2023年江西省4月高三教学质量检测卷理科数学试题及答案

Mm l{E考i1E：号：
由白
（在此卷上答题元效）
2023年江西省高三教学质量监测卷
理科数学
说明：l.全卷满分150分．考试时间120分钟．
2.会卷分为试题卷和答是是卡．答案妥求写在答题字上．不得在试卷上作o－否则不给分．
一、选择题：本题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知集合A=(.r E R1x2<4l.B={.i:13’＜9｝.贝I]
A.A门B=B
B.A U B=(.r l O<.r<2f
c.八门日＝A D.A U B=R
2.已知主L数＝满足Cl+i>::=2-i(i为m：数单位）·则复数主的缺等于
A俨’ B.�飞．在lo D.一2
3若O＜α＜π则子＜出以1”是W训”的
A.充要条件
c.必婆不充分条件 B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在某校随机抽取了100名学生．调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘栩如下频
率分布直方图．根据此频率分布直方回．下y1J结论中正确的是
组距
o.sI.…
0.4,.
03, .....
0.1，…
O I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5完成作业时间／时
A.估计该校有40%的学生在2小时｜人j元成i束后作业
B.铀取的学生中有10人不能在4小时内完成以后作、I�.
C.t自取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数伍l丘1'111( 2.2. 5）内
0.抽取学生课后完成作业时间的100个荣立据的众数一定（E f天fF-i l(2.2. 5）内
5.已知抛物线x'=4y的焦点为f,,(i,M在抛物线上，H I M F l=3，贝11lJ. M到y铀的�li肉J-1
A.48. 2/3 C.2J2 D. 3
6.函数刀。

＝sin2.r-/3cos 2.1寸l{.E隧I同［O.rr]Iλl的＇.）！，：点个败是
A.28.3 c.4D.5
7. （［炎热的反天里．人们都喜欢在饮品里放冰块．如l 民I �主一个问脚杯．它的细11盹I 归是JE 王fr l %.容拇内有－定虫的水．扣在高脚杯l均放入一个球形冰块后．冰块没有开始融化前水面所在的平而价好经过冰块的球心。

（水没有溢出）．则原来高脚杯队l水的体和、与球的体积之比是人l
B.土
c 土。

._!_
6
8.已知的激／Cr)=a.1·' +tu· +c x +d 的大政图象虫11困所加..911]
A. a >O .h >O .c <O
日，α＞O .b <O .c <O C.a >O .b <O .,>O
D .α＜O ,b >O .c >O 9.已知的数.f(x)= l o g ., (3-x）一l og 3( 1 + x) -x 十3.则民数.f
C.x:）的阁象与jl;lj坐标轴田成图形的而积是八.斗 B.,1Jn 3
C.6
D.6ln 3
l 0.已知双曲线C ：兰－f = l (a >O .b >O ）
的左、有焦点分别是F 1
,F 2
. P 是双rlt1线有支上一
a'
&· 点．且PF'2J _F 1F'2, f 和C 分别是6PF'1F z 的内心和茧心．若直线T C 与J 轴平行．贝j 双曲
线的离心率为
A .J3
B. 2 （二31］.如回．直三楼杭ABC -A 1 B, Ci中.AB =AC =2.A A ,=
l .AB J_AC .点£，£，分别是拨B C .βI li的中点．点。

在楼A 1B 1上．且CB 1=J言，截面／＼A 1E 1E内的动点P 满足G B l_PE 1，则PE +P 队的最小｛且是
A,
A.2+./2
B.',!'6
C.Js
D. 2
J 2.若函数f(:i:)=e 山什－.. dln .r -2H a >O ）存在单调递减
区间.9111正数。

的取值范B司是人CO • e -• ) 13. ( 0 . e -2 ) C. ( e 2 • + oo )二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
] 3.已知向盘川的夹角为f ,1a l=3,l b l=2，则（a 十b )Z 等于
A ＂＂＇－一－
D.·I
8
0.(e •.十∞）
l 4.已知困C的方程为（.r -3／十（y -4)2=25，若直线t :3x +4y -5=0与困C相交子A .B
两点，贝1J ,0.AB C的面积为
15.已知C.r 2+
2x+3)5 ＝α。

