黑龙江省双鸭山一中高三数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版

黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（解
析版）
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、直线圆的位置关系，数列等； 【题文】一、选择题
【题文】1．全集R U =,，则U C A （ ）
A. [0,)+∞
B.(,0)-∞
C. (0,)+∞
D.(,0]-∞ 【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】B A={x 0}x ≥，则U C A ={x 0}x <故选B. 【思路点拨】先求出集合A 再求U C A 。

【题文】2．已知复数z 满足2014
)1(i z i =-(其中i 为虚数单位），虚部为
（ ）
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【思路点拨】利用i =1，复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【题文】3．已知等差数列{}n a ，若4569a a a ++=，则 9=S
（ ）
A. 24
B. 27 C . 15 D. 54 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2
【题文】4 ）
A.
954 B. 954- C . 97 D.9
7
- 【知识点】二倍角公式C6 【答案解析】C =-)23
cos(
x π
cos(2x-
3
π)=1-2
2sin ()6x π-=79故选C 。

【思路点拨】根据二倍角公式求解
【题文】5．若1>x a 的解集为}0|{<x x 且函数)1(log x
x y a +=的最大值为-1，则实数a 的值为 A. 2 B .
21 C. 3 D. 4
1
（ ） 【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7 【答案解析】B ：∵a x
＞1的解集为{x|x ＜0}，∴0＜a ＜1，
∵y= log a (x+
1x )的最大值为-1，x+1x ≥2，∴a -1
=2，∴a=12
，故选：B ． 【思路点拨】先确定0＜a ＜1，再利用y= log a (x+1
x
)的最
大值为-1，x+1
x
≥2，即可求出实数a 的值．
其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则 此多面体的表面积是（ ）2cm
A. 25
B. 21232+
C. 15
D. 325+
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】B 由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC ⊥底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形．在等腰三角形ABC 中，CD ⊥AB ，CD=4，AB=6，∴AC=BC= 2234+=5． ∵PC ⊥底面ABC ，∴PC ⊥AC ，PC ⊥BC ，PC ⊥CD ． ∴S 表面积=2×
12×5×4+12×6×4+1
2
×6×42=32+122． 故答案为B ．
【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，
侧棱PC=4且PC ⊥底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形．据此即可计算出答案． 【题文】7若函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为23-=x y ，则函数
)()(2x f x x g +=的图像在点))1(,1(g 处的切线方程为 （ ）
A . 035=--y x
B . 035=+-y x
C . 035=+-y x D. 035=--y x
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】A 由函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y=3x-2，得
f′（1）=3，f （1）=1．又函数g （x ）=x 2
+f （x ），∴g′（x ）=2x+f′（x ），
则g′（1）=2×1+f′（1）=2+3=5．g （1）=12
+f （1）=1+1=2．
∴函数g （x ）=x 2
+f （x ）的图象在点（1，g （1））处的切线方程为y-2=5（x-1）． 即5x-y-3=0．故答案为：A ．
【思路点拨】由函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y=3x-2，可得f′（1）=3，f （1）=1，求出函数g （x ）的导函数，再求出g （1）和g′（1），则由直线方程
的点斜式可求函数g （x ）=x 2
+f （x ）的图象在点（1，g （1）） 处的切线方程． 【题文】8．已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为偶函数，则ϕ的一个取值为（ ）
D. π 【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4
A.z y x << B .z x y << C .y x z << D. y z x << 【知识点】指数对数B6 B7
【思路点拨】分别利用对数函数的单调性和指数函数的单调性比较大小即可．
【题文】10．定义在R 上的函数)(x f 是增函数，且对任意的x 恒有)2()(x f x f --=，若
实数b a , 满足不等式组⎩⎨⎧≥≤-++-3
)8()236(22a b b f a a f ，则22b a +的范围为
（ ）
A. ]27,13[ B . ]45,25[ C .]45,13[ D. ]49,13[
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】C ∵f （x ）=-f （2-x ），∴-f （x ）=f （2-x ），
∴f （a 2-6a+23）+f （b 2-8b ）≤0可化为f （a 2-6a+23）≤-f （b 2-8b ）=f （2-b 2
+8b ），
又∵f （x ）在R 上单调递增，∴a 2-6a+23≤2-b 2
+8b ，
即a 2-6a+23+b 2-8b-2≤0，配方可得（a-3）2+（b-4）2
≤4，
∴原不等式组可化为⎩⎨⎧≥≤-++-3
)8()236(22a b b f a a f ，
如图，点（a ，b ）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界），
易知a 2+b 2
表示点（a ，b ）到点（0，0）的距离的平方，
由图易知：|OA|2≤a 2+b 2≤|OB|2
，可得点A （3，2），B （3，6）
∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62
=45，
∴13≤m 2+n 2≤45，即m 2+n 2
的取值范围为[13，45]．故选：C 【思路点拨】由函数的性质可化原不等式组为
⎩⎨
⎧≥≤-++-3
0)8()236(22a b b f a a f ，a 2+b 2
表示点（a ，b ）到点（0，0）的距离的平方，数相结合可得答案．
【题文】11．三棱锥ABC P -的四个顶点均在半径为2的球面上，且32===CA BC AB , 平 面⊥PAB 平面ABC ，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为 （ ） A. 4 B. 3 C. 34 D. 23 【知识点】棱柱与棱锥G7
【答案解析】B 根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=23， △ABC 为截面为大圆上三角形，设圆形为O ，AB 的中点为N ，ON═223-=1 ∵平面PAB ⊥平面ABC ，
∴三棱锥P-ABC 的体积的最大值时，PN ⊥AB ，PN ⊥平面ABC ，PB=2
21-=3，
∴三棱锥P-ABC 的体积的最大值为
13
×34×（23）2
×3=3，故选：B
【思路点拨】运用题意判断出三棱锥P-ABC 的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积
的值．
【题文】12．在ABC ∆中，,5
1
cos ,6,5=
==A AC AB O 是ABC ∆的内心，若OP xOB yOC =+u u u r u u u r u u u r
,其中]1,0[,∈y x ，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为
（ ） A.
