拓展资源与矩形相关的折叠问题
矩形的折叠问题(专题)
→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折 叠这个三角形，使C点与AB边上的 一点D重合。当∠A满足什么条件时， 点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证 明D为AB中点。 条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ， 在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两 直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处， 折痕为EF。若CD=3，EF=4， 则AD¹ +BC¹ = 。
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。
根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。
一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。
其面积为原矩形面积的四分之一。
二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。
这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。
三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。
梯形的面积为原矩形面积的一半。
四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。
这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。
无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。
长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。
思想方法专题矩形中的折叠问题
思想方法专题矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题是数学中的一个经典问题，涉及到几何形状的变换和计算。
这个问题可以帮助我们锻炼思维能力，培养抽象思维和空间想象能力，同时也有助于解决实际生活中的一些问题。
首先，我们来具体描述一下矩形中的折叠问题。
假设有一张长为a，宽为b的矩形纸，我们可以将其沿着一条边折叠，并将两边粘合在一起，形成一个三维的物体。
那么，这个折叠后的物体的体积是多少呢？要解决这个问题，我们首先需要明确物体的形状。
物体是由两个相同的矩形面围成的，形成一个长方体。
其中，折叠出的两个面作为上下两个底面，长度为a，宽度为b；而另外两个面作为侧面，长度为b，宽度为折叠的厚度。
接下来，我们需要确定物体的厚度。
厚度取决于折叠的方式。
如果将矩形纸沿着长边折叠，那么物体的厚度为a；如果将矩形纸沿着短边折叠，那么物体的厚度为b。
有了这些信息，我们就可以计算物体的体积了。
物体的体积可以通过长方体的体积公式来计算，即V=a*b*h，其中V表示体积，a表示底面的长度，b表示底面的宽度，h表示高度或厚度。
由于问题中给出的是矩形纸的长和宽，我们还需要确定折叠的方式。
不同的折叠方式会得到不同的厚度，从而得到不同的体积。
因此，我们需要分别计算两种折叠方式下的体积，并找出较大的那个作为最终的结果。
那么，如何确定哪种折叠方式下的体积较大呢？我们可以通过比较高度来判断。
在折叠过程中，长边折叠得到的物体的高度为a，短边折叠得到的物体的高度为b。
由于长边折叠得到的物体的高度大于短边折叠得到的物体的高度，所以长边折叠得到的体积必然大于短边折叠得到的体积。
经过上述分析，我们得出结论：在矩形中的折叠问题中，长边折叠得到的体积较大，为a*b*a；短边折叠得到的体积较小，为a*b*b。
总结起来，矩形中的折叠问题可以通过分析物体的形状和厚度，利用长方体的体积公式进行计算。
通过比较两种折叠方式下的体积，我们可以得出哪种方式的折叠会得到更大的物体。
矩形中的折叠问题
若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围 是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2)过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于 点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求 点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
H B1
备用图
直击中考
（2015•绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P， 点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点 B关于PQ的对称点。 （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
课后练习
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所
在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边
BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比y例函k 数(k 0)
的图象与AC边交于点E．
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
专题36 矩形与折叠问题(解析版)
专题36 矩形与折叠问题一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CB 1的长为（ ）A ．cmB ．C ．8cmD ．10cm【答案】B【分析】 根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB 1为正方形，得到BE ＝AB ，根据EC ＝BC ﹣BE 计算得到EC ，再根据勾股定理可求答案．【详解】解：∵∵AB 1E ＝∵B ＝90°，∵BAB 1＝90°，∵四边形ABEB 1为矩形，又∵AB ＝AB 1，∵四边形ABEB 1为正方形，∵BE ＝AB ＝6cm ，∵EC ＝BC ﹣BE ＝2cm ，∵CB 1cm ．故选B ．【点睛】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，9AD =，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE ∆的面积为（ ）A．12B．10C．8D．6【答案】D【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角∵ABE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，∵BE＝ED．∵AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝9．∵BE＝9−AE，根据勾股定理可知AB2∵AE2∵ BE2，32∵AE2∵∵9-AE∵2∵解得AE＝4．∵∵ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：D．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将∵ABE沿AE所在的直线折叠得到∵AFE，延长AF交CD 于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接EG ，由折叠的性质可得BE ＝EF 又由E 是BC 边的中点，可得EF ＝EC ，然后证得Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），得出FG ＝CG ＝2，继而求得线段AG 的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．【详解】解：连接EG ，∵E 是BC 的中点，∵BE ＝EC ，∵∵ABE 沿AE 折叠后得到∵AFE ，∵BE ＝EF ，∵EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∵∵C ＝90°，∵∵EFG ＝∵B ＝90°，∵在Rt∵EGF 和Rt∵EGC 中，EF EC EG EG=⎧⎨=⎩， ∵Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），∵FG ＝CG ＝2，∵在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝CG +DG ＝2+1＝3，∵AF ＝AB ＝3，∵AG ＝AF +FG ＝3+2＝5，∵BC ＝AD ＝．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键．