十a I .;r 十。

zX 2
＋…＋a,o_,.10.贝l j ll I 等于16.毕达哥拉斯树，也叫··勾股树”
，是由毕达部拉斯根据勾股定理画出来的一个可以兀限重复的树形图形（如困1).
因i
现由毕达哥拉斯树部
分图形作出困2,,6.A BC 为锐角三角形面积为l ,L A C B =f ·以6AB C 的三边为边长的正方形中心分别为M 1,M 2
.M ，.贝I J I M , J\1;川2十I M 2M
112+I M 3t v!1l 2
的最小值为
三、解答题：共70分．解答应写出艾字说明、证明过程或演算
步骤．第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求你答．
（一）必考题：共60分．
17.02分）
如因数表在第i(i =l,2.3.川行中共有2
’叫
个数，如个数为乒（归1. 2. 3.
2·-l ).
( 1)求第n行所有数的和：
(2）求前10行所有数的和l.
l 8. ( l 2分）
第l行第2行第3行
第II 行
! .
I
1 2 3 .
22 . 22 . 22 "-l
2
3 F士T ·王士T ·言巧，
I
某集市上有摸彩蛋的游戏，在不透明的盒中装有9个大小、形状相同的影蛋·其中黄色、红色、蓝色各3个．游戏规则如下：玩游戏者先交10元游戏费，然后随机依次不放田地摸3个影蛋．根据影蛋的颜色决定是否得到奖励，若摸到的3个影蛋颜色都相同．获得奖金100元．若摸到3个彩蛋颜色各不相同．在得奖金10元，其他情况没有奖励．
(1）记某游戏者第一次摸到黄色彩蛋为事件A ，该游戏者这次游戏获奖100元为事件B .求P(A 〕，P（白，并判断事件A,B 是否相互独立；(2）判断是否应该玩这个游戏，并说明理由．
19.(12分〉
如图，已知菱形ABCD 中，AB =4，ζBAD =60。

，点E为边C D 的中点．沿BE 将6C B E 折起，得到6PBE 且二而角P-BE-A 的大小为
120。

，点F在棱PA 上，PE ／／平商BDF.
AF
（］〉求一一的值；
FP
(2）求二面角A-FD-B 的余弦值．
20.(12分〉
己知函数f(x)=(x -I)e ＇－÷ax 3（以
(1）讨论函数f(x ）的极值点的个费t; A
(2）证明：函数f(x ）在区间（0,+oo
）内有且只有一个零点．
B
21.(12分）
已知椭圆C：二十云＝l叫）＞州左顶们（－2，叫P Q是椭圆C上关于阳，t称的两个动点（点P‘Q不与点A重合），6APQ而积的最大值是2.
（］）求椭圆C的方程．
(2）若直线AP.AQ与y轴分别相交子点D.E.是否存在定点R，总有顶.ER=O？若存在，求出定点R的坐标；若不存在．说明理由．
（二）选考题：共10分.i:膏考生在第22、23题中选定一题作答，并用28铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行i平分，不涂、多涂均按所答第一题i平分；多答按所答第一题i平分．
22. ［选修4-4：坐标系与参数方程J O O分〉
1x=6+1.
在直角坐标系x O y中，直线／的参数方程为！' ( t为参数），以坐标原点。

为极点，
1y=-t
I轴的非负半轴为极粉1建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝一�
,., 1+2sin20·(1）求直线t和创1线C的直角坐标方程；
(2）点P,Q分别是直线t、曲线C上的动点，求I PQ I的最小值．
23.［选修4-5：不等式选讲J O O分）
l 1+2x l I l一Zx I
已知函数f(:r)=，�一1+1－－－；一｜的最小值为m.
（］）求m的值；
(2）若a>O,b>O,a+b=m，求＿＿＿＿的最大值．
a+4b
理科数学答案
l.【答案】C
【角丰析】A= {x 1-2 < x < 2}, B ={xl3" < 32} = {xi x < 2},
:.A("\B=A· AuB=B，故选：c.
2.【答案】A
.Js -/lo
【解析】由条件I I+iHz 1=12-ii =>I z ｜＝可宁＝一一。

