ⊥平面ABC ． 所以直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ． 在△BOP 中，PO =1，BO =√3，PB =√7， 由余弦定理得cos∠POB =2×1×√3=−√32，所以∠POB =150∘．所以∠POH =30∘，PH =12．又PA =√2， 故sin∠PAH =PH PA=12√2=√24，即直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为√24．解法二：如图，以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系． 可求得∠BOP =150∘，则A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，C(−1, 0, 0)，P(0,−√32,12)．平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1)，AP →=(−1,−√32,12)．设直线PA 与平面ABC 所成角为θ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为sinθ=|cos <n →,AP →>121×√2=√24．【答案】（1）当a =1时，f(x)=4x 3+2x −1， f ′(x)=12x 2+2>(0)故f(x)在R 上单调递增．（2）由于|f(0)|≤f(1)，即|a|≤5a +3|a −1|，解得a ≥−(1) ①当a ≥0时，f ′(x)=12ax 2+6|a −1|x +2a ，当x ∈[0, 1]时，f ′(x)≥0，所以f(x)在[0, 1]上单调递增，符合题意． ②当−34<a <0时，f ′(0)=2a <0，f ′(1)=8a +6>0， 存在x 0∈(0, 1)，使得f ′(x 0)=0，故f(x)在(0, x 0)单调递减，f(x)在(x 0, 1)单调递增． 因为f ′(x 0)=12ax 02+6(1−a)x 0+2a =0，所以4ax 03=−2(1−a)x 02−23ax 0，f(x 0)=4ax 03+3(1−a)x 02+2ax 0−a =(1−a)x 02+43ax 0−a =x 02−a[(x 0−23)2+59]>0． 由单调性知|f(x 0)|=f(x 0)<f(1)．符合题意． ③当a =−34时，f(x)=−3x 3+214x 2−32x +34，f ′(x)=−9(x −16)(x −1)，f(x)在(0,16)上递减，在(16,1)上递增，且|f(16)|=f(16)<f(1)．符合题意． ④当−1≤a <−34时，f ′(x)=12ax 2+6(1−a)x +2a ， △=−60a 2−72a +36>0，f ′(0)<0，f ′(1)<0，对称轴x =a−14a∈(0,1)．故f ′(x)=0在(0, 1)内有两个不同的实根x 1，x 2，设x 1<x 2，则f(x)在(0, x 1)单调递减，f(x)在(x 1, x 2)单调递增，f(x)在(x 2, 1)单调递减． 必有f(x 2)>f(1)，不符合题意．综合①②③④，所以a 的取值范围是[−34,+∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)当a =1时，f ′(x)=12x 2+2>0，从而f(x)在R 上单调递增．(Ⅱ)由于|f(0)|≤f(1)，解得a ≥−(1)根据a ≥0，−34<a <0，a =−34，−1≤a <−34，利用分类讨论思想和导数性质，能求出a 的取值范围． 【解答】（1）当a =1时，f(x)=4x 3+2x −1， f ′(x)=12x 2+2>(0) 故f(x)在R 上单调递增．（2）由于|f(0)|≤f(1)，即|a|≤5a +3|a −1|，解得a ≥−(1) ①当a ≥0时，f ′(x)=12ax 2+6|a −1|x +2a ，当x ∈[0, 1]时，f ′(x)≥0，所以f(x)在[0, 1]上单调递增，符合题意． ②当−34<a <0时，f ′(0)=2a <0，f ′(1)=8a +6>0， 存在x 0∈(0, 1)，使得f ′(x 0)=0，故f(x)在(0, x 0)单调递减，f(x)在(x 0, 1)单调递增．因为f ′(x 0)=12ax 02+6(1−a)x 0+2a =0，所以4ax 03=−2(1−a)x 02−23ax 0，f(x 0)=4ax 03+3(1−a)x 02+2ax 0−a =(1−a)x 02+43ax 0−a =x 02−a[(x 0−23)2+59]>0． 由单调性知|f(x 0)|=f(x 0)<f(1)．符合题意． ③当a =−34时，f(x)=−3x 3+214x 2−32x +34，f ′(x)=−9(x −16)(x −1)，f(x)在(0,16)上递减，在(16,1)上递增，且|f(16)|=f(16)<f(1)．符合题意． ④当−1≤a <−34时，f ′(x)=12ax 2+6(1−a)x +2a ， △=−60a 2−72a +36>0，f ′(0)<0，f ′(1)<0，对称轴x =a−14a∈(0,1)．故f ′(x)=0在(0, 1)内有两个不同的实根x 1，x 2，设x 1<x 2，则f(x)在(0, x 1)单调递减，f(x)在(x 1, x 2)单调递增，f(x)在(x 2, 1)单调递减． 必有f(x 2)>f(1)，不符合题意．综合①②③④，所以a 的取值范围是[−34,+∞)． 【答案】(Ⅰ)根据题意，椭圆的离心率为√32，则e =c a =√32，即a =2b ．又|AB|=√a 2+b 2=√5，所以b =1，a =(2) 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，其中s <0，t <(0)因为A(2, 0)，B(0, 1)， 所以y 0x0−2=t−2，y 0−1x 0=−1s，得t =−2y 0x−2，s =−xy 0−1． 又四边形ABCD 的面积为2，得(2−s)(1−t)=4， 代入得(2+x 0y−1)(1+2y 0x0−2)=4，即(x 0+2y 0−2)2=4(x 0−2)(y 0−1)，整理得x 02+4y 02=4． 可知点P 在第三象限的椭圆弧上．设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切．由{x 2+4y 2=4y =−12x +m 消去y 得x 2−2mx +2m 2−2=0，△=8−4m 2=0，m =−√2． 所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+14=2√5+2√105． 