4．在矩形纸片ABCD 中，AB =6，AD =10．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm【答案】C【分析】 根据翻折的性质，可得BA ′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A ′C ，根据勾股定理，可得A ′C ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵当P 与B 重合时，BA ′=BA =6，CA ′=BC ﹣BA ′=10﹣6=4cm ，∵当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA cm ，CA ′最远是8，CA ′最近是4，点A ′在BC 边上可移动的最大距离为8﹣4=4cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．5．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后得到1∠，再把纸片铺平，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．130°D ．115°【答案】D【分析】 点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，结合∵1的度数即可求出∵EFB 的度数，利用矩形的性质AD∵BC 即可求出结果．【详解】点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，∵∵1=50°，∵∵BFE=（180°-50°）÷2=65°，∵ABCD 是矩形，∵AD∵BC ，∵∵DEF=∵BFE=65°，∵∵AEF=180°-65°=115°，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，将矩形沿BD 折叠，点A 落在点E 处，DE 与BC 交于点F ，则重叠部分BDF ∆的面积是( )A ．20B ．16C ．12D ．10【答案】D【分析】 根据折叠的性质可得∵ADB=∵EDB,由平行可得∵ADB=∵CBD,推出∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,在Rt∵DCF 中根据勾股定理列出方程求出x ,再根据面积公式求出∵BDF 的面积即可．【详解】∵AD∵BC,∵∵ADB=∵CBD,∵∵BDE 是∵BDA 折叠后的图形,∵∵ADB=∵EDB,∵∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,则DF 为x ,CF 为8－x ,在Rt∵DCF 中,()22284x x -+=解得:x =5．∵S ∵BDF =154102⨯⨯=． 故选D ．【点睛】本题考查折叠中矩形的性质,关键在于利用勾股定理列出方程求解．7．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD 折叠，使点C 落到点C '的位置，若BC '平分ABD ∠，则DBC ∠的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】 根据折叠的性质，得到DBC DBC'∠=∠，再根据角平分线的性质得到''ABC DBC ∠=∠ ,得到∵ABC 被平均分成了3份，求出解决即可.【详解】解：∵把一张长方形纸片ABCD 沿BD 折叠∵DBC DBC'∠=∠∵BC '平分ABD ∠∵''ABC DBC ∠=∠∵DBC ∠=13∵ABC=30° 故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质以及角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠与角平分线的性质，找到相等的角.8．将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∵CED'=70°，则∵EAB 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°【答案】D【分析】首先根据折叠的性质得出∵DEA=∵D′EA=55°，然后由余角的性质得出∵DEA=∵EAD′=35°，进而得出∵D′AB=20°，最后即可得出∵EAB.【详解】根据折叠的性质，∵CED'=70°，得 ∵DEA=∵D′EA=18070552︒-︒=︒ ∵∵ADE=∵AD′E=90°∵∵DAE=∵EAD′=90°-55°=35°∵∵D′AB=90°-∵DAE -∵EAD′=90°-35°-35°=20°∵∵EAB=∵EAD′+∵D′AB=35°+20°=55°故答案为D.【点睛】此题主要考查折叠的性质以及余角的性质，熟练掌握，即可解题.9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，其中15AB cm =，10AD cm =.将纸片沿EF 折叠，//EF AD ，若9AE cm =，折叠后重叠部分的面积为（ ）A ．230cmB ．260cmC ．250cmD ．290cm【答案】B【解析】【分析】 根据折叠的性质，可知折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，即可得解.【详解】根据题意，得折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，∵10AD cm =，9AE cm =，//EF AD∵2=151091060ABCD AEFD S S S AB AD AE AD cm -=-=⨯-⨯=阴影长方形长方形故答案为B.【点睛】此题主要考查折叠的性质和长方形的面积求解，熟练掌握，即可解题.10．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B C D．6【答案】A【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵∵CEO是∵CEB翻折而成，∵BC=OC，BE=OE，∵B=∵COE=90°，∵EO∵AC，∵O是矩形ABCD的中心，∵OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∵AE=CE，在Rt∵ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=33，在Rt∵AOE中，设OE=x，则AE=33-x，AE2=AO2+OE2，即（33-x）2=32+x2，解得x=3，∵AE=EC=33-3=23．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键．11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果∵BAF =60°，则∵DAE 的大小为（ ）A ．10°B ．15 °C ．20 °D ．25°【答案】B【分析】 由题意可知90BAD ∠=︒，12FAE DAE DAF ∠=∠=∠．再由DAF BAD BAF ∠=∠-∠，即可求出DAE ∠的大小．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∵90BAD ∠=︒，∵FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∵12FAE DAE DAF ∠=∠=∠， ∵906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∵130152DAE ∠=⨯︒=︒． 故选：B ．【点睛】 本题考查矩形的折叠问题，根据折叠的性质推出12FAE DAE DAF ∠=∠=∠是解答本题的关键． 12．如图，长方形ABCD 中，点O 是AC 的中点，E 是AB 边上的点，把∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则图中全等的三角形有（ ）对．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 由长方形的性质利用“SSS ”即可证明ADC CBA ≅，再由折叠的性质可知∵BCE ∵∵OCE ，即可得出结论90EOC EBC ∠=∠=︒，从而推出90EOA EOC ∠=∠=︒，最后由O 点为AC 中点，利用“ASA ”即可证明OCE OAE ≅，最后又可推出∵OAE ∵∵BCE ，即可选择．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∵在ADC 和CBA △中AD CB CD AB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵()ADC CBA SSS ≅；∵∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，∵∵BCE ∵∵OCE ；∵O 点为AC 中点，∵AO =CO ．