2015年上海市中考数学试卷-含答案详解

2015年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，是有理数的为( )
A. √2
B. √4
3 C. π D. 0
2. 当a>0时，下列关于幂的运算正确的是( )
A. a0=1
B. a−1=−a
C. (−a)2=−a2
D. a12=1
a2
3. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A. y=x2
B. y=2
x C. y=x
2
D. y=x+1
2
4. 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )
A. 平均数
B. 众数
C. 方差
D. 频率
6. 如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )
A. AD=BD
B. OD=CD
C. ∠CAD=∠CBD
D. ∠OCA=∠OCB
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 计算：|−2|+2=______．
8. 方程√3x−2=2的解是______．
9. 如果分式2x
x+3
有意义，那么x的取值范围是______．
10. 如果关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，那么m的取值范围是______．
11. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y=9
5
x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉.
12. 如果将抛物线y =x 2+2x −1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是______．
13. 某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是______． 14. 已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示： 年龄(岁) 11 12 13 14 15
人数 5 5 16 15 12
那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是______岁．
15. 如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向
量DE
⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗ ，n ⃗ 表示为______．
16. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE =AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD =______度．
17. 在矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于______.(只需写出一个符合要求的数)
18. 已知在△ABC 中，
AB =AC =8，∠BAC =30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：x 2x 2+4x+4÷x x+2−x−1x+2，其中x =√2−1．
20. (本小题10.0分)
解不等式组：{4x >2x −6x−13
≤x+19，并把解集在数轴上表示出来．
21. (本小题10.0分)
x的图象经过点A，点A的纵坐标为已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=4
3
4，反比例函数y=m
的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点
x
B作BC//x轴，交y轴于点C，且AC=AB.求：
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)直线AB的表达式．
22. (本小题10.0分)
如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN 的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：√3≈1.7)
23. (本小题12.0分)
已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)如果OE⊥CD，求证：BD⋅CE=CD⋅DE．
24. (本小题12.0分)
已知在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y=ax2−4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2√5，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)用含m的代数式表示线段CO的长；
(3)当tan∠ODC=3
时，求∠PAD的正弦值．
2
25. (本小题14.0分)
已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD//AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F(点F与点C，D不重合)，AB=20，cos∠AOC=4
，设OP=x，△CPF的面积为y．
5
(1)求证：AP=OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
【解答】
解：√2是无理数，A不正确；
3是无理数，B不正确；
√4
π是无理数，C不正确；
0是有理数，D正确；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．
分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．
【解答】
解：A、a0=1(a>0)，正确；
B、a−1=1
，故此选项错误；
a
C、(−a)2=a2，故此选项错误；
D、a12=√a(a>0)，故此选项错误．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】
根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．
本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
【解答】
解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；