【考点】椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的离心率公式可得e =ca=√32，即a =2b ，又由|AB|=√a 2+b 2=√5，分析可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程，即可得答案； (Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，结合题意分析可得(2+x 0y−1)(1+2y 0x 0−2)=4，整理可得x 02+4y 02=4，设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切，联立直线与椭圆的方程，分析可得点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+4，计算即可得答案．【解答】(Ⅰ)根据题意，椭圆的离心率为√32，则e =c a=√32，即a =2b ．又|AB|=√a 2+b 2=√5，所以b =1，a =(2) 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，其中s <0，t <(0)因为A(2, 0)，B(0, 1)， 所以y 0x−2=t−2，y 0−1x 0=−1s，得t =−2y 0x−2，s =−xy 0−1． 又四边形ABCD 的面积为2，得(2−s)(1−t)=4， 代入得(2+x 0y−1)(1+2y 0x0−2)=4，即(x 0+2y 0−2)2=4(x 0−2)(y 0−1)，整理得x 02+4y 02=4． 可知点P 在第三象限的椭圆弧上．设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切．由{x 2+4y 2=4y =−12x +m消去y 得x 2−2mx +2m 2−2=0，△=8−4m 2=0，m =−√2． 所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+14=2√5+2√105． 【答案】证明：(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0) 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)≥f(0)=0，即e x ≥x +1（当且仅当x =0时取等号）． 故a n+1=e a n −1≥a n ≥a 1=12，所以a n+1>a n ． （2）先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1． ①当n =1时，a 1≤1−12．②假设当n =k 时，不等式a k ≤1−1k+1成立，那么当n =k +1时，a k+1=e a k −1≤e −1k+1=1e 1k+1≤11+1k+1=k+1k+2=1−1k+2，也成立．故对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1． 所以b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，b 1+b 2+...+b n ≥12+13+⋯+1n+1=12+(13+14)+⋯+(12t−1+1+12t−1+2+⋯+12t )．即b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．所以，对任意实数M >0，取t >2M ，且t ∈N ∗，n =2t −1， 则b 1+b 2+...+b n >M ． 故不存在满足条件的实数M ． 【考点】数列与不等式的综合 【解析】(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0)利用导数性质推导出e x ≥x +1，由此能证明a n+1>a n ．(Ⅱ)先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1，对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1，b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，得b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．从而b 1+b 2+...+b n >M ．由此得到不存在满足条件的实数M ． 【解答】证明：(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0) 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)≥f(0)=0，即e x ≥x +1（当且仅当x =0时取等号）． 故a n+1=e a n −1≥a n ≥a 1=12，所以a n+1>a n ． （2）先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1． ①当n =1时，a 1≤1−12．②假设当n =k 时，不等式a k ≤1−1k+1成立， 那么当n =k +1时，a k+1=ea k −1≤e−1k+1=1e 1k+1≤11+1k+1=k+1k+2=1−1k+2，也成立．故对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1． 所以b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，b 1+b 2+...+b n ≥12+13+⋯+1n+1=12+(13+14)+⋯+(12t−1+1+12t−1+2+⋯+12t )．即b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．所以，对任意实数M >0，取t >2M ，且t ∈N ∗，n =2t −1， 则b 1+b 2+...+b n >M ． 故不存在满足条件的实数M ．。
2018-2019学年绍兴一中高一下学期数学期中检测试卷答案
OD 1,3 ,3 …………………2 分
OD DA DB 10 即 OD 2DO OA OB 10
即
2OD
2
OD
OA OB
10
20 2 10 10 …………4 分
2 2 1 0 ,可得 1 或 1 …………5 分 2
（II） - ，- 6 - 6，3 …………9 分，注：此处-6 不除掉扣 2 分
1 4
3[(1 )2 4
(1)3 4
( 1 )n ] (3n 2) ( 1 )n1
4
4
1 (3n 2) ( 1 )n1.