∵∵BCE ∵∵OCE ，∵90EOC EBC ∠=∠=︒，∵在∵OCE 和∵OAE 中，90AO CO EOA EOC OE OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵()OCE OAE ASA ≅；∵∵BCE ∵∵OCE ，OCE OAE ≅，∵∵OAE ∵∵BCE综上，图中全等三角形有4对．故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质以及全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键． 13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】 根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1，∵A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键．14．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．20【答案】C【分析】 由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】 解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若∵EDF 是等腰三角形，则∵BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º【答案】C【分析】 由翻折可知：∵BDF∵∵BCD ，所以∵EBD=∵CBD ，∵E=∵C=90°，由于∵EDF 是等腰三角形，易证∵ABF=45°，所以∵CBD=12∵CBE=22.5°，从而可求出∵BDC=67.5°． 【详解】解：由翻折的性质得，∵DBC=∵EBD ，∵矩形的对边AD∵BC ，∵E=∵C=90°，∵∵DBC=∵ADB ，∵∵EBD=∵ADB ，∵∵EDF 是等腰三角形，∵E=90°，∵∵EDF 是等腰直角三角形，∵∵DFE=45°，∵∵EBD+∵ADB=∵DFE ， ∵∵DBF=12∵DFE=22.5°， ∵∵CBD =22.5°，∵∵BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 16．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C．2D【答案】D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∵BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∵DA′G＝∵A＝90°，∵∵BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt∵A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∵x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∵AG＝32，∵在Rt∵ADG中，DG=故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．如图，在矩形纸片ABCD中，BC a=，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）A ．12aB ．25aC ．2aD ．3a 【答案】D【分析】首先证明∵OBC 是等边三角形，在Rt∵EBC 中求出CE 即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵OB=OC ，∵BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO ，∵BC=OB=OC ，∵∵OBC 是等边三角形，∵∵OBC=60°，∵∵EBC=∵EBO=30°，∵BE=2CE根据勾股定理得：EC=3a ， 故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵OBC 是等边三角形． 18．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A【分析】 根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可．【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒，180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型，42AHG AEG ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键．19．如图，已知长方形ABCD ，将∵DBC 沿BD 折叠得到∵DBC′，BC′与AD 交于点E ，若长方形的周长为20cm ，则∵ABE 的周长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】 根据现有条件推出∵EDB=∵EBD ，得出BE=DE ，可知∵ABE 的周长=AB+AD ，是长方形的周长的一半，即可得出答案．【详解】由折叠可知：∵CBD=∵C′BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵AD∵BC，∵∵ADB=∵CBD，∵∵ADB=∵C′BD，∵∵EDB=∵EBD，∵BE=DE，∵∵ABE的周长=AB+AD，∵长方形的周长为20cm，∵2（AB+AD）=20cm,∵AB+AD=10cm,∵∵ABE的周长为10cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，推出BE=DE是解题关键．20．如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，若∵ADE = 30°，EH = 2，则BC的长度为（）A．8B．7C．6.5D．6【答案】D【分析】由折叠的性质可得∵E＝∵C＝∵A=90°，再证明∵ABH∵∵EDH，得到AB的长，再求出∵DBC=30°，在Rt∵BCD 中即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵C＝90°，∵将一块长方形纸片ABCD 沿BD 翻折后，∵∵E ＝∵C ＝∵A=90°，又∵AHB=∵EHD ，AB=ED∵∵ABH∵∵EDH∵∵ABH=∵ADE = 30°，AH=EH = 2∵BH=2AH=4∵CD=AB= =∵∵ABH= 30°，∵∵HBC=60°∵翻折，∵∵DBC=30°6=故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，含30°的直角三角形的性质，求出AB 的长是本题的关键． 21．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：∵把ABF 翻折，点B 落在C 边上的点E 处，折痕为AF ，点F 在BC 边上；∵把ADH 翻折，点D 落在AE 边上的点G 处，折痕为AH ，点H 在CD 边上，若610AD CD ==，，则EH EF=（ ）A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】A【分析】利用翻折不变性可得10AE AB ==，推出8DE =，2EC =，设BF EF x ==，在Rt EFC △中，2222(6)x x =+-，可得103x =，设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，可得3y =，由此即可解决问题．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，10AB CD ==，6AD BC ==，由翻折不变性可知：10AB AE ==，6AD AG ==，BF EF =，DH HG =，4EG ∴=，在Rt ADE △中，8DE ==，1082EC ∴=-=，设BF EF x ==，在Rt EFC △中有：2222(6)x x =+-，103x ∴=， 设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，3y ∴=，5EH ∴=， ∴531023EH EF ==，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′地位置，ED ′的延长线与BC 相交于点G ，若∵EFG =68°，则∵1的度数是（ ）A ．112°B ．136°C ．144°D ．158°【答案】B【分析】由AD//BC，∵EFG=68°，根据两直线平行，内错角相等，可求得∵DEF的度数，然后由折叠的性质，求得∵DEG 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD//BC，∵EFG=68°，∵∵DEF=∵EFG=68°，由折叠的性质可得：∵FEG=∵DEF=68°，∵∵DEG=∵DEF+∵FEG=136°，∵AD//BC，∵∵1=∵DEG=136°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．12B．53C．25D．