函数及其图像典型例题

函数及其图像典型例题
例1、已知点()p x y ,的坐标满足方程x y ++-=120，则点p 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
分析：这道题首先考察了平面内点的坐标，在各象限内的横纵坐标的特点，其次是绝对值，算术平方根，互为相反数的性质与概念的理解。

由x y ++-=120，
可知：x y =-=12,，所以点()p x y ,，在第二象限，应选（B ）。

例2、已知点M m -
⎛⎝ ⎫
⎭
⎪123,关于原点对称的点在第一象限，那么m 的取值范围是 ；
分析：这道题考查对称点的特点，关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，与点M
关于原点对称的点在第一象限，说明点M 在第三象限，则30m <,，即m <0
例3、求函数自变量的取值范围 （1）函数y x
x =--532
自变量x 的取值范围是 ；
（2）函数y x x =
++-25自变量x 的取值范围是 ；
分析：由解析式给出的函数表达式，自变量x 的取值范围应使解析式有意义，即二次根式的被开方式要大于等于零，分式的分母不能等于零，等。

解：（1） 50
320
2
3
5-≥->⎧⎨
⎩∴
<<x x x
（2） x x x +≥-≥⎧⎨
⎩∴-≤≤2050
25
例4、平行四边形相邻的两边长是x y ,，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是 。

解：平行四边形对边相等，所以周长为2230x y +=，得到x y +=15，则y 关于x 的函数关系式为：()y x x =-+<<15015
例5、已知，如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE =AF ，AB =4，设三角形AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象。

简解： ABCD AB AD B D 是正方形,,∴=∠=∠=∠Rt
x FC EC CD BC DF BE ADF ABE AF AE ==∴==∆≅∆∴=,,,, 且 BE DF x ==-4
则正方形S S S S AEF ABE CEF ∆∆∆∆=--2
即()y x x =-⨯
⨯⨯--162124412
2
整理合并为：y x x =-+12
42
，因为E 点在BC 上，F 是CD 上的点，当E 与C 点
重合时三角形AEF 不存在，所以x 的取值范围是()04<≤x （图象略）
例6、已知：y －1与x 成正比例，当x =2时，y =9那么y 与x 之间的函数关系是 。

分析：该题考查了正比例函数的概念及反待定系数法，因为y －1与x 成正比例，所以
y kx -=1，当x =2时，y =9,所以可求出k =4，y 与x 之间的函数关系是y x =+41
例7、函数y x k 1=-与()y k
x
k 20=≠的图象在同一坐标系内（如图）
，其中正确的是 。

解：当时k >0时，y k
x
2=
的图象应在第一、三象限，y x k 1=-直线和y 轴的交点在x 轴的下方，直线从右上方到左下方，图A 是正确的，应选A ，其余均不对。

例8、下面是一组考查二次函数性质的题目
（1）二次函数，y ax bx c =++2
的图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A ． a bc >>00,
B ．a bc <>00,
C ．a bc ><00,
D ．a bc <<00,
（2）若二次函数y x ax =-+21的图象与x 轴无交点则图象可为
（3）二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则点p a c b ,⎛⎝
⎫⎭
⎪在 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解：这一组考查二次函数图象及其性质包括顶点坐标和对称轴的题目，要求考生要熟练掌握： （1）图象开口方向向下，所以a <0，图象交y 轴的正半轴的所以c >0，又对称轴在y 轴的左侧∴=-
x b
a
2，应小于零，（或顶点坐标在第二象限）∴<∴>b bc 00,根据分析可知：a bc <>00,应选B 。

（2）由二次函数y x ax =-+21，可知抛物线开口方向向上，与x 轴交点(,)01，所以应选B
（3）要判断P a c b ,⎛⎝
⎫⎭
⎪的位置，可根据抛物线开口方向向下，得a <0，对称轴在y 轴的右侧，说明x b
a
=-
>20 即b >0时，抛物线成y 轴交点在x 轴的上方，所以c >0. 则c b >0，点P a c b
<>⎛⎝ ⎫
⎭⎪00,说明点P 在第二象限，应选∶
说明：要求考生一定要熟练地掌握一次函数，正比例函数，反比例函数及二次函数的概念，如系数不等于零及x 的次数的要求，都应十分清楚，熟练、准确、利用方程，方程组，不等式组等知识没有错误，以及对图象的认识，直线的方向，与y 轴交点位置及特点。

