高三数学等差数列性质应用3
高三数学数列教案5篇
高三数学数列教案5篇高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标:明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式,会解决知道an,a1,d,n中的三个,求另外一个的问题;培养学生观察能力,进一步提高学生推理、归纳能力,培养学生的'应用意识.教学重点: 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点:等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程:Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课 10,8,6,4,2,; 21,21,22,22,23,23,24,24,25 2,2,2,2,2,首先,请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考,努力寻求各数列通项公式,并找出其共同特点) 它们的共同特点是:从第2项起,每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得: (n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加,则可得:an-a1=(n-1)d 即:an=a1+(n-1)d 当n=1时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n∈N-时上述公式都成立,所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得:am=a1+(m-1)d,即:a1=am-(m-1)d,则: an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如:a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A,使a、A、b 成等差数列,那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得:A-a=b-A,即:a=. 反之,若A=,则2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差数列. 总之,A= a,A,b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列,那么a叫做a与b 的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25.思路一:根据等差数列的已知两项,可求出a1和d,然后可得出该数列的通项公式,便可求出a25.思路二:若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三:若注意到在等差数列{an}中,a5,a15,a25也成等差数列,则利用等差中项关系式,便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8,5,2的第20项. 分析:由给出的三项先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,然后求出所要项答案:这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13的项?如果是,是第几项? 分析:要想判断-401是否为这数列的一项,关键要求出通项公式,看是否存在正整数n,可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3,7,11,的'第4项与第10项.(2)求等差数列10,8,6,的第20项. (3)100是不是等差数列2,9,16,的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2.在等差数列{an}中,(1)已知a4=10,a7=19,求a1与d;(2)已知a3=9,a9=3,求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:an-an-1=d(n≥2).其次,要会推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),并掌握其基本应用.最后,还要注意一重要关系式:an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思
人教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、引言等差数列是高中数学中的重要内容,它在数学中的运用十分广泛。
在教学过程中,我们需要注重培养学生的思维能力和解决问题的能力,让他们能够灵活地运用所学知识,提高数学应用能力。
本文将会介绍人教版高三数学必修五《等差数列》的教学反思和教案。
二、教学反思1. 教学目标通过本次授课,我们的教学目标是:•掌握等差数列的概念,理解等差数列的性质和运用;•能够分析等差数列的通项公式和求和公式,灵活掌握运用;•培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
2. 教学内容本次授课的教学内容包括:•等差数列的定义、通项公式和求和公式;•等差数列的性质和运用;•等差中项和等差数列的应用。
3. 教学方法我们采用了多种教学方法,包括:•讲授法:通过精心准备的PPT和示例,向学生讲解等差数列的定义、通项公式和求和公式,并阐述等差数列的性质和运用;•互动式教学法:通过提问、举例和解题过程中的互动讨论,培养学生的思考能力和分析问题的能力;•组织小组讨论:通过小组讨论,让学生自主探索等差数列的应用,培养学生的团队合作精神和创新精神。
4. 教学效果经过本次教学,我们发现学生的数学知识水平有了明显的提高。
在讲解等差数列的性质和运用时,学生能够将数学知识与实际问题结合起来,灵活掌握应用技巧。
在解题过程中,学生能够主动思考和分析问题,掌握解题方法,并能够独立解答一些复杂题目。
三、教案设计1. 教学目标通过本节课的教学,让学生掌握等差数列的相关概念、性质和运用,并能够通过实际问题,灵活运用所学知识,提高数学应用能力。
2. 教学内容和教学步骤:第一步:引入通过实际问题导入,引发学生兴趣,激发学生对等差数列的认识和探索欲望。
第二步:讲授•定义等差数列的概念,并介绍等差数列的通项公式和求和公式。
•阐述等差数列的性质和运用,主要包括公差、项、数列取值等。
•介绍等差中项的概念,引入等差中项的应用。
第三步:练习通过练习巩固所学知识,提高学生的运用能力。
高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
第二节 等差数列2019考纲考题考情1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示,定义表达式为a n -a n -1=d (常数)(n ∈N *,n ≥2)或a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且有A =a +b2。
2.等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =na 1+n (n -1)2d 或S n =n (a 1+a n )2。
3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d 。
(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列。
(7)S 2n -1=(2n -1)a n 。
(8)若n 为偶数,则S 偶-S 奇=nd2;若n 为奇数,则S 奇-S 偶=a 中(中间项)。
1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
高三数学等差等比数列综合运用
1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.
作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列{an},{bn}前 n 项和分别是 Sn、Tn, a1 1 Sn 2n 若 ,则 等于( C ) b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项
和 为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题,是数列的概 念、性质在其他知识领域的穿插与 渗透。数列与函数、方程、三角、 不等式等知识相互联系,优化组合, 无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列; ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题 数列计算是本章的中心内容,利用等差数 列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性 质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内 容.