13【答案】B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF 中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt∵ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∵AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF中，BF4，∵CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，在Rt∵ECF中，CE2+FC2＝EF2，∵x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∵DE＝3﹣x＝53，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．24．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，已知2BC=，则线段EG的长度为（）A．1B C D．2【答案】B【分析】由折叠的性质可得AE=12AD=12BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ， ∵AE=12AD=12BC=1，EF∵AD ， ∵∵AEF=90°，∵再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处∵AG=AD=2，=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．25．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，若68AFE ∠=︒，则'∠C EB 等于（ ）A ．68︒B ．80︒C ．44︒D ．55︒【答案】C【分析】 根据矩形的性质可得AD//BC ，根据平行线的性质可得∵CEF =∵AFE ，根据折叠的性质可得∵CEF =∵C′EF ，根据平角的定义即可得答案．【详解】解：∵ABCD 是长方形，∵68AFE ∠=︒，∵∵CEF =∵AFE=68°，∵将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，∵∵CEF =∵C′EF =68°，∵'∠C EB =180°-∵CEF -∵C′EF=44°，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，翻折变换的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．26．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．∵ABE∵∵CDE【答案】B【分析】 由折叠的性质和平行线的性质可得∵ADB=∵CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证∵ABE∵∵CDE ，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，∵∵CBD=∵DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，∵∵EDB=∵DBC'，∵∵EDB=∵EBD ，故选项C 正确；∵BE=DE ，∵AD=BC ，∵AE=CE ，故选项A 正确；在∵ABE 和∵CDE 中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明12AE BE =， 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 27．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C【分析】 因为图形对折，所以首先∵CDB∵∵ABD ，由于四边形是长方形，进而可得∵ABE∵∵CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵∵BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∵CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∵∵CDB∵∵ABD （SSS ），∵∵CBD=∵ADB∵EB=ED∵CE=AE又AB=CD∵∵ABE∵∵CDE ，∵图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．28．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：∵ DF CF =；∵BF EN ⊥；∵BEN 是等边三角形；∵3BEF DEF S S =△△．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A ．∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵∵【答案】B【分析】 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF ＝FM ＝DF ，即可判断∵；易求得∵BFE ＝∵BFN ，则可得BF∵EN ，即可判断∵；易证得∵BEN 是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，即可判断∵；易求得BM ＝2EM ＝2DE ，即可得EB ＝3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断∵．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵∵D ＝∵BCD ＝90°，DF ＝MF ，由折叠的性质可得：∵EMF ＝∵D ＝90°，即FM∵BE ，CF∵BC ，∵BF 平分∵EBC ，∵CF ＝MF ，∵DF ＝CF ；故∵正确；∵∵BFM ＝90°−∵EBF ，∵BFC ＝90°−∵CBF ，∵∵BFM ＝∵BFC ，∵∵MFE ＝∵DFE ＝∵CFN ，∵∵BFE ＝∵BFN ，∵∵BFE ＋∵BFN ＝180°，∵∵BFE ＝90°，即BF∵EN ，故∵正确；∵在∵DEF 和∵CNF 中，90D FCN DF CFDFE CFN ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝ ∵∵DEF∵∵CNF （ASA ），∵EF ＝FN ，∵BF 垂直平分EN ，∵BE ＝BN ，假设∵BEN 是等边三角形，则∵EBN ＝60°，∵EBA ＝30°，则AE ＝12BE ， 又∵AE ＝12AD ，则AD ＝BC ＝BE ，而明显BE ＝BN ＞BC ，∵∵BEN 不是等边三角形；故∵错误；∵∵BFM ＝∵BFC ，BM∵FM ，BC∵CF ，∵BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM ，∵BE ＝3EM ，∵S ∵BEF ＝3S ∵EMF ＝3S ∵DEF ；故∵正确．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．29．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【分析】 由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10，AB=CD=6，∵∵B=∵BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ABF 中，8BF ===，∵CF=BC -BF=10-8=2，在Rt∵EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，∵（6-x ）2=x 2+22， ∵x=83， ∵EC=83． 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．30．如图，已知长方形ABCD 中6cm AB =，10cm BC =，在边CD 上取一点E ，将ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，CE 的长是（ ）A ．3B ．2.5C ．83D ．