B、y是x的反比例函数，故B选项错误；
C、y是x的正比例函数，故C选项正确；
D、y是x的一次函数，故D选项错误；
故选：C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．
【解答】
解：这个多边形的边数是360÷72=5，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．
本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．
【解答】
解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选C．
6.【答案】B
【解析】
利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
【解答】
解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
当DO=CD，
则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，
故四边形OACB为菱形．
故选：B．
7.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．
先计算|−2|，再加上2即可．
【解答】
解：原式=2+2=4．
故答案为4．
8.【答案】x=2
【解析】
【分析】
此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．(2)注意：用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程√3x−2=2的解是多少即可．
【解答】
解：∵√3x−2=2，
∴3x−2=4，
当x=2时，
左边=√3×2−2=2，
右边=2，
∵左边=右边，
∴方程√3x−2=2的解是：x=2．
故答案为：x=2．
9.【答案】x≠−3
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【解答】
解：由题意得，x+3≠0，
即x≠−3，
故答案为：x≠−3．
10.【答案】m<−4
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：
当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0，方程没有实数根．
根据关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，得出Δ=16−4×1×(−m)<0，从而求出m的取值范围．
【解答】
解：∵一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，
∴Δ=16−4×1×(−m)<0，
解得m<−4，
故答案为m<−4．
11.【答案】77
【解析】
【分析】
本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．
把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
【解答】
解：当x=25时，
×25+32=77，
y=9
5
故答案为：77．
12.【答案】y=x2+2x+3
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
设平移后的抛物线表达式为y=x2+2x−1+b，把点A的坐标代入即可得到b的值，从而得到抛物线表达式．
【解答】
解：设平移后的抛物线表达式为y=x2+2x−1+b，
把A(0,3)代入，得3=−1+b，
解得b=4，
则该函数表达式为y=x2+2x+3．
故答案是：y=x2+2x+3．
13.【答案】7
50
【解析】
【分析】
由每位学生被抽到的可能性均等，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，
∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：750
．
故答案为：750． 14.【答案】14
【解析】
【分析】
本题考查中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列，第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．
【解答】
解：一共有5+5+16+15+12=53个数据，
故中位数为从小到大(或从大到小)排序后的第27个数据，
从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，
所以这个小组成员年龄的中位数是14．
故答案为14．
15.【答案】12n ⃗ −12m ⃗⃗
【解析】
【分析】
由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，利用三角形法则求解即可求得BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，可得DE 是△ABC 的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案． 此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．
【解答】
解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，
∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗ ，
∵在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，
∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(n ⃗ −m ⃗⃗ )=12n ⃗ −12m ⃗⃗ ． 故答案为：12n ⃗ −12m ⃗⃗ ．
16.【答案】22.5
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，即可求出∠FAD．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．【解答】
解：如图，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
{AD=AE
AF=AF
∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠FAD=22.5°．
故答案为：22.5．
17.【答案】14(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．
