三角分解

l
ik
uk j
ai j
min( i , j ) k 1
l
ik
uk j
固定 i : i 1 对 j = i, i+1, …, n 有 aij l ik ukj uij
k 1
lii = 1

uij aij l ik ukj
k 1
i 1
a
i 1
将 i ，j 对换，对 j = i, i+1, …, n 有 一般采用列主元 ii a ji l jk uki l ji u k 1 法增强稳定性。但注意 i 1 b 也必须做相应的 l ji (a ji l jk uki ) / uii b 行交换。 k 1 算法:道立特分解法
得到原方程组的解, 求解方程组计算公式:
yi bi lik yk , i 1,2,, n.
k 1 i 1
xi ( yi uik xk ) uii , i n,,1.
k i 1
n
说明: L和U的存放;计算∑aibi; 运算量n3/3; Doolittle分解法;求解方程组优点. 注： L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为 Crout 分解。 ~~ 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解，即A* LU ，则 保存L,U;对解A不变而仅b变 ~ ~ A U * L * 即是 A 的 Crout 分解。 化的方程组很方便
列主元素高斯消去法相当于先进行一系列行交换后再对 PAX Pb 应用顺序高斯消去法.
定理8(列主元三角分解) 若A为非奇异矩阵, 则存在排列 矩阵P使得 PA LU 其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵. 说明: L, U, Ip的存贮.
§7.4
高斯消去法的变形
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n x1 b1 a x b a22 a2 n 21 , X 2 , b 2 . A 如何简单的实现三 a x 角分解？ bn an 2 ann n1 n
r i n
(3) 交换A的第r行与第ir 行：ari air ,r , (i 1,2,, n)
(4) 计算U的第r行, L的第r列元素 arr urr sr air lir si / urr air / arr， r 1,, n, r n) (i
这时 lir 1 r 1 ari uri ari lrk uki (i r 1,, n, r n) k 1
为了避免用小的数urr 作除数，引进量 r 1 si air lik ukr k 1 当不选主元时， (i r ,, n).
urr sr , lir si / sr
(i r 1,, n).
r i n
当选主元时，取ir 使得 sir max si , 交换A的第r行与 第ir 行, 将sir 调到(r , r )位置，, j )处新元素仍记为lij 和aij , (i 再进行第r步分解计算.
习题 3
~~~ L3 ( I3,i3 L2 I3,i3 )( I3,i3 I 2,i2 L1I 2,i2 I3,i3 )( I3,i3 I 2,i2 I1,i1 ) A L3 L2 L1PA.
~~~ 记L1 L3 L2 L1，则
PA LU .
其中中I k ,ik 为初等置换阵.
于是 Ln 1I n 1,in1 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A A( n ) U . ~ ~ P为排列矩阵 即 P A U , P b b( n ) . ~ L为单位下三角矩阵 下面就n 4考察P .
UA
( 4)
L3 I3,i3 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A
0 l11 l21 ln1 0 l22 ln 2 , 0 lnn 0 0 lnn
Cholesky分解 : 对于j 1,2,, n,
j 1 1 1. l jj (a jj l 2 ) 2 , jk k 1 j 1 2. lij (aij lik l jk )/l jj , (i j 1,, n). k 1
解AX=b的平方根法:…
1 d1 l 1 21 A l ln,n1 1 n1
d2
1 l21 ln1 1 , ln,n1 dn 1
解AX=b的改进平方根法(简介)
. . . . l 21 1 . . . . . . ... . . . . . an1 ... ann l n1 ... 1 ... . . . . . . unn
ai j
min( i , j ) k 1
u11 u22 U 1 u12 u11 1 unn u23 u22 u1n u11 u2 n DU 0 , u22 1
T A LU LDU 0 , A AT U 0 ( DLT ), T 由分解的唯一性， U 0 L.