2【答案】C【分析】 要求CE 的长，应先设CE 的长为x ，由将∵ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F 可得Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，所以AF=10cm ，EF=DE=6-x ；在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，已知AB 、AF 的长可求出BF 的长，又CF=BC -BF=10-BF ，在Rt∵ECF 中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即：（6-x ）2=x 2+（10-BF ）2，将求出的BF 的值代入该方程求出x 的值，即求出了CE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10cm ，CD=AB=6cm ，根据题意得：Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，∵∵AFE=90°，AF=10cm ，EF=DE ，设CE=x cm ，则DE=EF=CD -CE=（6-x ）cm ，在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，即62+BF 2=102，∵BF=8cm ，∵CF=BC -BF=10-8=2（cm ），在Rt∵ECF 中，由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即（6-x ）2=x 2+22，∵36-12x +x 2=x 2+4，∵x =83，即CE=83cm ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．如图，将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点B '处，B C '交AD 于点E ，若125∠=︒，则2∠等于（ ）A ．25︒B ．30C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】 根据折叠的性质得到∵ACB '=125∠=︒，由长方形的性质得到AD∵BC ，即可得到∵2=∵BCB '=2∵1=50︒.【详解】由折叠可知：∵ACB '=125∠=︒，∵四边形ABCD 是长方形，∵AD∵BC ，∵∵2=∵BCB '=2∵1=50︒，故选：C.【点睛】此题考查折叠的性质，长方形的对边平行的性质，平行线的性质：两直线平行内错角相等.32．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E.若CBD 35∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）．A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30【答案】B【分析】 根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到ADB ∠和EDB ∠的度数，然后即可得到ADE ∠的度数．【详解】解：由折叠的性质可得，CDB EDB ∠∠=，AD //BC ，CBD 35∠=︒，CBD ADB 35∠∠∴==︒，C 90︒∠=，CDB 55∠∴=︒，EDB 55∠∴=︒，ADE EDB ADB 553520∠∠∠∴=-=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．33．如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10AD cm =，则折痕EF 的长为（ ）．A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．【详解】根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt∵ABF中，根据勾股定理得，BF=6∵CF=4在Rt∵CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故选D【点睛】本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．34．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若EFC'∠=︒，那么ABE122∠的度数为（）A．24︒B．32︒C．30D．26︒【答案】D【分析】由折叠的性质知：∵EBC′、∵BC′F都是直角，∵BEF=∵DEF，因此BE∵C′F，那么∵EFC′和∵BEF互补，这样可得出∵BEF 的度数，进而可求得∵AEB 的度数，则∵ABE 可在Rt∵ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∵BEF=∵DEF ，∵EBC′、∵BC′F 都是直角，∵BE∵C′F ，∵∵EFC′+∵BEF=180°，又∵∵EFC′=122°，∵∵BEF=∵DEF=58°，∵∵AEB=180°-∵BEF -∵DEF=64°，在Rt∵ABE 中，∵ABE=90°-∵AEB=26°．故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．35．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到','BC D C D ∆与AB 交于点E ，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒【答案】D【分析】 根据矩形的性质，可得∵ABD=40°，∵DBC=50°，根据折叠可得∵DBC'=∵DBC=50°，最后根据∵2=∵DBC'-∵DBA 进行计算即可．【详解】解：140,//CD AB ∠=︒，40,50ABD DBC ∴∠=︒∠=︒，由折叠可知'50DBC DBC ∠=∠=︒，2504010DBC ABD '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∵DBC′和∵DBA 的度数．36．如图，在长方形ABCD 中，将∵ABC 沿AC 对折至∵AEC 位置，CE 与AD 交于点F ，如果AB ＝2，BC ＝4，则AF 的长是（ ）．A ．2B ．2.5C ．2.8D ．3【答案】B【分析】 根据题意，根据轴对称的性质，得AB=AE=CD=2，BC=AD=4；通过证明AEF CDF △≌△得=EF FD ，再通过直角AEF 中勾股定理，计算得AF 的长．【详解】根据题意得：AB=AE=CD=2，BC=AD=4设AF=x ，则FD=AD -AF=4-x∵90AEC D AFE DFC AE CD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AEF CDF △≌△∵=EF FD∵4EF FD x ==-∵222AE EF AF +=∵()22224x x +-=∵ 2.5x =∵AF 的长是2.5故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、矩形、勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．37．如图，矩形ABCD 沿着对角线BD 进行折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ，16AD =，8AB =，则DE 的长（ ）．A ．10B ．6C ．8D ．【答案】A【分析】 先根据翻折变换的性质得出CD=C′D ，∵C=∵C′=90°，再设DE=x ，则AE=16-x ，由全等三角形的判定定理得出Rt∵ABE∵Rt∵C′DE ，可得出BE=DE=x ，在Rt∵ABE 中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE 的长．【详解】解：∵Rt DC B '△由Rt DCB △翻折而成，∵8CD C D AB '===，90C C '∠=∠=︒，设DE x =，则16AE x =-，∵90A C '∠=∠=︒，AEB DEC '∠=∠，∵ABE C DE '∠=∠，在Rt ABE △与Rt C DE '△中，90A C '∠=∠=︒，AB C D '=，ABE C DE '∠=∠∵Rt Rt ABE C DE '≌△△，∵BE DE x ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即()222816x x +-=，解得10x =，即10DE =，故选A ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．38．如图，长方形ABCD 中，AD BC 6==，10AB CD ==，点E 为射线DC 上的一个动点，ADE 与AD E '关于直线AE 对称，当'AD B 为直角三角形时，DE 的长为() A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【答案】D【分析】 分两种情况： 当E 点在线段DC 上时， 当E 点在线段DC 的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．【详解】解：分两种情况讨论：∵当E 点在线段DC 上时，AD E '△∵ADE ，90AD E D '∴∠=∠=︒，90AD B '∠=︒，180AD B AD E ''∴∠+∠=︒，B ∴、D 、E 三点共线，1122ABE S BE AD AB AD AD AD ''=⋅=⋅=，， BE AB 10∴==，8BD '===，1082DE D E '∴==-=；∵当E 点在线段DC 的延长线上时，如下图，90ABD CBE ABD BAD ''''''∠+∠=∠+∠=︒，CBE BAD ''∴∠=∠，在ABD ''△和BEC △中，D BCE AD BCBAD CBE '''''∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩， ABD ''∴△∵BEC ，BE AB 10∴==，8BD ''==，81018DE D E BD BE ''''∴==+=+=，综上所知，DE 2=或18，故选：D ．