高一数学 2.1函数(第一课时) 大纲人教版必修

第二章函数一函数§2.1 函数
●课时安排
2课时
从容说课
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸，本节中，在学习集合的基础上，用集合对应的语言对函数重新加以定义，从根本上揭示了函数的本质：由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，从而使学生认识到初中变量观点F定义的限制和重新认识函数的必要性。

本节通过训练求不同函数的定义域，使学生认识到函数的定义域的重要性，通过对抽象符号f(x)[即x在法则f下对应f(x)]的理解和使用，使学生认识到符号f(x)本身就是三要素构成的整体，通过判断两个函数是否相同，进一步体现三要素整体的作用，本节中映射的学习，是对函数的推广，也是为了帮助学生进一步深刻理解函数的定义。

第一课时
●课题
§2.1.1 函数（一）
●教学目标
(一)教学知识点
1.函数的概念.
2.区间、无穷大的概念、记号.
3.函数的定义域.
(二)能力训练要求
1.使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素.
2.使学生能够正确使用“区间”“无穷大”等记号.
3.使学生学会求某些函数的定义域.
(三)德育渗透目标
使学生理解静与动的辩证关系.
●教学重点
1.函数的概念.
2.函数定义域的求法.
●教学难点
函数概念的理解.
●教学方法
讲授法.
概念的教学是非常重要的，尤其是学生刚接触一种新的概念，教师给学生讲清楚，并通过师生的共同讨论，帮助学生深刻理解变得更为重要，要在学生的思想上，知识结构中打上深刻的烙印，否则后面的学习将会产生困难.
●教具准备
幻灯片四张
第一张：课本P46问题一、问题二(记作§2.1.1 A)
第二张：课本P46图2—1(记作§2.1.1 B)
第三张：课本P48上方的表格(记作§2.1.1 C)
第四张：本课时教案后面的预习内容及提纲(记作§2.1.1 D)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.
设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.
［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
（打出幻灯片§2.1.1A)
［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们先看两个非空集合A 、B 的元素之间的一些对应关系的例子.
（打出幻灯片§2.1.1B ） 为简明起见，这里的A 、B 都是有限集合.
在图2—1（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A 中的每一个数n ，集合B 中都有一个数2n 和它对应.
在图2—1（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A 中的每一个数m ，集合B 中都
有一个平方数m 2和它对应.
在图2—1（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A 中的每一个数x ，集合B 中都有一个数x
1和它对应. 请同学们观察图2—1中的3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？
［生］一对一、二对一、一对一.
［师］这3个对应的共同特点是什么呢？
[生甲]对于集合A 中的任意一个数,按照某种对应关系.集合B 中都有惟一的数和它对应.
［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的.这是不能忽略的.实际上，函数就是从自变量x 的集合到函数值y 的集合的一种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
记作：y =f (x )，x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y [或f (x )]值叫做函数值，函数值的集合{y |y =f (x ),x ∈A }叫函数的值域.
一次函数f (x )=ax +b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有一个数f (x )=ax +b (a ≠0)和它对应.
反比例函数f (x )=
x
k (k ≠0)的定义域是A ={x |x ≠0}，值域是B ={f (x )|f (x )≠0}，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有一个实数f (x )=x k (k ≠0)和它对应. 二次函数f (x )=ax 2
+bx +c （a ≠0）的定义域是R ,值域是当a ＞0时B ={f (x )|f (x )≥a b ac 442-}；当a ＜0时，B ={f (x )|f (x )≤a
b a
c 442
-}，它使得R 中的任意一个数x 与B 中的数f (x )=ax 2
+bx +c (a ≠0)对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题. y =1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数. y =x 与y =x
x 2
不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y =x 的定义域是R ，而y =x x 2的定义域是{x |x ≠0}.所以y =x 与y =x
x 2
不是同一个函数. ［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
②符号“f ：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.
④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.
⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.
［师］在研究函数时，除用符号f (x ）表示函数外，还常用g (x ) 、F （x )、G （x )等符号来表示
［师］研究函数常用到区间的概念.
设a ,b 是两个实数，且a ＜b ，我们规定．．
： （打出幻灯片§2.1.1C)
实数值R 也可以用区间表示为（-∞,+∞）,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x ≥a ,x ＞a ,x ≤b ,x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ,+∞],(a ,+∞),(-∞,b ],(-∞,b ).
Ⅲ.例题分析
［例1］求下列函数的定义域.
(1)f (x )=2
1-x (2)f (x )=23+x
(3)f (x )=x
x -++211 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y =f (x )，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.
解：(1)x －2≠0，即x ≠2时，2
1-x 有意义， ∴这个函数的定义域是{x ｜x ≠2}
(2)3x ＋2≥0,即x ≥－
32时23+x 有意义,∴函数y ＝23+x 的定义域是[－32，＋∞)
(3)⎩
⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+210201x x x x ∴这个函数的定义域是{x ｜x ≥－1}∩{x ｜x ≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；
(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f （x ）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m ，长是宽的2倍，其面积为y ＝2x 2，此函数定义域为x ＞0而
不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.
［师］自变量x 在定义域中任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a )来表示.
例如，函数f (x )=x 2+3x +1,当x =2时的函数值是f (2)=22+3·2+1=11
Ⅳ.课堂练习
课本P 51练习 1，2，4
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）
Ⅵ.课后作业
（一）课本P 51，习题2.1 1，2，6，7.
（二）1.预习内容：课本P 49例2、例3及映射的概念
2.预习提纲：
（1）怎样求函数式的值？
（2）怎样判定两个函数是否相同？
（3）映射的概念是怎样的？
（4）映射有几个要素？各是什么？
（5）象与原象的概念？
（6）函数与映射之间有哪些异同点？
●板书设计。