例如:已知
a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,
∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、 预测 1
等差、等比数列性质及其应用 教学设计 -2022届高三数学二轮专题复习
2、等差(比)数列的判断与证明的基本方法.
思想方法:函数思想,方程思想.
先让学生总结,教师在学生总结的基础上进行再概括,注意思想方法的归纳
对学习过程进行反思,对思想方法进行总结。
(七)教学反思
这节课是针对文科班的二轮复习开展的。由于是文科班,学生基础相对弱一点,可能会存在一些问题,题量相对有点多;课堂有可能会不够活跃。但相对来说,该节课设计是合理的,能达到学生对该知识的掌握,也能提高学生学习和掌握等差(比)数列在考试的应用能力及得分。
(四)、变式探究
变式训练:(学生赏学)
1、记 为等差数列 的前n项和,若 ;
2、若各项均为正数的等比数列 的前4项的和为15,且 求 ;
同类题型训练,学生动手独立完成
1、熟练掌握该题型
2、通过上述两个问题讨论归纳出等差、等比数列中一般性结论
(五)、研考题:典型题分析
题型之二:等差、等比数列的判定与证明
(一)课前自主学习(知识梳理)
(1)通项公式及前n项和公式:
(2)等差、等比数列的性质:
1、学生根据所学内容完成知识梳理;
2、观察学生的已有知识储备。
温故知新,从学生现有知识入手,让学生体会本节课所需要的应用基本公式和性质,为解决掌握本节课的重点知识作准备。
(二)、高考真题重现
1、数列 中 为 的前n项和,若 ,则
【例2】差数列;
(2)求数列 的通项公式。
1、观察学生的完成情况和解题过程存在的问题;
2、学生讨论,合作交流解决该问题。
1、通过该题,让学生掌握等差(比)数列的判断和证明方法;
2、使学生在学习与探究过程中体验科学探究的一般规律.
(六)归纳总结、布置作业
高三数列总复习
高三数学总复习讲义——等差数列1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式:;说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。
3、等差中项的概念:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。
其中4、等差数列的前和的求和公式:。
5、等差数列的性质:(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是,如:,,,,……;,,,,……;(3)在等差数列中,对任意,,,;(4)在等差数列中,若,,,且,则;说明:设数列是等差数列,且公差为,(Ⅰ)若项数为偶数,设共有项,则①奇偶;②;(Ⅱ)若项数为奇数,设共有项,则①偶奇;②。
6、数列最值(1),时,有最大值;,时,有最小值;(2)最值的求法:①若已知,可用二次函数最值的求法();②若已知,则最值时的值()可如下确定或。
练习1.(01天津理,2)设S n是数列{a n}的前n项和,且S n=n2,则{a n}是()A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2.(06全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则()A. B. C. D.3.(02京)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项4.(01全国理)设数列{a n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A.1B.2C.4D.65.(06全国II)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=A. B. C. D.6.(00全国)设{a n}为等差数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列{}的前n项和,求T n。
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇
等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么你对等差数列了解多少呢?这次白话文为您整理了高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇,希望能够给予您一些参考与帮助。
数学等差数列教案篇一【教学目标】一、知识与技能1、掌握等差数列前n项和公式;2、体会等差数列前n项和公式的推导过程;3、会简单运用等差数列前n项和公式。
二、过程与方法1.通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法;2、通过公式的'运用体会方程的思想。
三、情感态度与价值观结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
【教学重点】等差数列前n项和公式的推导和应用。
【教学难点】在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。
【重点、难点解决策略】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。
【教学用具】多媒体软件,电脑【教学过程】一、明确数列前n项和的定义,确定本节课中心任务:本节课我们来学习《等差数列的前n项和》,那么什么叫数列的前n项和呢,对于数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用sn表示,记sn=a1+a2+a3+…+an,如S1 =a1, S7 =a1+a2+a3+……+a7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。
二、问题牵引,探究发现问题1:(播放媒体资料情景引入)印度泰姬陵世界七大奇迹之一。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗?即: S100=1+2+3+······+100=?著名数学家高斯小时候就会算,闻名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢?请同学们思考高斯方法的特点,适合类型和方法本质。
2021届高三数学总复习第一轮——等差数列
等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种,数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,已知等差数列的首项a1,公差d,那么第n项为a n=a1+(n﹣1)d,或者已知第m项为a m,则第n项为a n=a m+(n﹣m)d.三、等差数列的性质(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;(3)m,n∈N+,则a m=a n+(m﹣n)d;(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a s+a t=a p+a q,其中a s,a t,a p,a q是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有a s+a t=2a p;(5)若数列{a n},{b n}均是等差数列,则数列{ma n+kb n}仍为等差数列,其中m,k均为常数.(6)a n,a n﹣1,a n﹣2,…,a2,a1仍为等差数列,公差为﹣d.(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2a n+1=a n+a n+2,2a n=a n﹣m+a n+m,(n≥m+1,n,m∈N+)(8)a m,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1).四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式:①()12nnn a aS+=;②()112nn nS na d-=+.五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题,也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1.下面数列中,是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0…④110,210,310,410,… A .1个 B .2个C .3个D .4个例2.下列数列中不是等差数列的为( ) A.0,0,0,0,0 B.0,1-,2-,3-,4- C.2,3,4,5,6 D.0,1,2,1,0二、等差数列通项公式例1.