、/2 2
3.【答案】C
【解析】因为0＜α＜π，所以主＜sinα＜l等价于αε（豆，主）U（豆豆），
2 4 2 2 4
tanα＞I等价于αε（旦，主），
4 2
因此“主＜sinα＜l”是“tanα＞l”的必要不充分条件
2
4.【答案】B
【解析】估计该校在2小时内完成作业的学生占比是0.1×0.5+0.3×0.5 =20%, A错误；抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是100×（0.1×0.5+0.1 ×0.5)=10（人），B 正确：抽取学生课后完成作J壮时间的100个数据的中位数在区间（2.5,3）内，C错误：抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方因确定，D错误－
5.【答案】C
【解析】因为IMFl=3=>M（丑.Ji.,2），点M到Y轴的距离为2.fi..
6.【答案】A
【解析】膺，令t=晴问题转化为求
！（巾2叫2x-i)+I2x-i,
方程sint＝－�，t E［－主，坷的解，解得t＝－主或豆，即解有两个，选A
2 3 3 6 6
7.【答案】D
【晰】设球的半径为r，则OA=2r,O C＝羊、／3
l 2r o 2 , 2 ,
因此水的体积只＝－π（－；：，－）＇2r－－πr j＝一πr七
3,.j3 3 9
2.3
所以水的体积与球的体积之比是立二二＝土
2π，.3 6
3
8.【答案】B
【解析】由图可以得到α＞0,
且方程f’。

）= 3ax2 + 2bx+ c= 0的两根矶，与满足x1+x2 >0,x1x2 <0 , 1:!P
2b
－一－＞0.一＜0,
3a’3a
因此α＞O,b < O,c < 0.
9.【答案】A
【解析】
/(2-x)+ f(x) = log/I +x)-log,(3-x)-(2-x)+ 3 + l og,(3-x)-logil +x)-x +3 = 4.因此函数／（功的图象关于点（l,2）成中心对称，／（0)= 4,/(2) = 0，函数f(x）在区间附上单调递减因此与坐标轴围成图形的丽积是�x2x4=4.
10.【答案】B
【解析】设R他Pl飞乓的内切因半径为r，因为困I与x轴切子怡，0），所以r=c-a.
故Ye=y, = r=c-a ::::> Y P = 3(c－α），所以3(c-a)＝主＝＞3(c-a) ＝三�.
αα
t!ll c = 2a，放双曲线的离心率为2
11.【答案】C
【解析】由fffi意得B E.l "'!Z丽AA,E,E，设点G在平商AA,E1E内的投影为H,’则点H,-tt 线段A,E1上，且E1H1=l，设点H在线段AE上，且HE=l,
则HH1E1E是一个正方形，点P的轨迹是其对角线HE，将A
HEE，与HB,E I展开到一个丽肉，得到如图图形，
因此PE÷PB，的最小值是B,E,
II
B1E2 ＝叫2＿川
最小值为.rs.
12.【答案】B
【解析】依题意f’（x)= a e旧＋i-I n x + 2-1 ＜。

有解，en e ax+i+ina < In x -I，即
ax+ I+ I n a+ e•-<+l+ln a < I n x +ax+ I n a , RD ax+ I+ In a+ e•.r+l+hw < ln(ax) +e1＂＜叫有解，
构造函数g(t)= t+e’，单调递增，因此不等式转化为αx+ I + In a < I n（αx),
In x -1 In x -1 2 -In γ，
en a＜有解，记h(x)＝，h’（x)=-----,-:= 0 ::::>x = e'
x x x
从而求得h(x）ε（－C(),e-2］，因此0＜α＜e-2.
13.【答案】19
【解析】 1
(a+b>2 =a2 +2a·b+E2 =9+2x3×2x土＋4=19
2
14.【答案】12
【解析】C(3,4),r= 5，圆心到直线的距离d=4，因此I ABl=6,S = 12.
15.［答案】810
【角丰析】方法一：
(x2 + 2x +3)5 = ((3 +2x) +x2]5 = (3 +2x)5 +5(3 +2x)4 x2 ＋…＋5(3+2x)x8 +x10' = C! x 34 x 2 = 810 .
因此。