2
4
Sn
2 3
12n 8 ( 1 )n1 (n 34
N*) ……………………9
分
21.
[解析]（I）OA 1, 2,OB 2,1 ，
OA OB 1,3…………………1 分
＝cos23°·sin22°＋sin23°·cos22°＝sin45°…………3 分
2 ＝ .…………4 分
2 （II）由向量 b 与向量 m 共线知存在实数 λ，使 m＝λb，
∴u＝a＋m＝a＋λb
＝(cos23°＋λsin22°，sin23°＋λcos22°)，
|u|2＝[ (cos23°＋λsin22°)2＋(sin23°＋λcos22°)2] 2
11. 2 或 2 5
12. 3 22
13. 2 5
14. an n ,
2019 1010
15. ①④⑤。
16. 17
-3
25 ， 25
17. 0，
5 1 5 1
(
,
)
22
三、解答题（本大题共 4 小题，共 46 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
浙江省绍兴市高一下学期期末数学试卷
浙江省绍兴市高一下学期期末数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)1. （1 分） (2019 高一下·上海期末) 函数的最小正周期________.2. （1 分） (2018·安徽模拟) 设 为曲线 上的动点， 为曲线 上的动点，则称 的最小值为曲线 、 ________．之间的距离，记作.若 ：，：，则3. （1 分） 已知 sinx= ，， 则 x=________ （结果用反三角函数表示）4. （1 分） (2017 高二下·红桥期末) 如果函数 f（x）=sin（ ） 则 ω 的值为________．（ω＞0）的最小正周期为 ，5. （1 分） 函数 f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值是________．6. （1 分） 已知函数 f（x）=，则=________7. （1 分） (2020·徐州模拟) 在中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 若则________．8. （1 分） (2019 高一下·静安期末) 某船在 处看到灯塔 在北偏西 方向，它向正北方向航行 50 海里到达 处，看到灯塔 在北偏西 方向，则此时船到灯塔 的距离为________海里．9. （2 分） (2019 高三上·浙江月考) 已知函数 期为________，单调递增区间为________.，，则的最小正周10. （1 分） (2016 高二下·右玉期中) 若 f（x）=，则 f（2016）等于________．11. （1 分） (2019 高一下·上海期中) 已知，第1页共8页，则________．12. （1 分） (2019 高三上·常州月考) 函数 为________.二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)13. （2 分） (2020 高一上·梅河口月考) 若集合 三角形一定不是（ ）A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 等腰三角形与的图象所有交点的横坐标之和中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此14. （2 分） 函数 f（x）=（ ） A . （﹣∞，1] B . [1，+∞） C . （0，1] D . [1，2）的单调减区间为（ ）15. （2 分） (2019 高一下·上海期末) 要得到函数 像（ ）的图像，只需将函数的图A . 向左平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位16. （2 分） 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）第2页共8页A. B. C. D.三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （5 分） 如图，半径为 1 的扇形中心角为 ， 一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积．18. （10 分） (2016 高一上·宜春期中) 计算与解方程（1） 计算：（2 ） +（lg5）0+（ ）；（2） 解方程：log3（6x﹣9）=3．19. （10 分） 计算题（1） 已知 tanα= ，求的值；（2） 化简：．20. （5 分） 求证：sin3x•sin3x+cos3x•cos3x=cos32x． 21. （15 分） (2017 高三下·深圳月考) 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居 民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. （1） 求某户居民用电费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：度）的函数解析式；第3页共8页（2） 为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如 图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占 80%，求 的值；（3） 在满足（2）的条件下，估计 1 月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表）．第4页共8页一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、参考答案9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)13-1、 14-1、 15-1、第5页共8页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17-1、 18-1、第6页共8页18-2、 19-1、 19-2、 20-1、21-1、 21-2、第7页共8页21-3、第8页共8页。
绍兴市重点名校2018-2019学年高一下学期期末预测数学试题含解析
绍兴市重点名校2018-2019学年高一下学期期末预测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()|sin 2|3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】在同一直角坐标系下，分别作出1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()|sin 2|h x x =的图象，结合函数图象即可求解.【详解】解：由题意知：函数1()|sin 2|3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点个数， 等价于1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()|sin 2|h x x =的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有5个零点.故选：D 【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.2．若集合{}2123A =-，，，，{}2B x x n n N ==∈，，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}22-，D ．∅【答案】B 【解析】 【分析】通过集合B 中n N ∈，用列举法表示出集合B ，再利用交集的定义求出A B ．