在等差数列{}n a 中,已知32a =,5815a a +=,则10(a = ) A .64 B .26C .18D .13例2.在等差数列{}n a 中,214a =,55a =,则公差(d = )A .2-B .3-C .2D .3例3.已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则公差等于( ) A .2 B .4 C .6 D .8三、等差数列的性质例1.等差数列{}n a 中,已知21016a a +=,则468(a a a ++= ) A .16 B .20 C .24 D .28例2.等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则91113a a -的值是( )A .14B .15C .16D .17例3.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是( )A .(2,4)B .(,2)-∞C .(2,)+∞D .(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33S a =,且30a ≠,则43(S S = ) A .1B .53C .83D .3例2.等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,36927a a a ++=,则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A .99 B .66C .144D .297例3.设{}n a 是任意等差数列,它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是( )A .23X Z Y +=B .44X Z Y +=C .237X Z Y +=D .86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1.已知等差数列{}n a 中,39a a =,公差0d <,则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是( ). A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=−3,S 5=−10,则a 5=__________,S n 的最小值_______.例3.在各项均为正数的等比数列{a n }中,214a =,且a 4+a 5=6a 3.练习A1.下列说法中正确的是( )A.若a ,b ,c 成等差数列,则222,,a b c 成等差数列B.若a ,b ,c 成等差数列,则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ,b ,c 成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a ,b ,c 成等差数列,则2,2,2a b c 成等差数列2.已知下列各数列,其中为等差数列的个数为( ) 1 4,5,6,7,8,... 2 3,0,-3,0,-6,... 3 0,0,0,0, (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43.已若{}n a 是等差数列,则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是( )A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4.已知数列{}n a 为等差数列,且39a =,53a =,则9a 等于( )A .9-B .6-C .3-D .275.已知等差数列{}n a 中,1232a a a ++=,3456a a a ++=,则91011a a a ++的值为( ) A .18 B .16 C .14 D .126.等差数列{}n a 中,若46101290a a a a +++=,则10141(3a a -= )A .15B .30C .45D .607.等差数列{}n a 中,31a =-,1117a =-,则7a 等于( )A .9-B .8-C .92-D .4-8.在等差数列{}n a 中,公差为12,1359960a a a a +++⋯+=,则246100(a a a a +++⋯+= ) A .60 B .70 C .75 D .859.已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=,则有( )A .3890a a +=B .2900a a +<C .1910a a +>D .4646a =10.已知数列{}n a 为等差数列,且17132a a a π++=,则7tan (a = )A.BC. D.11.已知0a >,0b >,并且1a ,12,1b成等差数列,则9a b +的最小值为( ) A .16 B .9C .5D .412.等差数列{}n a 中,已知21016a a +=,则468(a a a ++= ) A .16 B .20C .24D .2813.在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则10122a a -的值为( ) A .20 B .22C .24D .2814.等差数列{}n a 中,156a a +=,65a =,那么9a 的值是( ) A .7- B .7 C .113-D .11315.已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且1321,,22a a a 成等差数列,则8967a a a a ++等于( )A.1+B.1-C.3+D.3-16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若33S a =,且30a ≠,则43(S S = ) A .1B .53C .83D .317.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若4104a a +=,则13(S = ) A .13 B .14C .26D .5218.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5(S = ) A .5 B .7C .9D .1019.在等差数列{}n a 中,若351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .8 B .13C .16D .2620.在等差数列{}n a 中,若14739a a a ++=,36927a a a ++=,则9(S = ) A .66 B .99C .144D .29721.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若312S =,244a a +=,则6(S = ) A .6 B .12C .15D .1822.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-.则当n S 取最小值时,(n = ) A .6 B .7C .8D .923.数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-,则数列{}n a 各项中最小项是( )A .第4项B .第5项C .第6项D .第7项24.已知数列{}n a 是等差数列,若91130a a +<,10110a a <,且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 得最小正值时,n 等于( ) A .20 B .17 C .19 D .2125.已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和,且564S S S >>,以下有四个命题:①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A .②③B .②③④C .②④D .①③④26.在等差数列{}n a 中,128a =-,公差4d =,若前n 项和n S 取得最小值,则n 的值为( ) A .7 B .8C .7或8D .8或927.数列{}n a 是首项为111a =,公差为2d =-的等差数列,那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A .4 B .5C .6D .7练习B1.设{}n a 为等差数列,则下列数列中,成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数) A .1 B .2C .3D .42.