【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．39．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB ＝2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：∵∵ABN＝60°；∵AM＝1；∵AB∵CG；∵BMG是等边三角形；∵点P为线段BM上一动点，点H是BN的中点，则PN＋PH．其中正确结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【分析】∵根据折叠的性质得出AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，再根据含30度的直角三角形判定定理即可得出∵ENB ＝30°，即可得出∵ABN＝60°；∵根据折叠的性质得出∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，根据勾股定理即可求出AM的值；∵直接根据矩形的性质即可得出；∵根据∵ABM＝30°，得出∵MBG＝∵BMA＝60°，再根据折叠的性质和等量代换即可得出∵BGM是等边三角形；∵根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH＝BE，结合题意得出PE＝PH，再根据三点共线时值最小及勾股定理即可判断．【详解】解：由折叠可知，AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，在Rt∵BEN中，∵BN＝AB＝2BE，∵∵ENB＝30°，∵∵ABN＝60°，故∵正确；由折叠可知，∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，则BM=2x，x2+22=(2 x)2，∵x＞0，解得：x，即AM =∵错误； ∵∵ABG ＝90°，∵AB ∵CG ，故∵正确；∵∵ABM ＝30°，∵∵MBG ＝∵BMA ＝60°，由折叠可知，∵BMG ＝∵BMA ＝60°，∵∵MBG ＝∵BMG ＝∵MGB ＝60°,∵∵BGM 是等边三角形，故∵正确，连接PE ．∵点H 是BN 的中点，∵BH ＝BE ＝1，∵∵MBH ＝∵MBE ，∵E 、H 关于BM 对称，∵PE ＝PH ，∵PH +PN ＝PE +PN ，∵E 、P 、N 共线时，PH +PN 的值最小，EN ∵正确，故选为B ．【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．40．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）A ．2b a -B ．22b a -C ．32b a +D ．12b a + 【答案】B【分析】 如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵PEQ 是等腰直角三角形，进而可得∵MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．【详解】解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∵EQP =11904522DQP ∠=⨯︒=︒， ∵∵PEQ =90°，∵∵PEQ 是等腰直角三角形，如图4，∵MN ∵PQ ，∵∵MNE 是等腰直角三角形，∵EG ∵MN ，∵EG=MG=NG =12MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣12b ）＝b ﹣a ， ∵MN =2EG =22b a -．故选：B∵【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．41．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB ＝3，则 BC 的长为（ ）AB ．2C ．1.5 D【答案】D【分析】 设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．【详解】设BC x =，四边形ABCD 是矩形，90,B AD BC x ∴∠=︒==，由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，OA OC x ∴==，四边形AECF 是菱形，AE CE ∴=，。
矩形的折叠问题
∠A = ∠DEG = 90 AD=DE=3，
= 4. AD = 3
在Rt△ABD中，根据勾股定理有， AB 2 + AD 2 = BD 2 得BD=5。 又AD与对角线BD重合，∴∠DEG = ∠GEB = 90 BE=BD-DE=5-3=2 又BG=AB-AG=4- ， 在Rt△GEB中,根据勾股定理有 EB2 + GE2 = BG2 。 即AG为 。 22 x 2 (4 x)2 解得： 即
关于矩形的折叠通常有以下几种情况
一、将一边折到对角线上
二、将一个顶点折到一边上 三、一边沿对角线翻折
四、一条对角线的顶点折叠重合
折叠类题目关键
准确找出其中 不变量
例.矩形ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片 使AD与对角线BD重合，折痕为DG，求AG长
解：设AG为 在矩形ABCD中， ， 根据折叠有GE=AG=
小结： 1.这节课你学习了什么 2.折叠问题应抓住什么来解决
作业
1.矩形ABCD中，AB=8，AD=4，将矩形 沿对角线AC折叠，点D落在E处，求重叠部 分△AFC的面积及周长
ห้องสมุดไป่ตู้
练习（1）操作发现： 如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后 得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． 猜想线段GF与GC有何数量关系.并证明你的结论． （2）问题解决： 保持（1）中的条件不变，若DC=2CG，求AD:AB （3）类比探究： 保持（1）中的条件不变，若DC=nCG，求AD:AB
矩形的折叠问题归类
矩形的折叠问题归类矩形的折叠问题是指在二维平面上，将一个矩形沿某一方向进行折叠，使得其中的某一条边与另一条边重合的问题。
这个问题可以分为以下几类。
1.水平折叠：在这种情况下，矩形按照水平方向进行折叠。
即将矩形的上边与下边进行折叠，使得它们重合。
这种情况下，折叠中心通常是矩形的中点。
2.垂直折叠：与水平折叠类似，垂直折叠是指将矩形的左边和右边进行折叠，使得它们重合。
折叠中心通常是矩形的中点。
3.对角线折叠：对角线折叠是指将矩形的一条对角线进行折叠，使得它与另一条对角线重合。
这种情况下，折叠中心就是矩形的中心点。
4.不对称折叠：不对称折叠是指将矩形沿任意一条线进行折叠，使得其中的两条边重合，但折叠中心不是矩形的对称中心。
这种类型的折叠通常需要一些几何推理和计算来求解。
5.多次折叠：在这种情况下，矩形可以进行多次折叠，使得多个边重合。
这种问题通常需要分析每次折叠的效果，并综合考虑到所有边的重合情况。
通过以上分类，我们可以看出矩形的折叠问题是一个几何学和空间想象力的结合。
解决这类问题通常需要从折叠后的形状入手，利用几何知识和计算方法，通过推理和计算找到解决方案。
例如，对于水平折叠问题，可以通过计算矩形的上边和下边的重合点来求解。
类似地，对于垂直折叠问题，可以计算矩形的左边和右边的重合点。
而对于对角线折叠问题，可以通过计算矩形的对角线的重合点来求解。
在不对称折叠问题中，可能需要通过几何推理来找到折叠点的位置，然后再进行计算。
这可能涉及到一些较为复杂的几何分析和角度计算。
在多次折叠问题中，可以通过类似的方法逐步解决每个折叠步骤，然后整合所有步骤的结果。
总之，矩形的折叠问题是一个有趣的几何学问题，需要运用数学和空间想象力来解决。
通过分类和分析不同类型的折叠问题，我们可以更好地理解和解决这类问题。
矩形中的折叠问题小结
A
B
类型四：求线段与面积间的变化关系
A E D G N B C
例4 如图，把一张边长为a的正方形 的纸进行折叠，使B点落在AD上， M 问B点落在AD的什么位置时，折起 的面积最小，并求出这最小值。
A B 39;
类型二：求折叠出的线段的长度
例2、折叠矩形ABCD，让点B落在AC上的点 F处，若AD=4，AB=3，求线段CE的长度。
A F B C D
E
类型三：考察折叠后线段的等量关系
例3、将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落 到点F的位置.（1）求证：AE=CE （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意 一点，PG⊥AE，PH⊥EC，求PG+PH的值， 并说明理由. F
矩形中的折叠问题
一、在“大小”方面的应用
折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段 的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等 问题。