【详解】由题意，集合{}{}202468B x x n n N ==∈=，，，，，，， 所以{}2A B ⋂= 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以及准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A ．2015年第三季度环比有所提高 B ．2016年第一季度同比有所提高 C ．2017年第三季度同比有所提高 D ．2018年第一季度环比有所提高【答案】C 【解析】 【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论． 【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．4．已知直线l 的倾斜角为23π，且过点，则直线l 的方程为（ ）A 20y --=B 40y +-=C ．0x -=D 360y【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，故直线斜率2tan3k π==又直线过点，故由点斜式方程可得1y x -=40y +-=. 故选：B. 【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及点斜式，属基础题. 5．等比数列{}n a 中,21a =,58a =,则公比q =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】将2a 与5a 用首项和公比表示出来，解方程组即可. 【详解】因为21a =，且58a =，故：11a q =，且418a q =，解得： 38q =，即2q =，故选：B. 【点睛】本题考查求解等比数列的基本量，属基础题.6．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．7．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？ A ．180 B ．160C ．90D ．360【答案】A 【解析】 【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。
浙江省绍兴市高中数学学业水平考试仿真试卷
浙江省绍兴市高中数学学业水平考试仿真试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）一次函数与的图象的交点组成的集合为（）A .B .C .D .3. （2分）不等式表示的平面区域（用阴影表示）是（）A .B .C .D .4. （2分）已知，，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的的关系式为：，已知新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A . 75天B . 100天C . 125天D . 150天6. （2分）已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A . 16，16，16B . 8，30，10C . 4，33，11D . 12，27，98. （2分） (2020高一下·响水期中) 已知为锐角，，则（）A . 2B .C .D .9. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）A . 3B .C .D .10. （2分）小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）若不等式的解集为，则 ________.12. （1分） (2016高一下·汕头期末) 228与1995的最大公约数的三进制表示是________．13. （1分）(2020·南京模拟) 设函数的图象与轴交点的纵坐标为，轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为________.14. （1分）如果对于函数f (x)的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．15. （1分） (2020高一下·番禺期中) 关于的方程有两个不同的实数解时，实数k 的取值范围是________三、解答题 (共5题；共50分)16. （5分） (2019高一下·南阳期中) 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
2019年绍兴市高一数学下期中模拟试卷(及答案)
2019年绍兴市高一数学下期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 3．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ 4．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面5．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π 6．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C 26D ．427．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π 9．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2512．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 二、填空题13．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.14．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.15．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．16．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．17．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________. 18．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m nαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．19．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．20．如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）若3πθ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值. 23．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P .（1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值. 25．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.4．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.5．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.6．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 7．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