首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8<R<18，再由点B在⊙D内，则13<R<18，在此范围内找到一个值即可．
【解答】
解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴根据勾股定理可得AC=BD=13，
∵点A在⊙B上，
∴⊙B的半径为5，
∵如果⊙D与⊙B相交，
∴⊙D的半径R满足8<R<18，
∵点B在⊙D内，
∴R>13，
∴13<R<18，
∴14符合要求，
故答案为：14(答案不唯一)．
18.【答案】4√3−4
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．作出合适的辅助线，构造直角三角形是关键．
(180°−
作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=1
2
∠BAC)=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性
AC=4，质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=1
2
AH=√3CH=4√3，所以DH=AD−AH=8−4√3，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH= CH=4，于是可得DE=EH−DH=4√3−4．
【解答】
解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB=AC=8，∠BAC=30°，
∴∠B=∠ACB=1
2(180°−∠BAC)
=1
2
(180°−30°)=75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°−30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=1
2
AC=4，AH=√3CH=4√3，
∴DH=AD−AH=8−4√3，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH−DH=4−(8−4√3)=4√3−4．
故答案为4√3−4．
19.【答案】解：原式=x2
(x+2)2⋅x+2
x
−x−1
x+2
=
x
x+2−
x−1
x+2
=1
x+2
，
当x=√2−1时，原式=
√2−1+2
=√2−1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】解：{4x>2x−6①x−1
3
≤x+1
9
②
，
∵解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为−3<x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
【解析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，应用大于取右边，小于取左边，有等取实心，无等取空心的规律表示即可．
21.【答案】解：(1)∵正比例函数y =43x 的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，
令y =4，则4=43x ，解得x =3，
∴点A 的坐标为(3,4)，
∵反比例函数y =m x 的图象经过点A ，
∴m =3×4=12，
∴反比例函数的解析式为：y =12x
； (2)如图，连接AC 、AB ，作AD ⊥BC 于D ，
∵AC =AB ，AD ⊥BC ，
∴BC =2CD =6，
又第一象限内的点B 在这个反比例函数y =
12x
的图象上， x =6时，y =2，
∴点B 的坐标为：(6,2)，
设直线AB 的表达式为：y =kx +b ，
由题意得{3k +b =46k +b =2
，
解得{k=−2
3
b=6
，
∴直线AB的表达式为：y=−2
3
x+6．
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，考查了等腰三角形的性质应用．
(1)根据正比例函数y=4
3
x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数
y=m
x
的图象经过点A，求出m的值，即可得解析式；
(2)根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式．22.【答案】解：(1)如图，连接PA．
由题意知，AP=39m．
在Rt△APH中，
PH=√AP2−AH2=√392−152=36(米)，
答：此时汽车与点H的距离为36米；
(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH=AH
tan30°
=15√3(米)．
在Rt△CDQ中，DQ=
CQ
sin30∘
=391
2
=78(米)．
则PQ=PH+HQ=PH+DQ−DH
=36+78−15√3≈114−15×1.7=88.5≈89(米)．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
(1)连接PA，在Rt△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，
然后结合图形得到：PQ=PH+DQ−DH，把相关线段的长度代入求值即可．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠OEB+∠OED=∠BED=90°，
∴DE⊥BE．
(2)∵OE⊥CD，DE⊥BE，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OE=OB，
∴∠DBE=∠CEO，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠CED，
∴△BDE∽△DCE，
∴BD DC =DE
CE
，
∴BD⋅CE=CD⋅DE．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和180°，等角的余角相等，熟记定理是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质得到OB=OD，由等量代换推出OE=OB=OD，根据三角形等边对等角，转化成两对角相等，进而在△BED中根据三角形内角和180°，推出∠OEB+∠OED=∠BED=90°，即可得结论；
(2)根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，从而∠DBE=∠CDE，又∠BED=∠CED，推出△BDE∽△DCE，即可得到结论．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是(0,−4)，
∴OB=4，