等差数列{}n a 的公差0d >,前n 项和为n S ,则对2n >时有( ) A .1nn S a a n<< B .1nn S a a n <<C .1n n Sa a n<<D .1,,n n Sa a n的大小不确定3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,在同一个坐标系中,()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示,则( )A .当4n =时,n S 取得最大值B .当3n =时,n S 取得最大值C .当4n =时,n S 取得最小值D .当3n =时,n S 取得最小值4.已知数列{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和.若3916S S =,则612(S S = )A .110B .310C .510D .7105.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足100S >,110S <,则下列数值最大的是( )A .4SB .5SC .6SD .7S6.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,若3221n n S n T n -=+,则77(ab = ) A .3727B .3828C .3929D .40307.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为( ) A .10 B .12 C .14 D .168.已知点(n ,*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上,那么在数列n a 中有79(a a += )A .790a a +>B .790a a +<C .790a a +=D .790a a =9.已知等差数列{}n a 满足3243a a =,则{}n a 中一定为零的项是( )A .6aB .8aC .10aD .12a10.在等差数列{}n a 中,15a =,470a a +=,则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A .4 B .5 C .6 D .711.已知数列{}n a 中,132(3n n a a ++= *)n N ∈,且356820a a a a +++=,那么10a 等于( ) A .8 B .5 C .263D .712.若等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,记nn S b n=,则( ) A .数列{}n b 是等差数列,{}n b 的公差也为dB .数列{}n b 是等差数列,{}n b 的公差为2dC .数列{}n n a b +是等差数列,{}n n a b +的公差为dD .数列{}n n a b -是等差数列,{}n n a b -的公差为2d13.等差数列{}n a 中,已知113a =,254a a +=,33n a =,则n 为( )A .48B .49C .50D .5114.若等差数列的首项是24-,且从第10项开始大于零,则公差d 的取值范围是( )A .83d > B .3d < C .833d < D .833d <15.在数列{}n a 中,若1332()n n a a n N +=+∈,且247920a a a a +++=,则10a 为( ) A .5 B .7C .8D .1016.等差数列{}n a 前n 项和为n S ,111a =-,466a a +=-.则当n S 取最小值时,(n = ) A .6 B .7C .8D .917.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,63a =,则48(a a += )A .有最小值6B .有最大值6C .有最大值9D .有最小值318.已知实数序列1a ,2a ,⋯,n a 满足:任何连续3项之和均为负数,且任何4项之和均为正数,则n 的最大值是( ) A .4 B .5C .6D .719.已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和,且564S S S >>,以下有四个命题:①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A .②③B .②③④C .②④D .①③④20.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中,如果21a =,那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A .(-∞,1]-B .[1,)+∞C .[2,)+∞D .[3,)+∞21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ,下列四个命题中,假命题是( )A .公差d 的最大值为2-B .70S <C .记n S 的最大值为K ,K 的最大值为30D .20162017a a >练习C1.已知||0x y >>.将四个数,,x x y x y -+( )A .当0x >时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等比数列B .当0x >时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等差数列C .当0x <时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等比数列D .当0x <时,存在满足已知条件的x ,y ,四个数构成等差数列2.等差数列{}n a 的公差0d >,前n 项和为n S ,则对2n >时有( )A .1nn S a a n<< B .1nn S a a n<<C .1nn S a a n<< D .1,,nn S a a n的大小不确定3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,在同一个坐标系中,()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示,则( )A .当4n =时,n S 取得最大值B .当3n =时,n S 取得最大值C .当4n =时,n S 取得最小值D .当3n =时,n S 取得最小值4.等差数列,的前项和分别为,,若,则 A . B .C .D .5.在等差数列中,,其前项和为,若,则 A . B .C .2008D .20096.设为等差数列,则下列数列中,成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数) A .1 B .2 C .3 D .47.设表示等差数列的前项和,已知,那么等于 A .B .C .D .8.等差数列中,,,则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A .B .C .D .9.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为A .22B .21C .20D .1910.设等差数列的公差为,前项和为.若,则的最小值为 A .10 B .C .D .二.填空题(共2小题) 11.在等差数列中,,若它的前项和有最大值,则使取得最小正数的 19 .12.已知两个等差数列、的前项和分别为和,若,则使为整数的正整数的个数是 5个 .课后练习1.等差数列中,若,则 .2.设等差数列的前项和为,若,,则 0 ,的最小值为 .3.等差数列中,,,则取最大值时, 6或7 .4.已知等差数列的前项和为,能够说明“若数列是递减数列,则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 (答案不唯一) .5.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差等于 .6.若等差数列满足,则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二.解答题(共3小题)7.在等差数列中,已知,,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求.8.设等差数列满足,. (1)求的通项公式;(2)求的前项和及使得最大的序号的值.9.已知为等差数列,,. ( I ) 求数列的通项公式以及前项和. (Ⅱ)求使得的最小正整数的值.{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。
专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
则a4a5a6=5 2.
