用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

用有限覆盖定理证明实数完备性的

几个定理(总8页)

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第一章前言

众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极

限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度

来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上

, 极限理论就有了坚实的基础.

我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性

, 也可从实数系的完备

性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.

数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一, 更是高等师范学校

数学教育专业最主要的基础课程

. 在数学分析教材中, 实数集的确界定理、单调

有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础

. 这六个基本定理是相互等价的, 也就

是说可以相互循环论证. 在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完

备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理

, 然后用前一个

定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充

要性证明了公理（作为练习题）

. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点

, 利用

反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.

下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容, 为后面的证明做铺垫.

定义

]

2[设S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,（即H 的每一个元素都是

形如),(的开区间）, 若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内, 则称H 为S 的一个开覆盖, 或称H 覆盖S . 若H 中开区间的个数是无限（有限）的

, 则称

H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）

.

定理

]

2[（有限覆盖定理）设H 为闭区间],[b a 的一个（无限）开覆盖, 则从

H 中可选出有限个开区间来覆盖

],[b a .

第二章有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理

用有限覆盖定理证明确界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下:

定义

]

2[有非空的数集E , 如果存在

, 有下列性质:

（1）对任意E x , 有x

;

（2）对任意0, 总存在某个数E x 0

, 有

0x , 则称是数集E 的上确

界, 认为:

E sup .

定义]2[非空的数集E , 如果存在, 有下列性质:

（1）对任意E x , 有

x ;

（2）对任意0, 总存在某个数E x 0, 有0

x , 则称是数集E 的下

确界, 认为:

E inf .

定理

]

2[（确界定理）任何非空集R E , 若它有上界, 则必有上确界

R E

sup （等价地若有下界, 必有下确界）.

证明设

E x

R E

,有M x

. 任取一点E x 0

, 考虑闭区间],[0M x ,

假若E 无上确界（最小上界）, 那么

),[0M x x

:

i) 当x 为E 的上界时, 必有更小的上界x x 1

, 因而x 有一开领域

x

, 其中

皆为E 的上界;

ii) 当x 不是E 的上界时, 自然有E 中的点x x 2

, 于是x 有开领域

x

, 其

中每点皆不是E 的上界.

],[0M x 上每点都找出一个领域x

, 它要么属于第一类（每点为上界）

, 要么

属于第二类（每点皆不是上界）

, 这些领域]},[:{

0M x x x

, 组成闭区间]

,[0M x 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,1

…n

,

}, 注意, M 所在的

开区间, 应为第一类的, 相邻接的开区间

x

有公共点, 也应为第一类的, 经过有限

次邻接. 可知0x 所在的开区间也是第一类, 这便得出矛盾. 从而得证非空集R E ,

若它有上界, 则必有上确界.

同理可证非空集R E

, 若它有下界, 则必有下确界.

用有限覆盖定理证明单调有界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理, 首先给出单调有界的定义和

定理如下:

定义

]

2[若数列}{n a 的各项满足关系式

1

n

n

a a )(1n n a a ,

则称}{n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列

.

定理

]

2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限

.

证明不妨设],[}{b a x n 为单调有界数列, 若对],[b a x

, x 都不是}{n x 的极限, 则,00

对

,N N

有,|

|0x x n

则在)2

;

(0

x U 内仅含有}{n x 的有限项,

令]},[|)2

;({b a x

x U H

, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理

知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2

,(),2

,(2

21

1x U x U …)2

,

(,n

n x U 是它的

一个子覆盖, 即

],[)2

;

(1

b a x U i

i n

i , 而,2,1)(2

,

(i

x U i

i

…),n 只含有限个点, 从而

它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这与],[b a 是无限点集矛盾, 从而得证任何有界的单调数列一定有极限

.

用有限覆盖定理证明区间套定理

本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理, 首先给出区间套的定义和定理

如下:

定义

]

2[若闭区间列]},{[n n b a 具有下列性质:

（1）],[],[11n n n n b a b a ,n=1,2,3…;

（2）0

)

(lim n n

n

a b 则称这个闭区间列]},{[n n b a 为闭区间套, 或称区间套.