I
方法二：两边同时对X求导得5(x2+ 2x +3)4(2x +2) =a,+ 2a2x＋…＋ 10a,0x9,
令x=O，得到αI=8}0
16.【答案】22-4,J3
t解析］s.旷＝.!.ab s in LACB =>ab= 4 => c2 ＝α2 +b2 -4岳，
山＂、 2
-F2 -F2
在b.M2A M3中，IAM2I＝一－b,I A J'vf3 I＝一－c，ζ：M2AM3＝ζBAC＋一，
2 2
由余弦定理可待
, 1,1,-,J2 -,J2πb2 +c2 b2 +c2 I J\.1211111' = -c' +-b' -2×－c×－bxcos(LBAC +-) ＝＋be sin LBAC ＝＋2品， 2 2 2 2 2 2
、a2+b2‘α2 +c2
一＋2,I M3M i i'＝一言一＋2.
同理I J\tf1M21''＝一
τ
故IM1M2i2 +IM2M3 l2 +I风lv/112= a2 +b2 +c2 +6 = 2(a2 ＋的＋6-if3.
因为a2+b2�2ab=8，故IA11M2 l2 + I M2M3 l2 + I M3M112222－叫3.
17.【解析】（1）第n行所有数的和为
(l +2川）2川
_1+2+3＋…＋2川－ 2 _l
α－ -－γ＋2 2 •..•.•..•...•...•..•...•.... 6分
，、n-1，、11-l，、
(2）前10行所有数的和为
IO , " •
S10 = a1 ＋α2＋…＋a10 ＝τ＋（2叫＋2υ＋…＋2"),
{C1-l1
即S’.＝5＋丘一一一一＝＝一一一...............................................12分山1-2 2 2
3 1 3 1
’－ cg -2s’·
18.阴阳（I)P(A)=---P(B）－－－一......................…3分
9-3
J l
P( A B) = ----;;-＝一
ci 84’
因此P(AB)= P( A)· P( B），所以事件A,B相互独立..........................................................5分
(2）设一次游戏获利X元，贝I]X的可能取值有90,0,-10,.......................................... 6分
C'.C'.C'. 9 I 9 9
P(X = 90) =P(B) ＝一，P(X=0) ＝二ζl.::l.＝一，P(X=-10)=1－一－－＝一，
28 C; 28 28 28 14
...... IO分
1 9 9 45一
因此EX=90x一＋O×一－lOx一＝－一（兀〉，不应该参与该游戏.......................12分
28 28 14 14
19.【解析】（！）连接AE，设AEnBD=H，连接FH.
AF AH
因为PEI／平丽BDF，所以PEIIFH，故一一＝一一，..............................................3分
FP HE
AH AB
又在菱形ABCD中，A ABH～l::,EDH，所以一一＝一一＝2
HE DE
AF
所以一一＝2
FP 〈．
(2）因为ζB CD ＝ζBAD=60。

，BC ＝ζ:0=4,
所以BE l_ CD=> BE l_ ED,
B E l_ EP ，因此L.DEP 是二面角P-BE-A 的平而角，L.DEP = 120。

，如图，以点E 为原点，ED,EB 所在直线为x 轴，y轴，建立空间直角坐标系E
－砂Z依据题意P(-1,0, .J3),
A( 4, 2.Jj, 0), B(O, 2.Jj, 0), D(2, 0, 0）γ…….......................................................................... 6分
从而五万＝(2,2.J3,o),DP = (-3,o ，而，DB=(-2,2./3,o) 设平面AFD 的法向量·m=(x ，，只，z ,),
El3;.1_ru 得到2x 1
+2.J3y 1
= 0
司
x 1 = -.J3y 1’
由司l_DP 得重川x 1+.J3z 1 = 0 导z 1 = .J3x 1.
令Y i
=l ＝辛x,= -.J3, z, = -3，百＝(-.J3,
1, -3) 设平面BFD 的法向：虽；n = （码，Y 2,Z 2)'
由；J_觅得到－2x
2
+2./3元＝0 导X 2 =.fi 元，
｜扫马
1_Hi ＝＞斗1-EP 得到－x 2+ .fi z
2
= 0 =:> x 2 = .Jiz 2.
一－rn·n -3+1-3、6气因此
cos <m,n ＞＝一一一一－＝一一一一一＝－二二二｜百
I ·I 二I
.Ji 弘.Js
13
’ .,jf,气
所以，所求二面角的余弦值是主斗二……….......…··…………………………………“…............12分13 20.【解析】O)
I υ）
=xe·' －αx 2 =x (e "'
－αx ），令／υ）＝O 司x=O!ixe'-ax=O...... I分
设g(x )=e' -ax ，则g ’
（x )=e' -a,
令g ’。