3.在正项等比数列{an}中,lg a3+lg a6+lg a9= 6,则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)=12x,数列{bn}满足条件 b1=2,f(bn +1)=f(-31-bn),(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式; ②设 cn=bann,求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a=λb,所以12Sn=2n-1,
Sn=2n+1-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2) =2n,
1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=ak+(n-k)d(n,k∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q(m,n,p, q∈N*),则 am+an=ap+aq. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 an,an+m,an+ 2m,…(n,m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an.
≤49,
∴ak(k∈M)组成首项为211,公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211(11--4445)=2101-32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,向量 a=(Sn,
1),b=2n-1,12,满足条件 a=λb,λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式;
②cn=bann=3n2-n 1,
Tn=221+252+283+…+32nn--14+3n2-n 1
①
12Tn=222+253+284+…+3n2-n 4+32nn-+11
高三数学数列知识点总结归纳
高三数学数列知识点总结归纳数列作为数学中的重要概念,在高中数学中占据着重要的地位。
掌握数列的相关知识点是高三学生成功应对数学考试的关键。
本文将对高三数学数列知识点进行总结归纳,帮助同学们更好地理解和应用数列知识。
一、等差数列等差数列是高中数学中最常见的数列类型之一。
等差数列的特点是,数列中每两个相邻的数之间的差都相等,这个差被称为公差。
1.通项公式等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n个数,a1表示首项,d表示公差。
2.前n项和公式等差数列的前n项和公式为:Sn = [n/2] * (a1 + an),其中Sn表示前n项和,[]表示取整函数。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型。
等比数列的特点是,数列中每两个相邻的数之间的比值都相等,这个比值被称为公比。
1.通项公式等比数列的通项公式为:an = a1 * r^(n-1),其中an表示第n个数,a1表示首项,r表示公比。
2.前n项和公式等比数列的前n项和公式为:Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),其中Sn表示前n项和。
三、数列的性质与判断除了上述常见的等差数列和等比数列,数列还有一些重要的性质,学生们需要掌握如下内容:1.递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来求得下一项的公式。
对于等差数列和等比数列而言,递推公式分别为an = an-1 + d和an = an-1 * r。
2.数列的有界性数列的有界性是指数列中的数是否有上界或下界。
有界数列是指存在上界或下界的数列,无界数列是指没有上界或下界的数列。
3.数列的单调性数列的单调性是指数列中的数的排列顺序是否单调递增或单调递减。
如果数列中的数依次递增,则称该数列是递增数列;如果数列中的数依次递减,则称该数列是递减数列。
四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用,以下是其中一些常见的应用场景:1.复利问题等比数列可应用于复利问题中,比如银行存款利息的计算等。
等差等比数列的性质及应用
12. 已知等比数列 满足 ,且 ,则当 时, ______. 13.设等差数列的前项和为,若≤≤,≤≤,则的取值范围是 . 14.数列是等差数列,,,则的最小值为____. 15.在数1和正实数a之间插入n个正实数,使得这n+2个数构成等比数 列,将这n+2个数的乘积记作bn,且an=logabn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)等差数列中,前4项和为25,后4项和为63,前n项和为286,项数 n=______26 (3)等比数列中,.则或 (4)已知是递增等比数列,,则此数列的公比 .2 (5)在等比数列中,则5 例2、已知等差数列的首项,公差,且第2项、第5项、第14项分别是等比 数列的第2项、第3项、第4项 (1)求数列、的通项公式 (2)设数列对,均有成立,求 ,和为 例3、“小综合应用” (1)设数列的前项和为,令,称为数列的“理想数”.已知的“理想 数”为1002,那么数列的“理想数”为( ) A.1005 B.1003 C.1002 999 (2)已知数列 是公比为 的等比数列,集合 ,从 中选出4个不同的数,使这4个数成等比数列,这样得到4个数的不同的等 比数列共有 ____.24 (3)设是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若, 且,则中数字0的个数为 .11 [巩固练习] 班级_________ 姓名______________ 1.等比数列{an}的公比q=2,a1+a2+a3=21,则a3+a4+a5等 于 ( )
1、等和性:首尾等距相加,则和 1、等积性:首尾等距相 相等 乘,则积相等 主 若则 若则 要 推论:若则 推论:若则 性 2、也成等差数列 2、当时,也成等比数列 质 3、等差数列前项和的最值问题 3、奇数项同号,偶数项同号 公差时有最大值; 时有最小值 2、两种数列有时可以相互转化: (1)若数列为等差数列,,且,则为等比数列 (2)若数列为正项等比数列,,且,则为等差数列 [典型例题] 例1、“基本量运算” (1)等差数列中:,则=________104
高三数学一轮复习等差等比数列讲义
等差等比数列【知识梳理】一、通项公式等差数列:,为首项,为公差.等比数列:11-⋅=n n q a a ,为首项,为公比.二、前项和公式 等差数列:或 等比数列:当1≠q 时, qq a S n n --=1)1(1 或 q q a a S n n --=11当1=q 时,1na S n =三、差比数列的判定方法1.定义法:(,是常数)是等差数列;q a a nn =+1(,是常数){}n a 是等比数列.2.中项法:()是等差数列;221++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列.四、差比数列的常用性质等差数列:若,则; 等比数列:若,则q p n m a a a a ⋅=⋅.课中讲解一、等差等比数列的判定 典型例题1. 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).求()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()21na a S n n +=()d n n na S n 211-+=d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m证:数列{b n}是等差数列。
2.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是等差数列。