二、在“位置”方面的应 用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位
置发生变化，带来图形间的位置关系重新 组合。
类型一：求角度
例1、将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如 图所示,已知EFG=55º ，则FGE= 70º 。
中考专题复习矩形折叠问题
中考专题复习矩形折叠问题矩形折叠问题是中考数学中的一个经典题型，要求考生在给定条件下进行折纸后，求出折纸后的面积或者边长等相关问题。
本文将对中考专题复习矩形折叠问题进行详细介绍和分析。
1. 矩形折叠问题简介矩形折叠问题是指将一个完整的矩形纸张按照规定方式进行折叠后，求折叠后的形状和相关属性的问题。
常见的矩形折叠问题包括求折叠后的面积、边长、对角线长度等。
这些问题需要考生设计折纸方式，并利用数学知识进行求解。
矩形折叠问题考察了考生的空间想象能力、几何思维和数学推理能力。
2. 矩形折叠问题的解题步骤矩形折叠问题的解题步骤一般包括以下几步：（1）明确问题：理解题目描述，明确所求的目标。
（2）分析折叠方式：根据题目要求，分析如何将矩形纸张折叠，确定折叠方式，可以画图帮助理解。
（3）建立模型：将折纸过程进行数学建模，标记各个关键点、线段等，建立相应的几何关系。
（4）求解问题：根据已建立的模型，应用数学知识或者几何关系，求解问题，得到所需的结果。
（5）检查答案：将得到的结果与题目要求进行对照，检查是否满足条件。
3. 矩形折叠问题的例题及解析例题1：将一块长20cm、宽10cm的矩形纸张沿中线对折，然后再折叠形成一个三角形后，求该三角形的面积。
解析：首先，将矩形纸张沿中线对折，得到两个相等的长方形，其长为10cm，宽为20cm/2=10cm。
然后将其中一个长方形按对角线进行折叠，即可形成一个三角形。
由于对折前的长方形和对折后的三角形是全等的，所以该三角形的底边长为10cm，高为10cm，因此三角形的面积为（10cm×10cm）/2=50cm²。
例题2：将一块矩形纸张按照下图所示方式进行折叠，求折叠后形成的矩形的面积。
解析：根据题目给出的折叠图形，我们可以看到折叠后的矩形纸张的高等于原矩形纸张的宽，宽等于原矩形纸张的长减去原矩形纸张的宽。
因此，折叠后形成的矩形的面积为（20cm-10cm）×10cm=100cm²。
矩形折叠中的相关问题
矩形折叠中的相关问题一、角度的计算例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。
例2、将矩形纸片ABCD（图3 -1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图3-2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3-3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（）（A）60°（B）67.5°（C）72°（D）75°二、求折叠出的线段的计算例1、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。
若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。
例2将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．3BD FOD图2图1例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD =2.5，AB =1.5。
按下列步骤折叠：将其对折，使AB 落在AD 上，折痕为AE ，再将⊿ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CF 的长是( ) A .0.5 B .0.75 C .1 D .1.25三、折痕的计算例1、有一矩形纸片，其中宽AB =6cm ，长BC =8cm 。
现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B 点与D 点重合，求折痕EF 的长。
例2、 将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为GF. AB=6，BC=8，求GF 的长四、面积的计算例1、如图5，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在点'C 处，'BC 交AD 于E 。
已知AD =8，AB =4，求⊿BDE 的面积。
AEFDBC G例2、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
折叠问题及综合实践
折叠问题及综合实践1.【2023石家庄十八县大联考12，2】如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF△EC ，垂足为F ，若CD=1，CF=2，则线段AE 的长为（ ） A.25- B.13- C.31 D.212.【2023深圳初三中考适应性考试10，3】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE=2，F 是AB 边上一点，将△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H ，则FH 的长是（ ） A.34 B.310 C.1 D.353.【2023徐汇模拟17】如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处。
已知BF=6cm ，tan△BAF=43，那么折痕AE 的长是________。
4.【2023太康县城郊一模15,3】如图，在矩形ABCD 中，AB=9，AD=34，E 为射线BA 上一点，将△BEC 沿CE 翻折，使点B 落在点F 处，若39=DCF S △，则BE=_______。
5.【2022河南模拟】如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC ，若2=ABC S △，则=ACD S △________。
6.【2022河南学业水平全真模拟五14，3】如图，正方形ABCD中，点E为边BC上一点，点F为边AD上一个动点，连接EF，以EF为对称轴折叠正方形，点C，D的对应点分别为H，G，当点H落到边AB上时，若AB=9，BE=4，则AF的长为_________。
7.【2020河南模拟14，3】如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．8.【2022河南权威预测模拟卷一14，3】如图1，在矩形ABCD中，AD=5，AB=6. 第一步，如图2，在CD边上找一点E，将矩形沿AE折叠，点D落在AB边上点F处；第二步，如图3，在AB上找一点M，将△CMB沿CM折叠，得到△CMN，点N落在AE上，则MN 的长为________。
初中矩形折叠问题教案
初中矩形折叠问题教案教学目标：1. 让学生理解矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 培养学生运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形折叠问题的能力；3. 培养学生逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
教学内容：1. 矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 矩形折叠问题的解决方法；3. 矩形折叠问题在实际应用中的例子。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 利用实物或图片引导学生观察和理解矩形折叠问题的基本概念；2. 提问学生：矩形折叠问题有哪些性质和特点？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解矩形折叠问题的基本性质，如对折后的两部分完全重合，折痕垂直平分对应的边等；2. 引导学生通过观察和动手操作，发现矩形折叠问题的规律和解决方法；3. 讲解矩形折叠问题的解决步骤，如确定全等线段、求出线段长度、设未知数建立方程等。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题，让学生理解矩形折叠问题的解决方法和解题技巧；2. 引导学生通过讨论和思考，探索解题思路和步骤；3. 总结解题规律和关键步骤。
四、练习与拓展（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立解答；2. 引导学生运用矩形折叠问题的解决方法，解决实际问题；3. 引导学生思考矩形折叠问题在实际应用中的意义和价值。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结矩形折叠问题的性质和解决方法；2. 引导学生思考如何将矩形折叠问题应用到实际生活中；3. 鼓励学生提出问题和对矩形折叠问题的进一步研究。