）＝O 寻x=lna.
且x<lna 时，g
’
（x)< 0, g(x ）单调递减；x > lna时，g ’（x)> 0, g(x ）单调递增，
ι
所以g(x ）阳，11=g (ln a ）＝α－aln a ＝α(1-ln a), ........... ··············· ······· … ... 3分因为α＞e,g(x)"';"<O ，此时g(x ）在R上有且仅有两个零点，记为抖，X 2(X 1<x 2)' 因为g(O)=i>O.g(l)=e -a<O, x →＋∞时g (x )>0，所以0<x 1<I ＜码，所以f(x ）在R 上有且仅有3个极值点．·．．． ．．．．． ．．． … … … .
.. 5分(2)
f υ） =x(e' －αx ），
当x>O a>e 时，
f(x ）在R上有3个极值点：0，抖，X2，其中0<x 1<I ＜码，且／（0)=-I < 0
, 当O<x ＜矶时，g(x)>0
，
则f'(x)> 0, f (x ）单调递增；
当x 1<x
< x 2时，g(x)< 0，则f ’
（x)< 0, f(x ）单调递减；当X > X 2时，g(x)> 0，则f ’
（x)> 0, f (x ）单调递增．所以f(x ）在区间（0,+oo）内的极大值为／（x 1），极小值为f(x 2)
· ……· ... 8分
a τI
='2
旦e ''＝α坷
，萨
＝a Jei ＝辛α＝二－，α＝二－
x
x 2
l
3 ., J e 句γ2ρ勺所以f(x 2)=(x 2-l)e'' －－叫＝（毛－1）巳2--·-x/ =(x 2 －｝）萨J 一一
3 3 X2
分
AU
nυ〈］
3－4
，．
、，／3－2 吨，－x ，，，‘、［
ρ
－
3＝、1／句3
吨，“x 句、“＋ 吨，－x ra·、Au
－
3
＝ e 将
3, 3
同理f(x 1)＝一［－（x 1--)' --) < 0，而当x →＋∞时f(x)> 0，因此函数f(x ）在区间' 3 ' 2 4
(0,x 2］内无零点，在区闷。

2,+oo ）上有且只有一个零点．
综上所述，
a>e 时，f(x ）在区间（0,+oo ）内有且仅有一个零点．·… … .. 12分
21.【解析】（I ）由题意α＝2，设椭圆C 的右顶点为B,
s £:.A 俨S /::,AP B
= 1
x 2a I y P 1� a b 因此b = 1
所以椭圆Cl'fl 1Y�
咛
y 2
=l.
4分
( 2）设D(O,m),E(O，时，R(s,t），出DR-ER=O得到：s2+(t-m)(t-n)=O,且p
s2 + 12 -(rn + n )t + m n = 0，………………·………··………...................5分设PQ:x＝岭，直线AP,AQ的方程分别是y= �（x+ 2),y = %<x+ 2), 1x＝妙’2km2m 2km 2m
H荣立｛111 解得x＝，y＝，e11.iA"i: P的坐标为（，）
l y＝τ（x+2) 2-mk 2-mk2-mk 2-mk
Km钝m、
因为点P在椭圆上，所以Jι一一－＋＿＿＿＿..：一一一＝I，化简得4m'+4km-4 = 0,
(2－加1)2(2－加1)2
同理，4n2+4nk-4=0，因此m+n=-k,mn=-1,.................................................. 10分
“I t= 0.
得到矿＋t'+k t-I= 0，当｛’ H才恒成立，ep t = O.s ＝士I.
I s2 +t2 -I= 0’
因此，存在点R(-1,0) !it (1，即使得DR-ER=O恒成立... .... ......... . .............. 12分
选做部分
l x=6+t.
22.U丰析】：（I）直线l的参数方程为｛’（t为参数〉，直线l的直角方程为x+y-6=0;
(y=-t
.... 2分
3
曲线C的极坐标方程ρ2＝可以化为ρ2+2ρ2sin2θ＝3,
I+ 2sin2θ
z x2 2
直角坐标方程为x2+ y2 + 2y = 3 e l一＋y=I ............................................................. 5分
3
(2）由曲线C的参数方程，可设Q(.../3cosθ，sinθ），
r::,6-2s in（θ＋主）
--n+i -Fi
－｜、J3cosθ＋sinθ－61 _
则I PQ I-·－…...........….......... 8分当幻in（θ斗）＝1时阳取得最，J、
1 I 1 I
23.【解析】＜1)/C x)=I一＋21+1一－21三｜（一＋2）－（一－2)1=4, ................................. 3分
x x x x
上式能取到等号，因此m=4............................................................................................... 5分
αb I 4 4 4 4 (2）一一一一＝一一一＝
＝一一一一一－三一一一－－.＝＝一，..................8分α＋ 4b 4 I
4 I 4b a
5 + 2、／49 一＋－；－(a +b ）（一＋－；－）5＋一＋－；－v 哼。

o a o a o ｜α＋b =4. I ' 8 4 当才4b a tin a = -, b = －时，上式取等号，｜一＝一，3 3 l a b 所以」L 的藏大值是2…………………··－……………………·•·10分a+4b 9。