3610 B . 3
6
14 C . 34 D. 26 【知识点】单元综合F4
【答案解析】B 根据向量加法的平行四边形法则，得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平
行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2
-2bccosA ，代
入数据，解得BC=7，
四边形，其面积为△BOC 面积的2倍．
第II 卷（非选择题，共90分） 【题文】二、填空题
【题文】13．已知两点(-1,0),(1,3)A B ，向量(21,2)a k =-r ，若||AB a u u u r r
，则实数k 的值
为
【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【思路点拨】求出AB 向量，然后利用向量的平行，求出k 的值即可． 【题文】14．已知等差数列{}n a 的前n 项和是用由此可类比得到各项均为正的等比数列}{n b 的前n 项积=n T （n b b n ,,1表示） 【知识点】等比数列等差数列D2 D3
【答案解析】2
1()n n b b 在等差数列{a n }的前n 求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{b n }的前n 项积T n =2
1()n n b b 故答案为：2
1()n n b b ．
【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．
【题文】15．若直线10x y -+=与圆2
2
()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是
【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4
【答案解析】[-3，1] ≤
化简得|a+1|≤2，故有-2≤a+1≤2，求得-3≤a≤1，故答案为：[-3，1]． 【思路点拨】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即 01
22
a -+≤，解绝
对值不等式求得实数a 取值范围．
【题文】16．已知函数x x x x f cos sin )(+=，给出如命题： ①)(x f 是偶函数；②)(x f 在]23,0[π上单调递减，在]2,2
3(ππ
上单调递增； ③函数)(x f 在]2
3,23[π
π-
上有3个零点；④当0≥x 时，1)(2+≤x x f 恒成立； 其中正确的命题序号是
【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】①④ 对于①，显然定义域为R ，f （-x ）=-xsin （-x ）+cos （-x ）=xsinx+cosx=f （x ）．所以函数为偶函数，所以①为真命题；
对于②，f′（x ）=sinx+xcosx-sinx=xcosx ，当x ∈[0，
2π
]时，f′（x ）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；对于③，令f （x ）=0，所以1x =-tanx ，做出y=1
x
及y=-tanx 在
[-32π，32π]上的图象可知，它们在[-32π，32π]上只有两个交点，所以原函数在[-32π，32
π]有两个零点，故③为假命题；对于④，要使当x≥0时，f （x ）≤x 2
+1恒成立，只需当x≥0时，f （x ）-x 2
-1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx-x 2
-1≤0恒成立，而y′=xcosx -2x=（cosx-2）x 显然小于等于0恒成立，所以该函数在[0，+∞）上递减，因此x=0时y max =0+cos0-1=0，
故当x≥0时，f （x ）≤x 2
+1恒成立，故④为真命题．故答案为①④．
【思路点拨】①利用偶函数的定义判断；
②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；
③研究极值、端点处的函数值的符号；
④转化为f （x ）-（x 2
+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可．
【题文】三、解答题
【题文】17．已知集合{|(-1)(x -2a -3)},A x x <0=函数2x-(2)
lg 2a y a x
+=-的定义域为
集合B.
(1) 若a=1,求集合R A C B ⋂；
(2) 已知a>-1,且""x A ∈是""x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

【知识点】集合及其运算A1
【思路点拨】（1）求解集合A ．B 根据集合的基本运算即可得到结论．
（2）求出集合A ，B ，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论 【题文】18．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若.1,1411=+-=+a S a n n （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设,n n na b =求数列}{n b 的前n 项和n T . 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3
（1）求角A 的大小; （2
.