∵AB=2√5，
∴OA=√AB2−OB2=2，
∴点A的坐标为(−2,0)，
把(−2,0)代入y=ax2−4，得0=4a−4，
解得：a=1，
则抛物线的解析式是：y=x2−4；
(2)∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为(m,m2−4)，
∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，
∴P在第一象限，m>0，且m2−4>0，即m>2，
方法一：
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴OE=m，PE=m2−4，
∴AE=2+m，
∵OC//EP，
∵OC PE =AO
AE
，
∴OC m2−4=2
2+m
，
∴CO=2m−4；方法二：
∵点P在抛物线上，∴P(m,m2−4)，设直线PA的表达式为：y=kx+b，
∴{−2k+b=0
mk+b=m2−4，即{k=m−2
b=2m−4，
∴直线PA的表达式为y=(m−2)x+2m−4，x=0时，y=2m−4，
∴CO=2m−4；
(3)方法一：
∵tan∠ODC=3
2
，
∴OC OD =3
2
，
∴OD=2
3OC=2
3
×(2m−4)=4m−8
3
，
∵OB//PE，
∴△ODB∽△EDP，
∴OD ED =OB
EP
，
又B(0,−4)，即OB=4，
ED=OE−OD=m−4m−8
3=8−m
3
，
∴4m−8
3
8−m
3
=4
m2−4
，
∴m1=−1(舍)，m2=3，m3=0(舍)，经检验m=3是原方程的根，
∴OC=2×3−4=2，
∵OA=2，
∴OA=OC，
∴∠PAD=45°，
∴sin∠PAD=sin45°=√2
2
．
方法二：
∵P(m,m2−4)，B(0,−4)，
设直线PB的表达式为y=k2x+b2，
则{mk 2+b 2=m 2−4b 2=−4
，解得{k 2=m b 2=−4, ∴直线PB 的表达式为y =mx −4，
令y =0，则mx −4=0，解得x =4m ，
∴D(4m ,0)，则OD =4m ，
∵tan ∠ODC =32，
∴OC OD =32，OC =32OD =32×4m =6m
， 由(2)知OC =2m −4，且m >2，
∴2m −4=6m ，
经整理：m 2−2m −3=0，
∴m 1=−1(舍去)，m 2=3，
经检验m =3是原方程的根，
∴P(3,5)，
∴直线PA 的表达式为y =x +2，
∴C(0,2)，OC =2，OA =2，
△OAC 为等腰直角三角形，
∴∠PAD =45°，
∴sin ∠PAD =√22．
【解析】本题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．
(1)根据已知条件先求出OB 的长，再根据勾股定理得出OA =2，求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入y =ax 2−4，求出a 的值，从而求出解析式；
(2)由题得P 的坐标为(m,m 2−4)，由线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，可得m >2，
方法一：过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，得出OE =m ，PE =m 2−4，从而求出AE =2+m ，再根据△AOC∽△AEP ，可得OC PE =AO AE ，代值即可求出OC ； 方法二：根据A 、P 坐标利用待定系数法求出直线AP 的表达式，令x =0，求得y 值，即为OC ；
(3)方法一：根据tan ∠ODC =32，得出OC OD =32，由(2)的结论OC =2m −4，表示出OD ，再根据△
ODB∽△EDP ，得出OD ED =OB
EP ，求出符合条件的m ，则OC 可得，即可求出∠PAD =45°，从而求出∠PAD 的正弦值． 方法二：由P 、B 坐标利用待定系数法求出直线PB 的表达式，令y =0，求得x 的值，即为OD ，根据tan ∠ODC =32，得出OC OD =3
2
，建立关于m 的方程，即可解得符合条件的m ，则OC 可得，发现△OAC 为等腰直角三角形，故可得∠PAD 的正弦值．
25.【答案】解：(1)连接OD ，
∵CD//AB ，∴∠C =∠COA ，
∵半圆中OC =OD ，∴∠C =∠D ， ∴∠COA =∠D ，
在△AOP 和△ODQ 中，
{AO =OD
∠AOC =∠ODQ OP =DQ
, ∴△AOP≌△ODQ(SAS)，
∴AP =OQ ；
(2)作PH ⊥OA 于H ，
∵cos∠AOC =45，∴OH =45PO =4
5x ，
Rt △OPH 中，根据勾股定理可得
PH =√PO 2−OH 2=√x 2−(45x)2=35x ，
∴S △AOP =12AO ⋅PH =12×10×35x =3x ，
又∵CD//AO ，△PFC∽△PAO ， ∴y S △AOP =(CP PO )2=(10−x x )2， 整理得：y =
3x 2−60x+300x ． 过点O 作OM ⊥CD 于M ，
∵CD//AB ，∴∠C =∠AOC ，
∵cos∠AOC =45，∴cos∠C =45，
即Rt △COM 中，
CM CO =45， ∴CM =45OC =45×10=8，
由垂径定理可得CD =2CM =16．
∵AP 延长线与CD 相交于点F ，
∴CF <CD =16，
由△CPF∽△OPA ，得
CP x =CF AO ，即CF =10(10−x)x ， ∴10(10−x)
x <16，解得x >5013，
∴y =3x 2−60x+300x
，定义域为：5013<x <10； (3)当∠POE =90°时，
CD =16，CQ =OC cos∠QCO =25
2，
PO =DQ =CD −CQ =7
2<5013(舍)； 当∠OPE =90°时，PO =AO ⋅cos∠COA =8；
当∠OEP =90°时，如图，
由(1)知△AOP≌△ODQ ，
∴∠APO =∠OQD ，
∵CD//AB ，
∴∠AOQ =∠OQD =∠APO ，
∵∠AOQ <90°，∠APO >90°(矛盾)，
∴此种情况不存在，
∴综上，线段OP 的长为8．
【解析】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．
(1)连接OD ，通过证得△AOP≌△ODQ ，即可证得AP =OQ ；
(2)作PH ⊥OA ，根据cos∠AOC =45得到OH =45PO =45x ，从而得到S △AOP =12
AO ⋅PH =3x ，利用△PFC∽△PAO 及面积比为相似比的平方得到函数解析式，根据垂径定理结合已知求得CD =16，再由CF <CD =16求得定义域；
(3)分当∠POE =90°时、当∠OPE =90°时，当∠OEP =90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．。