浙江省绍兴市高一(下)期末数学模拟试卷
浙江省绍兴市高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．2．（3分）数列{a n}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1•a2•a3•…•a n=n2，则a3+a5等于（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：由n≥2，n∈N时a1•a2•a3•…•a n=n2得当n≥3时，a1•a2•a3••a n﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除a n=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=．解答：解：当n≥2时，a1•a2•a3••a n=n2．当n≥3时，a1•a2•a3••a n﹣1=（n﹣1）2．两式相除a n=（）2，∴a3=，a5=．∴a3+a5=．故选A点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力．是基础题．3．（3分）已知等比数列{a n}的公比为q（q为实数），前n项和为S n，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．1B．﹣C．﹣1或D．1或﹣考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的求和分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3，即可得到答案．解答：解：依题意可知2S9=S6+S3，即2=+整理得2q6﹣q3﹣1=0，解q3=1或﹣，当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除．故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4．（3分）（2019•湖北模拟）设等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则下列结论中正确的是（）A．S n=na n﹣3n（n ﹣1）B．S n=na n+3n（n﹣1）C．S n=na n﹣n（n﹣1）D．S n=na n+n（n﹣1）考点：等差数列的前n项和．分析：根据选择项知：将a n当作已知项，所以将数列倒过来解得．解答：解：可理解为首项是a n，公差为﹣2的等差数{a n}，故选C点评：做选择题时，不要忽视选择支，是解题的重要信息之一，同时，有些简便方法也由此产生．5．（3分）（2009•山东）设x，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：压轴题．第3页/共22页分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．6．（3分）（2019•张掖模拟）设实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专数形结合．题：分析：先根据约束条件画出可行域，设，再利用z 的几何意义求最值，表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z 的最大值即可．解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：目标函数═≥2当且仅当=1时，z最小，最小值为：2．又其中可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率．其最大值为：2，最小值为：，因此的最大值为，则目标函数则的取值范围是故选C．点巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数第5页/共22页评：包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（3分）（2019•上饶模拟）已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（）A．B．C．1≤a2019≤10D．a2019＞10考点：数列递推式．专题：规律型．分析：把数列看成，，，以此类推，第N大项为…由此能够找到这个数列的第2019项a2019满足的条件．解答：解：数列可看成，，，以此类推，第N大项为等此时有1+2+3+4+…+N=，当N=62时，共有1953项当N=63时，共有2019项故a2019=，故选B．点评：本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分组，注意总结规律，培养观察总结能力．8．（3分）设[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式[x]2﹣3[x]﹣10≤0的解集是（）A．[﹣2，5] B．[﹣2，6）C．（﹣3，6）D．[﹣1，6）考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；新定义．分析：先求出关于x的不等式x2﹣3x﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x≤5}，再根据题意[x]表示不超过x的最大整数，可得答案．解答：解：由题意可得：关于x的不等式x2﹣3x﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x≤5}，又因为[x]表示不超过x的最大整数，所以关于x的不等式[x]2﹣3[x]﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x＜6}．故选B．点评：解决此类问题的关键是读懂新定义并且正确解出一元二次函数不等式的解集．第7页/共22页9．（3分）在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④考点：数列的应用．专题：新定义．分析：根据等方差数列的定义①{a n}是等方差数列，则a n2﹣a n﹣12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2是一个常数；③验证a kn+12﹣a kn2是一个常数；④根据等方差数列和等差数列的定义，证明公差是零即可．解答：解：①∵{a n}是等方差数列，∴a n2﹣a n﹣12=p（p为常数）得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；∴{a n2}是等差数列；②数列{（﹣1）n}中，a n2﹣a n﹣12=[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2=0，∴{（﹣1）n}是等方差数列；故②正确；③数列{a n}中的项列举出来是，a1，a2，…，a k，…，a2k，…数列{a kn}中的项列举出来是，a k，a2k，…，a3k，…，∵（a k+12﹣a k2）=（a k+22﹣a k+12）=（a k+32﹣a k+22）=…=（a2k2﹣a2k﹣12）=p∴（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=kp ∴（a kn+12﹣a kn2）=kp∴{a kn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列；故③正确；④∵{a n}既是等差数列，∴a n﹣a n﹣1=d，∵{a n}既是等方差数列，，∴a n2﹣a n﹣12=p∴（a n+a n﹣1）d=p，1°当d=0时，数列{a n}是常数列，2°当d≠0时，a n =，数列{a n}是常数列，综上数列{a n}是常数列，故④正确，故选C．