二次函数的内容较多，如用配方法去求顶点坐标，对称轴方程，对抛物线的位置的认识，对称轴位置a 与a b c ,,的符号的相关性，顶点的位置与a b c ,,的关系等，都是重要的考点，应引起足够重视。

例9、已知：抛物线y x x =++14325
4
2与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的右侧，顶点为C 。

求：（1）点A 、B 和C 的坐标
（2）直线AC 的解析式 解： （1）()()
()y x bx x x x =++=++-+=+-14514699514
31222
()()∴--+-==-=-C x x x 点坐标为令解得3114
310152
12,,,
因为点A 在点B 的右侧，所以A 、B 两点坐标分别为（－1，0）
B （5，0）
（2）设直线AC 的解析式为y kx b =+
() 点在直线上A C (,),
,,---1031
∴-+=-+=-⎧⎨
⎩==⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪k b k b k b 0
31
1212解得
∴=
+直线的解析式是AC y x 1212
例10、在直角坐标系XOY 中，已知直线l 经过点(4,0)，且与x 轴，y 轴围成的直角三角形的面积等于8，如果一个二次函数的图象经过直线L 与两条坐标轴的交点，以x =3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求出它的最大值。

分析：这道题属于考查待定系数法确定二次函数的解析式，但是求二次函数的三个条件就不够清晰，只有对称轴x =3，还需寻求另两个点，即直线l 与两坐标轴的交点，这样又需求出直线的解析式，而直线y kx b =+只需两个条件，确定k b ,，经过点(4,0)以及和x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于8。

解：设直线l 的解析式为y kx b =+，与x 轴交点为A （4，0）与y 轴交点B （0，m ），依题意得：
1
2
4844⋅⨯=∴=∴=±m m m ,
设二次函数的解析式为：y ax bx c =++2,当图象过A （4，0）、B （0，4）且以x =3
为对称轴时有-=++==⎧⎨⎪⎪
⎩
⎪⎪b
a a
b
c c 2316404
解这个方程组得a b c =
=-=1234,,，所求二次函数的解析式为y x x =-+1
2
342，因为a =
>1
2
0，抛物线开口方向向上，不符合题意舍去。

当图象经过A （4，0）、B （0，－4），且以x =3为对称轴时有-=++==-⎧⎨⎪⎪
⎩
⎪⎪b a a b c c 2316404
解这个方程组得a b c =-
==-1
2
34,,，所以二次函数解析式为y x x a =-
+-=-12341
22,，抛物线开口向下，符合题意，所以所求二次函数解析式为y x x y =-+-=123412
2,最大值。

例11、已知抛物线y x x k =-++242与x 轴有两个不同的交点，
（1）求k 的取值范围
（2）当两个交点的横坐标的平方和等于10，求这个抛物线的解析式：
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，它与x 轴的两个交点从左至右依次为A 、B ，与轴的交点为P ，
求：三角形PMB 的内切圆与外接圆半径之比。

分析：这道题是代数几何的综合题，不但要求考生对二次函数的性质要熟练掌握，而且还要求明确二次函数与二次方程的关系，同时对几何的三角形内切圆与外接圆的有关概念及计算要熟练应用。

解：
（1） 抛物线y x x k =-++2
42与x 轴有两个不同的交点
∴()∆=-+><164202k k ,即
（2）设两个交点的坐标分别为()()x x 1200,,
由已知得：x x x x k x x 12121222
412
210
3+=⋅=++=⎧⎨⎪
⎩⎪()()()
由（3）得：()x x x x 12
212210+-⋅=
由（1）（2）得：()162210
1-+=∴=k k
当k =1时，抛物线为：()y x x x =-+=--22
4321
（3） 抛物线()y x =--212
顶点M 坐标为()21,- 抛物线与y 轴交点P 的坐标为（0，3）
抛物线与x 轴交点A 、B 的坐标分别为（1，0），（3，0）
MB PB 2221820+=+= PM 220=
∴+=∴∠MB PB PM PBM PMB 222∆是以为直角的直角三角形
PM =∴25
∆PBM 的外接圆半径为5
Rt ∆PMB 的内切圆半径=
32225
2
225+-=-
∴内切圆半径与外接圆半径的比为：
2255
2105
5-=
-。