3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n,均有a n+1=5a n-2·3n,且a1=8,证明:数列{a n-3n}为等比数列。
4. 已知S n是数列{a n}的前n项和,且满足S n-2a n=n-4,证明:{S n-n+2}为等比数列。
高三数学数列的综合应用知识精讲
高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题,数列与其他数学知识的综合问题,数列在实际问题中的应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题,主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子(方程或不等式等)。
2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中,应该注意思维的角度和解题途径的选择,从“数列是特殊的函数”的角度出发,运用运动变化的观点,将问题变形转换,要分清所给问题中的数列是哪种类型,与其他数学知识的关系如何,以达到解决问题的目的。
3. 用数列解决实际应用性问题,主要有增长率问题,存贷款的利息问题,几何模型中的问题等等。
要把实际应用题转化为某种数列的模型,要分清是等差数列还是等比数列,还是有递推关系的数列,分清所涉及的量是数列中的项n a ,还是各项和n S ,有时还要注意数清项数,以使问题准确解决。
【解题方法指导】例1. (2005年全国卷三)在等差数列}{n a 中,公差d ≠0,2a 是1a 与4a 的等比中项,已知数列 ,,,,,,n k k k a a a a a 2131成等比数列,求数列}{n k 的通项n k 。
解题思路分析:这是一道等差数列与等比数列的综合问题,只需依题设条件,按已知的公式列式即可。
解:依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=,)3()(1121d a a d a +=+∴,整理得d a d 12= 10a d d =∴≠, ,得nd a n =所以,由已知得 ,,,,,,d k d k d k d d n 213是等比数列 由d ≠0,所以数列1,3,21k k ,,…,n k ,…也是等比数列 首项为1,公比为q=3,由此得91=k等比数列{n k }的首项91=k ,公比q=3,所以)21(33911 ,,==⨯=+-n k n n n即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+例2. (2005年上海卷)假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解题思路分析:这是一道实际应用题,依题意,先分析出中低价房面积逐年增长后,每年的面积数成等差数列,首项为250(万平方米),公差为50(万平方米);而每年新建住房面积逐年增长后,每年的面积数成等比数列,首项是400(万平方米),公比为(1+8%),然后再依据题中条件列式,而第(1)问中,指的是中低价房的累计面积,所以应为数列的前n 项和;而第(2)问中,指的是该年建造的住房面积,应为数列的第n 项。
等差数列性质及应用
1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *). (2)等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d (其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项).3.等差数列及前n 项和的性质(1)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b2.(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列. (5)S 2n -1=(2n -1)a n .(6)若n 为偶数,则S 偶-S 奇=nd2;若n 为奇数,则S 奇-S 偶=a 中(中间项). 4.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列∈S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). 5.等差数列的前n 项和的最值高三数学学案第11期课题: 等差数列性质及应用第11课时第四部分 数列在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.高频考点一 等差数列基本量的运算例1、(1)(2012·天津卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99C.98D.97(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________.解得⎩⎪⎨⎪⎧A =1,B =-1,即S n =n 2-n ,则S 6=36-6=30.答案 (1)C (2)30【方法规律】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.【变式探究】 (2019年天津一中高三数学第一次质量检测)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10等于( ) A.172 B.192C.10D.12解析 由S 8=4S 4,得8a 1+8×72×1=4×⎝⎛⎭⎫4a 1+4×32×1,解得a 1=12,∈a 10=a 1+9d =192,故选B. 答案 B高频考点二 等差数列的判定与证明例2、已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数.所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 【感悟提升】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.【变式探究】(1)若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是( ) A .公差为3的等差数列 B .公差为4的等差数列 C .公差为6的等差数列D .公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 (1)C (2)A1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n.高频考点三 等差数列的性质及应用例2、(1)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.(2)∈S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20, ∈S 30-30=10+2×10=30,∈S 30=60.(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法:∈函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. ∈邻项变号法:a .当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ;b .当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( )A.13B.12C.11D.10(2)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.(2)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10. 答案 (1)A (2)10高频考点四 等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A.5 B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N +),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________.S n 取得最大值.