点评：本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题．10．（3分）数列{a n}满足a1=1，=，记Sn=，若S2n+1﹣S n ≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9C．8D．7考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：先求出数列{a n2}的通项公式，令g（n）=S2n+1﹣S n，化简g（n）﹣g（n+1）的解析式，判断符号，得出g（n）为减数列的结论，从而得到第9页/共22页，可求正整数t的最小值．解答：解：∵=，∴，∴，∵a1=1，∴是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴，∴S n ==+++…+令g（n）=S2n+1﹣S n，而g（n）﹣g（n+1）=，为减数列，所以：，而t为正整数，所以，t min=10．故选A．点评：本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．二、填空题（每题4分，满分20分）11．（4分）在△ABC 中，若，则A=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用了余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA 的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：∵b2+c 2﹣a 2=﹣bc，∴cosA===﹣，∵A为三角形的内角，∴A=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．（4分）不等式的解集是．考点：其他不等式的解法．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：先将分式不等式转化成一元二次不等式进行求解，注意分母不0．第11页/共22页解答：解：∵∴，解得∴＜x≤，所以不等式的解集为：．故答案为：．点评：本题主要考查了分式不等式的解法，同时考查了等价转化的数学思想，属于基础题．13．（4分）在等比数列{a n}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7=﹣2．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案．解答：解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，∴a1a10=﹣2∵数列{a n}为等比数列∴a4a7=a1a10=﹣2故答案为：﹣2点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用．14．（4分）（2019•济南二模）等比数列{a n}的公比为q，前n项的积为T n，并且满足a1＞1，a2009•a2019﹣1＞0，（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0，给出下列结论①0＜q ＜1；②a2009•a2019＜1；③T2019是T n中最大的；④使得T n＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为①②④．（将你认为正确的全部填上）考点：等比数列的性质．专题：综合题．分析：根据（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0判断出a2009＜1或a2019＜1，先看a2009＜1，则可知a2019＞1假设a2009＜0，那么q＜0，则可知a2019应与a1异号，推断出a2019＜0与a2019＞1矛盾，假设不成立，推断出q＞0，根据a2009=a1q2019应推断出a2009=a1q2019应该大于1假设不成立，进而综合可推断0＜q＜1判断出①正确．由结论（1）可知数列从2019项开始小于1，进而可推断出T2009是T n中最大的③不正确，根据等比中项的性质可知a2009•a2019=a22019＜1推断出②正确．根据等比中项的性质可知当T n=（a2009）2时，T n＞1成立的最大的自然数，求的n推断出④正确．解答：解：∵（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0∴a2009＜1或a2019＜1如果a2009＜1，那么a2019＞1如果a2009＜0，那么q＜0又a2019=a1q2009，所以a2019应与a1异号，即a2019＜0 和前面a2019＞1的假设矛盾了第13页/共22页∴q＞0又或者a2009＜1，a2019＞1，那么a2009=a1q2019应该大于1又矛盾了．因此q＜1综上所述0＜q＜1，故①正确a2009•a2019=a22019＜1故②正确．，由结论（1）可知数列从2019项开始小于1∴T2009为最大项③不正确．由结论1可知数列由2019项开始小于1，T n=a1a2a3…a n∵数列从第2019项开始小于1，∴当T n=（a2009）2时，T n＞1成立的最大的自然数求得n=4018，故④正确．故答案为：①②④点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．（4分）设a是整数，0≤b≤1，若a2=2b（a+b），则b 值为0，，．考点：函数的值．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：由已知中a2=2b（a+b），易得3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，即±a=a+2b，结合a是整数，0≤b≤1，易求出a的值，进而求出b值．解答：解：∵a2=2b（a+b），∴2a2=4ab+4b2，∴3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴±a=a+2b即b=或b=又∵0≤b≤1，a是整数，当0≤≤1时，0≤a≤∴a=0，此时b=0，满足条件；a=1，此时b=，满足条件；a=2，此时b=，满足条件；当0≤≤1时，1﹣≤a≤0此时a=0，此时b=0，满足条件；综上，满足条件的b值为：0，，，故答案为：0，，点评：本题考查的知识点是函数的值，实数的运算性质，分类讨论思想的应用，其中根据已知条件求出3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，进而得到±a=a+2b是解答本题的关键．三、解答题（共5小题，满分50分）16．（10分）已知（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的范围．考点：二次函数的性质．专计算题．第15页/共22页分析：此题要分两种情况：①当m2+4m﹣5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m﹣5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m的范围．解答：解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5，∵（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立∴有解得1＜m＜19…（5分）综上得1≤m＜19…（2分）点评：此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m2+4m﹣5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了，这一点很重要；17．