教学评价：1. 学生能理解矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 学生能运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形折叠问题；3. 学生能独立完成练习题，并将矩形折叠问题应用到实际问题中。
2020-2021学年人教版数学八年级下册专题：矩形中的折叠问题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生空间观念，提高几何直观能力，通过矩形折叠问题，深化对平面几何图形的理解和运用；
2.发展学生逻辑推理能力，运用折叠性质分析、解决矩形相关问题，培养严谨的数学思维；
首先，对于矩形折叠性质的理解，部分学生仍然感到困难。在今后的教学中，我需要更加注重直观演示和实际操作，让学生能够更直观地感受折叠过程中几何关系的变化。
其次，在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对问题本身不够了解，或者是对讨论主题不感兴趣。为了提高学生的参与度，我计划在下次的教学中，设计更多有趣、贴近生活的讨论主题，激发学生的兴趣和积极性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调折叠过程中对应角和对应边的关系，以及如何将这些性质应用到实际问题中。对于难点部分，我会通过实际操作和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形折叠相关的实际问题，如如何将矩形纸片折叠成一定体积的盒子。
3.增强学生数学建模素养，将实际问题抽象为数学模型，运用所学知识解决生活中的折叠问题；
4.提高学生数学应用意识，将所学知识运用到实际情境中，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
围绕新教材要求，注重培养学生的学科核心素养，使学生在掌握矩形折叠问题的同时，全面提升数学思维能力、应用能力和创新能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形折叠性质：理解并掌握矩形在折叠过程中，对应角、对应边的关系，以及如何运用这些性质解决相关问题。
-实际应用：将矩形折叠性质应用于解决生活中的实际问题，如包装设计、建筑结构等。
(完整版)初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321FEDCBAGA'C A B D6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想．54132G D‘F C‘DB CA E二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB Ba 2130°B EF AC D本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；GEFD AEF DBC A B C 60cm（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．B'C DA B 231E B'CDB A 21图(1)C'ACBDE12C'ABCDE21GC'A BC DE由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
一道矩形纸片折叠问题的延伸与拓展
助学生启迪思 维，拓宽解题思路 ，提 升学生的数学素养．
关 键 词 ：矩 形 纸 片 ；折 纸 问题 ；轴 对 称 ； 问题 探 源
（ 馓 学课 程标准》要求学生在 观察 、操 作等活动 中获取直 观
Ｚ
ｔ ＡＡ Ｂ Ｈ 中，设 Ｂ ｔ ｔ ＝ ，则 Ａ Ｈ＝２ ｘ ．由勾股 定理 ，可得 １ ＋ ＝ 成为近年来 学业考试 中的热点题型 ，命题趋 势 已由填 空题 、选 Ｒ
（ ） ． 解 得 ＝ ３ ． 所 以 Ｓ ｔ ＝ 删 ＝ （ ） ＝ １ ．
图 １
矩形 折纸题 ．
作者简 介 ：沈岳夫 （ １ ９ ６ ３ 一） ，男，浙 江绍兴人 ，中学高级教 师，主要从 事数 学教 育和数 学解题研 究
３１
兰
案 例 ２ 如 图３ ，折 叠 矩 形 纸 片
一
张正方 形纸片折 出线段 的黄 金分 割点，更加体现 了折纸 活动
ＡＢ Ｃ Ｄ，先 折 出折痕 Ｂ Ｄ，再折叠 ，使
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 。ＡＤ ＝２ ５ ｃ ｎ ｌ ，ＡＢ ＝２ ０ ｃ ａ，
体现数学课堂是再发现、再创造 的过程．这样的 问题 设计将思考
Ｄ Ｅ Ｃ
点 Ｅ、Ｆ分别 是 Ｃ Ｄ和 Ａ Ｂ的 中点．现 将 这 张纸片按 图 １ 所 示方 式折叠 ，求
￣Ｄ Ａ Ｈ 的大 小 及 Ｅ Ｇ 的长 ．
问 题 ５ ： 聪 明 的 你 还 能 折 出 面 积 分 别 为 ｝ 、 ｝ 、 争 、 ｝ 、
１的正方形 吗？请课后去折叠 、去挑战？ 【 说 明】 此题是 由教材 中的原题 演变而来 的，由角度 的折叠
与矩形相关的折叠问题
与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
下面从几个不同的层面展示一下。
例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。
因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。
下面的这个题目就是用这个思路解决的。
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与矩形相关的折叠问题
青岛43中李涛
在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。
折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。
下面从几个不同的层面展示一下。
例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )． (A)60° (B)75° (C)90° (D)95°
分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。
例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。
（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。
问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。
另外，还可以从另一个角度分析。
由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。
这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。
问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。
因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。
下面的这个题目就是用这个思路解决的。
大家可以尝试一下。
例3、已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 坐标为（0,3），∠OAB ＝60°,以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点的坐标.
例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。
（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。
分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF 垂直平分BD ，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。
利用这些条件易证明△EO D ≌△BOF ，则有ED ＝BF ，且E D ∥BF ，首先四边形EBFD 是平行四边形，由于BD 、EF 互相垂直，所以就可说明四边形EBFD 是菱形。
例5、在矩形ABDC 中，把∠A 沿CF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，若AB ＝a ，AC ＝b ，请你计算
b
a
的值。
分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只
是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。
即点E 是对角线的交点。
由矩形的性质可以说明AE＝DE，因为折叠可知Array AC＝CE，因此可得：△CAE是等边三角形，即
∠ACB＝60°，进而在直角△ACB中解决两直角
边的关系为3：１。
总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，
善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！。