(2)由a n =2n -10(n ∈N +)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∈n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∈|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+100=130. 答案 (1)C (2)130【方法规律】求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.【变式探究】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=911,则当S n 取最大值时,n 的值为( )A.9B.10C.11D.12解析 由a 6a 5=911,得S 11=S 9,即a 10+a 11=0,根据首项a 1>0可推知这个数列递减,从而a 10>0,a 11<0,故n =10时,S n 最大. 答案 B1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 ( ) (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C.2【2016高考浙江理数】如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且,,().若( )A .是等差数列B .是等差数列C .是等差数列D .是等差数列 【答案】A{}n a 108a =100a =1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N P Q P Q ≠表示点与不重合1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则{}n S 2{}n S {}n d 2{}n d3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______.. 【答案】6【解析】∈是等差数列,∈,,,, ∈,故填:6.4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是 . 【答案】【解析】由得,因此5.【2015高考重庆,理2】在等差数列中,若=4,=2,则= ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得,选B .6.【2015高考福建,理8】若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于( )A .6B .7C .8D .9 【答案】D{}n a n S n 16a =350a a +=6=S {}n a 35420a a a +==40a =4136a a d -==-2d =-616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-={}n a {S }n 21253,S =10a a +=-9a 20.510S =32a =2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯={}n a 2a 4a 6a 64222240a a a =-=⨯-=,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +7.【2013高考天津,理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若,则 B .若,则 C .若,则 D .若,则 【答案】C【解析】先分析四个答案支,A 举一反例,而,A 错误,B 举同样反例,,而,B 错误,下面针对C 进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则C.8.【2015高考新课标2,理16】设是数列的前n 项和,且,,则________. 【答案】 【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.9.【2015高考广东,理10】在等差数列中,若,则{}n a 120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->1232,1,4a a a ==-=-120a a +>230+<a a 1232,1,4a a a ==-=-130a a +<120+>a a {}n a 120a a <<10,a >d 0d >22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a ad d a ad d =++--=>2113a a a >1a ⇒>n S {}n a 11a =-11n n n a S S ++=n S =1n-111n n n n n a S S S S +++=-=⋅1n n S S +⋅1111n nS S +=--1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-1-11(1)n S n n =---=-1n S n=-{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a += .【答案】10.10.(2014·天津卷)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列.又a1+1,a3+3,a5+5构为公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5为常数列,故q =1.。
人教版高三数学必修五《等差数列》评课稿
人教版高三数学必修五《等差数列》评课稿一、教材内涵及重点难点分析1. 教材内涵《等差数列》是高中数学必修五教材中的重要章节之一,主要包括等差数列的定义、性质、通项公式、求和公式以及等差数列应用等内容。
2. 重点内容•等差数列的定义:解释等差数列的概念,理解首项、公差和项数的意义。
•等差数列的性质:掌握等差数列的常见性质,如公差的相等性、前后项差值的相等性等。
•等差数列的通项公式:掌握推导等差数列通项公式的方法,能够灵活运用通项公式求解相关问题。
•等差数列的求和公式:了解等差数列求和公式的推导过程,掌握求和公式的应用方法。
•等差数列的应用:应用等差数列解决实际问题,如找规律、推导公式、计算累计人数等。
3. 难点分析•掌握等差数列通项公式的推导方法;•灵活运用等差数列求和公式;•结合实际问题求解等差数列的应用题。
二、教学目标和要求1. 教学目标•理解等差数列的概念,能够应用等差数列的相关术语;•掌握等差数列通项公式的推导过程,能够灵活运用通项公式求解问题;•掌握等差数列求和公式的应用方法,能够计算等差数列的累加和;•能够结合实际问题运用等差数列解决相应的应用题。
2. 教学要求•学生能够准确理解等差数列的概念和相关术语;•学生具备基本的代数运算能力,能够进行简单的方程和不等式的变形;•学生能够运用等差数列的相关公式解决基本的数学问题;•学生具备一定的应用问题分析和解决能力。
三、教学内容和教学步骤1. 教学内容•等差数列的定义和性质;•等差数列的通项公式;•等差数列的求和公式;•等差数列的应用。
2. 教学步骤步骤一:导入与引导•介绍等差数列的定义,引导学生理解等差数列的概念;•解释等差数列的相关术语,如首项、公差、项数等;•提出一个关于等差数列的问题,激发学生思考和讨论。
步骤二:讲解和示范•通过示例,讲解等差数列的性质,如公差的相等性、前后项差值的相等性等;•推导等差数列通项公式的过程,引导学生理解通项公式的含义和应用方法;•演示运用通项公式求解等差数列相关问题的步骤。
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a2 a5 42, 求公差d .