（10分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=，（1）求A+B的值；（2）若a﹣b=，求a、b、c的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；正弦定理．专计算题；综合题．分析：（1）△ABC中，A、B为锐角，sinA=，sinB=，可求得cosA，cosB，利用两角和与差的余弦公式可求A+B的值；（2）由a﹣b=，利用正弦定理求得a，b的值，再由C=，利用余弦定理求c即可．解答：解：（1）∵△ABC中，A、B为锐角，∴A+B∈（0，π），又sinA=，sinB=，∴cosA=，cosB=，∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=•﹣•=，∴A+B=．（2）∵sinA=，sinB=，∴由正弦定理=得：=，∴a=b，又a﹣b=，∴b=1，a=．又C=π﹣（A+B）=π﹣=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=2+1﹣2×1××（﹣）=5．∴c=．综上所述，a=，b=1，c=．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查同角三角函数间的基本关系与两角和的余弦公式及应用，由正弦定理求得a，b的值是关键，属于中档题．18．（10分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2019年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3第17页/共22页﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2019年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m 万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；（2）该企业2019年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：应用题．分析：（1）首先根据题意令m=0代入x=3﹣求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2019年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2019的件数就可以得出2019年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格，然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额．最后利用利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用得出利润y的关系式．（2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可．解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣∴每件产品的销售价格为1.5×（元），∴2019年的利润y=x•（1.5×）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m ﹣（m≥0）；（2）∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m ﹣=29﹣[（m+1）+]≤=21 当且仅当m+1=，即m=3时，y max=21．∴该企业2019年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．点评：本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力，以及求函数最值的问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．19．（10分）已知数列{a n}满足，且a1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n•2n a n，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设c n =，记T n =，证明：T n＜1．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用，可得数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法，即可求数列{b n}的前n项和S n；（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．解答：（1）解：∵a1=0，∴∵第19页/共22页∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列∴=n，∴a n =；（2）解：b n=n•2n a n=（n﹣1）•2n，∴S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n，∴2S n=1•23+2•24+…+（n﹣2）•2n+（n﹣1）•2n+1，两式相减可得﹣S n=1•22+1•23+…+1•2n﹣（n﹣1）•2n+1，∴S n=4+（n﹣2）•2n+1；（3）证明：c n ==，∴T n ==+…+=＜1，∴T n＜1．点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（10分）（2019•浙江）已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（I）求a1，a3，a5，a7；（II）求数列{a n}的前2n项和S2n；（Ⅲ）记，，求证：．考点数列的求和；不等式的证明．：专题：压轴题；创新题型．分析：（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k﹣1，a2k，k赋值即可．（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n﹣1+a2n）可分组求和．（3）T n复杂，常用放缩法，但较难．解答：解：（I）解：方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．（II）解：S2n=a1+a2++a2n=（3+6++3n）+（2+22++2n）=．（III ）证明：，所以，．当n≥3时，，=，同时，=．第21页/共22页综上，当n∈N*时，．点评：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．。
浙江省绍兴一中年高一下学期期中考试数学试题及答案