三、解三对角方程组的追赶法
在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立 三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b b1 c1 x1 d1 a b c2 2 2 x d A , X 2 , b 2 . an1 bn1 cn1 x d n n an bn 代数里面能得到 并且满足 什么结论？ (i) ai 0 (i 2,3,, n), ci 0 (i 1,2,, n 1); (ii) | b1 || c1 |, | bi || ai | | ci | (i 2,3,, n 1), | bn || an | .
x T Ax 0 对任意非 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 零向量 x 都成立。
回顾：对称正定阵的几个重要性质 亦对称正定，且 aii > 0 A1 A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 1 T T 1 y Ax A, a0 存在非零解，即 T(0, A...0)T ) AT x 使得 A x 0 存在 y I0 ,0 ( Ax1 ) x 11 对任意 若不然，则 , ii x A 其中 ... AA I ( A 的特征值 y A1 x。xT A1 x yT AA1 Ay yTkAy 0 i 0 即T A> 0 存在非零解。 第k i R 有 x 位 0 x 对称性显然。对任意 x A 的全部顺序主子式det( Ak ) > 0 x xk 0 Rn T T xk Ak xk x Ax 0 , 其中 。 0 设对应特征值 的非零特征向量 2 n T T x，则de A) x x x x 。 为 因为 0 t( x A i
一、直接三角分解法
Ly b求y 如果实现了三角分解， B Ax Ux y求x
1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，由不需选主元的顺序高斯消去法知
道立特(Doolittle)分解法 ： —— LU 分解的紧凑格式
思 路 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。 反复计算, a11 ... a1n u11 ... u1n 很浪费哦 …… 1
A1 U 1L1P
(i n 1,,1).
二、平方根法
对称正定矩阵
应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性 代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种 对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为 对称正定的线性代数方程组。
设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，则
PA 选主元三角分解算法： A, 整型Ip(n)记录主行, x b.
1. 对r 1,2,, n, r 1 (1) 计算si : air si air lik ukr (i r ,, n). k 1 (2) 选主元：取ir 使得 sir max si ，Ip(r ) ir
i 1
将对称 正定阵 A 做 LU 分解 U= A 对称 记 D1/2 = uij
u11 1 u22 1 u /u ij ii 记为
=
~ DU
unn
1
~T LU
u11 u22
即 A LDL T ~ L LD1 / 2 仍是下三角阵 则
unn
~ ~T A LL
定理 设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵 L R nn
本节主要内容
1、回顾高斯消去法与三角分解的关系 2、三角分解的条件、方法与应用
下面用矩阵描述列主元消去法
L1I1,i1 A(1) A( 2) , L1I1,i1b(1) b( 2) ,, Lk I k ,ik A( k ) A( k 1) , Lk I k ,ik b( k ) b( k 1) .
2、选主元直接三角分解法 当需选主元时，PA=LU. 设第r-1步已完成,就有 u1r u1n u11 u12 u1,r 1 l u22 u2,r 1 u2 r u2 n 21 l lr 1, 2 ur 1,r 1 ur 1,r ur 1,n A r 1,1 lr 2 lr ,r 1 arr arn lr1 ln1 ln 2 ln,r 1 anr ann r 1 及 urr arr lrk ukr . 希望urr为大的数！ k 1
求解Ly=Pb及Ux=y的算法：
2. 对i 1,2,, n 1, (1) t Ip(i ) (2) 如果i t则转(3) bi bt (3) 继续循环 i 1 3. bi bi lik bk k 1
(i 2,3,, n)
n 4. bn bn / unn , bi (bi uik bk ) / uii k i 1
Step 1: u1j = a1j; lj1 = aj1 / u11; ( j = 1, …, n ) Step 2: 计算 a 和 b ，从 i = 2, …, n1; n 1 Step 3: unn ann l nk ukn
k 1
于是，可以通过求解两个三角形方程组
Ly b, Ux y,
定理10(对称矩阵的三角分解) 设A为n阶对称矩阵, 且A 的顺序主子式均不为零，则A可以唯一分解为 A LDLT , 其中L为单位下三角阵，D为对角阵.
对特殊矩阵的矩阵分解法
平方根法 ： ——对称 正定 矩阵的分解法
定义 一个矩阵 A = ( aij )nn 称为对称阵，如果 aij = aji 。
T 使得 A L L 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。
2 注： 对于对称正定阵 A ，从 aii k 1 l ik 可知对任意k i i
有 | lik | aii。即 L 的元素不会增大，误差可控，不 需选主元。
l11 0 l l 21 22 A l n1 ln 2