1 an 21 例2。设是等差数列, bn ( ) , 又b1 b2 b3 , 2 8 1 b1b2 b3 , 求等差数列的通项 an 8
a n 的首项a1 3, 例5。已知数列
通项a n 与前n项和S n 之间满足2a n S n S n 1 (n 2). 1 ( 1 )求证 : 是等差n数列; Sn (2)求数列a n 的通项公式。
作业:
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什么啊?这不是说去就马上能去了的事情!这边咱们这饭店怎么处理?那边盘店铺是否顺利?还有,要联手做这个丝绸生意一共需要投 入多少银子?怎么经营?这都得好好考虑啊!”李老乡赞许地点点头,笑着说:“我就说这侄女儿是女中豪杰嘛!小侄子,你姐姐说得 对,咱们联手做这个丝绸生意,真还有很多事情需要好好地商量着考虑呢!”说着话吃完了饭。耿直帮着姐姐收拾饭桌,将盘碟碗筷等 端到厨房洗刷去了。耿正和李老乡继续商谈这事儿。一会儿,耿直送来一壶热茶,俩人一边喝茶一边聊。一直聊到双方都认为在所有方 方面面的问题中,凡是该商谈考虑的都已经商谈考虑到了,耿正这才说:“咱们联手做这个丝绸生意我基本上是同意的,只是在做最后 的决定之前,我还得和妹妹好好商量一番呢!这样吧,我先送您去后面歇息。这饭店后面是个小院儿,我们就住在那里。挺宽敞的,能 住得下!”李老乡说:“你们忙,我还是去客栈住吧!再说还有骡子呢,那里有草料伺候。”李老乡一边说着话,一边从衣袋里拿出几 个大铜板放在饭桌上。耿正见了赶快伸手去拦,说:“李叔叔您这是做什么啊!”李老乡笑着说:“这只是我点的饭钱,必须要留的! 至于你们三个敬叔叔的酒和请叔叔吃的菜,叔叔就全都承受了啊!”见李老乡如此诚恳,耿正也就不再说什么了。而李老乡看到耿正不 再夸张客气地推辞饭钱,就看出来他确实不是一个虚情假意的年青人,心里也就更踏实了许多。他略微沉吟一下,轻轻地说:“我理解, 改行去和我一起做丝绸生意,这对于你们来说是一件大事情,你和妹妹一定要好好商量一下!不过,我希望你们能早点儿做出决定,因 为今儿个‘正大百货铺’掌柜的说了,他们最近还要一车丝绸,我已经和他说好了,下月初就给他们送来。如果你们愿意去杭州,到时 候,咱们就一起乘坐我的这挂骡车去。咱说干就干!我这次尽快赶回去以后,也好早点儿看看,有没有人在好一些的地段儿上转让适合 的店面,并且还得再做一些其他的准备!”看李老乡如此说,耿正心里已经基本上有底了。他肯定地点点头说:“李叔叔您放心,赶明 儿个上午您再过来,我们一定会给您一个确定的答复!”李老乡高兴地说:“好,那我这就去客栈了!对了,这附近有客栈吗?”耿正 说:“有啊,就这条街上,往东往西都有客栈,条件都挺不错。”李老乡说:“那我就继续往西走吧,顺便转转,以前没有来过这条街 呢!”耿正说:“我弟弟妹妹都在厨房忙活呢,不便出来送您了!”看到已经有个把早到的客人进饭店来了,李老乡抱歉地说:“哎呀, 光顾了说话,这倒耽误你们的生意了!我走了,你也别出来,快招呼客人去吧!”说着,硬是推着耿正不让他出饭店门来送他。耿正也 不再客气,赶快进厨房去换
例3。已知等差数列 5, 8, 11 , 与等差数列 1, 5, 9, 均有300项,求同时在这两个数 列 中出现的项数。
3x 例4。已知函数f ( x) , 数列x n 的通项由 x3 x n f ( x n 1 )(n 2且n N )确定. 1 ( 1 )求证: ; 是等差数列 xn 1 (2)当x1 时, 求x100 2