一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知等差数列{}n a 中，1348a a a +==，则6a 的值是 ( )A ．10B ．12C ．8D ．162．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a b c 、、，已知b 2=，30B =o，15C =o ，则a =（ ）A ．B ．C ．26-D ．43．公差不为零的等差数列{}n a 中，236,,a a a 成等比数列，则其公比为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知()23,a =，()47b =-,，则b 在a 上的投影为（ ）A ．5 B ． 5C D 5．已知ABC △的三个内角C B A ,,所对边长分别为c b a ,,，向量),(b a c a m -+=→，),(c a b n -=→，若→m ∥→n ，则=∠C （ ）A ．6π B ． 3π C ． 2π D ．32π 6．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，BC a b =+，2CD a b =-，若,,A B D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．2-D ．1-7．已知α是第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos 2α等于( )A ．．8．已知ABC ∆的三个顶点,,ABC 及所在平面内一点P 满足230BC BA PB ++=, 则BCP ∆ 的面积与ABP ∆的面积之比为（ ） A ．2:1 B ．3:1C ．3:2D ．1:29．在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积S 为 ( ) A ．152 B ．15 C ．8155D ．6 3 10．数列{n a }定义如下:1a =1,当2n ≥时,211()1()n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数,若85n a =,则n 的值为（ ） A ．20B ．28C ．30D ．40二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分) 11．若向量)sin ,(cos αα=→a ，))3sin(),3(cos(απαπ++=→b ，则a b →→⋅= ．12．已知数列{}n a 为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为___ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，2224a b c S +-=，则角C = ．14．已知向量,,a b c 满足20a b c -+=，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，则||=b ． 15．一货轮航行到M 处测得灯塔S 在货轮的北偏东15相距20海里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60处，则货轮航行的速度为 海里/小时．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，12n n a a +-=，则33n S n+的最小值为 ． 17．已知平面向量,a b 满足1a =，b 与a b -的夹角是120，则22()b a b -⋅的最大值是 ．三、解答题（本大题共5小题，总分为49分）18．（本题满分7分）在ABC ∆中， (2,3)AB =，(1,)AC k =，若ABC ∆是直角三角形.求k 的值．19．（本题满分10分） 已知向量212cos ,12xa ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,cos()3b x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0ω>，点A 、B 为函数b a x f⋅=)(的相邻两个零点，AB π=.(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 若33)(=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，求x sin 的值；20．（本题满分10分） 设公差为d (0d ≠)的等差数列{}n a 与公比为q (0q >)的等比数列{}n b 有如下关系:211==b a ,33b a =,53=b a .(Ⅰ) 求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ) 记{}20321,,,,a a a a A =,{}20321,,,,b b b b B =,B A C =,求集合C 中的各元 素之和.21．（本题满分10分）设锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c B C a ⋅=; (Ⅰ) 求角C 的大小 (Ⅱ) 若1c =，求22a b +的取值范围;22．（本题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N∈都有33332123+2n n n a a a a S S ++++=，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ) 求12a a ，； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅，对任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，求实数λ的取值范围.附加题(本大题共10分,每小题5分)1．已知AB 是单位圆上的弦，P 是单位圆上的动点，设()f BP BA λλ=-的最小值是M ，若M 的最大值max M 满足max 32M ≥，则AB 的取值范围是 ．2．如下图的倒三角形数阵满足: ① 第一行的第n 个数,分别是1,3,5,7,9,,21n -; ② 从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和; ③数阵共有n行;问:第32行的第17个数是．13579114812162012202836高一年级数学期中考参考答案二、填空题（每题3分，共7题，合计21分）11．12 12．4π14．15．/小时 16．272 17．34三、解答题：本大题共5小题，共49分）20．解:(I)由已知⎩⎨⎧=-+=+5)1(222232d b qd ∴0322=-+d d 得1=d 或23-=d又012>+=d q ∴1=d ⇒2=q ∴1+=n a n , 212+=n n b (6)分(Ⅱ)集合A 与集合B 的相同元素和为:302222432=+++ ……10分21．解(1)由已知得: cos sin cos cos c B C a c B b C ⋅==+ sin cos C b C =tan 3C ∴=6C π∴= … …3分（2）由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C === 2sin ,2sin 2sin()6a Ab B A π∴===+ 22224sin sin ()42)63a b A A A ππ⎡⎤∴+=++==+-⎢⎥⎣⎦… …7分由于三角形为锐角三角形 32A ππ∴<<sin(2)13A π<-≤2274a b ∴<+≤+ …10分（3）113(1)2n n n n b λ-+=+-⋅因为对任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，即有12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅化简得113(1)()32n nλ--<⋅… …10分当n为奇数时，13()32nλ<⋅恒成立，113()32λ<⋅，即12λ<当n为偶数时，13()32nλ>-⋅恒成立，213()32λ>-⋅，即34λ>-3142λ∴-<<……12分附加题(本大题共10分,每小题5分)1．( 2．372。