【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）
π
（2）（1，2]． 【题文】20．已知圆C 的半径为2，
圆心在x 轴正半轴上，直线3440x y -+=与圆C 相切. （1）求圆C 的方程；
（2）过点(0,3)-的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，且12123
x x y y +=时，求三角形AOB 的面积.
【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4
所以圆C 的方程为：（x-2）2+y 2
=4．
（II ）依题意：设直线l 的方程为：y=kx-3，由22
3(2)4
y kx x y =-⎧⎨
-+=⎩得（1+k 2）x 2
-（4+6k ）x+9=0，
∵l 与圆C 相交于不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴△=（4+6k 2
）-4（1+k 2
）×9＞0，且x 1+x 2=
2461k k ++，x 1x 2=
2
9
1k +， ∴y 1y 2=(kx 1-3)(kx 2-3)=k 2
•x 1x 2-3k(x 1x 2)+9=2
9
1k +-2212181k k k +++9，
又∵x 1x 2+y 1y 2=3，∴2291k k ++2291k k +-2
2
12181k k k
+++9=3， 整理得：k 2
+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．∴直线l 的方程为：y=x-3． 圆心C 到l 的距离d=
232
-=
22
，在△ABC 中，∵|AB|=2•2
122-=14，
原点O 到直线l 的距离，即△AOB 底边AB 边上的高h=
32
=32
2，
∴S △A O B =
12|AB|•h=1
2
•14•322=372
【思路点拨】（I ）设圆心为C （a ，0），（a ＞0），可得圆C 的方程的方程．再根据圆心到直线的距离等于半径求得a 的值，可得圆C 的方程．
（II ）依题意：设直线l 的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系
求得x 1+x 2=
2461k k ++，x 1x 2=2
9
1k
+，再由x 1x 2+y 1y 2=3，求得k 的值，可得∴直线l 的方程．求得圆心C 到l 的距离d 、以及|AB|的值，再由S △A O B =1
2
|AB|•h，计算求得结果．
【题文】21.在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ,CD AB ||,在锐角PAD ∆中
PD PA =,并且 82==AD BD ,542==DC AB
（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ；
（2）若PA 与平面PBD 成角ο60，当面⊥MBD 面
ABCD 时，求点M 到平面ABCD 的距离.
【知识点】空间向量及运算G9
【答案解析】（1）略（2）3
法一（1）∵BD=2AD=8，AB=45，由勾股定理得BD ⊥AD ，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，BD ⊆面ABCD ， ∴BD ⊥平面PADBD ⊆面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD
（2）如图，∵BD ⊥平面PAD ，∴平面PBD ⊥平面PAD ，∴∠APD=60°， 做PF ⊥AD 于F ，∴PF ⊥面ABCD ，PF=25，
设面PFC∩面MBD=MN ，面MBD ⊥平面ABCD ∴面PF ∥面MBD ，∴PF ∥MN ， 取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面ABCD 边长得N 为FC 中点， ∴MN=
1
2
PF=3 法二（1）同一
（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，DA ，DB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，
设平面PBD 法向量为u r
=(x ，y ，z)，设P （2，0，a ），
锐角△PAD ∴a ＞2，
由u r •DP u u u r =0，u r •DB u u u r
=0，
解得u r =(-a ，0，2)，PA u u u r
=(2，0，-a)，
|cos ＜PA u u u r ，u r ＞|=244a
a +=32，解得a=23或a=233＜2（舍）
设PM u u u u r
=λPC uuu r ，解得M(2-4λ，4λ，23-23λ)
∵面MBD ⊥平面ABCD ，AD ⊥BD ，∴面MBD 法向量为DA u u u r =(0，0，4)，∴DA u u u r •DM u u u u r
=0，
解得λ=
1
2
，∴M 到平面ABD 的距离为竖坐标3． 【思路点拨】法一：（1）通过证明平面MBD 内的直线BD ，垂直平面PAD 内的两条相交直线，证明直线与平面垂直然后证明两个平面垂直．
（2）PA 与平面PBD 成角60°，面MBD ⊥平面ABCD 时，做PF ⊥AD 于F ，PF ∥MN ，然后求点M 到平面ABCD 的距离． 法二：（1）同法一；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可． 【题文】22.已知函数x ax x f 22
1)(2
+=
，x x g ln )(=. （1）如果函数)(x f y =在),1[+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；
（2）是否存在实数0>a ，使得方程
'()
()(21)g x f x a x =-+在区间),1(e e
内有且只
有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【知识点】导数的应用B12
11。