江苏省盐城2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

江苏省盐城2020年中考数学试卷
一、选择题（共8题；共16分）
1.2020的相反数是（）
A. 2020
B. ﹣2020
C. 1
2020D. −1
2020
【答案】B
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2020的相反数是：﹣2020.
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，据此判断即可.
2.下列图形中，属于中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的概念即图形旋转180°后与原图重合即可求解.
3.下列运算正确的是（）
A. 2a−a=2
B. a3⋅a2=a6
C. a3÷a=a2
D. (2a2)3=6a5【答案】C
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，积的乘方【解析】【解答】A. 2a−a=a，故错误；
B. a3⋅a2=a5，故错误；
C. a3÷a=a2，正确；
D. (2a2)3=8a6，故错误；
故答案为：C.
【分析】根据整式的加减与幂的运算法则即可判断.
4.实数a,b在数轴上表示的位置如图所示，则（）
A. a>0
B. a>b
C. a<b
D. |a|<|b|
【答案】C
【考点】实数大小的比较
【解析】【解答】由图可得a<0<b，|b|<|a|
故答案为：C.
【分析】由实数的数轴表示和大小比较及绝对值的几何意义结合本题实数a,b在数轴上表示的位置可知：a<0,b>0,b>a,|a|<|b|，从而可以判断.
5.如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如选项A所示，
故答案为：A.
【分析】俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解.
6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米，将数据400000用科学记数法表示应为（）
A. 0.4×106
B. 4×109
C. 40×104
D. 4×105
【答案】 D
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：由题意可知，将400000用科学记数法表示为：400000=4×105，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
7.把1−9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】 A
【考点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故答案为：A.
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y ，再求出x 即可求解.
8.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O,H 为 BC 中点，
AC =6,BD =8 .则线段 OH 的长为：（ ）
A. 125
B. 5
2 C.
3 D. 5
【答案】 B
【考点】勾股定理，菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形
∴ AC ⊥BD ， AO =OC =3 ， BO =OD =4
∴△BOC 是直角三角形
∴ BO 2+OC 2=BC 2
∴BC=5
∵H为BC中点
∴OH=1
2BC=5
2
故最后答案为5
2
.
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
二、填空题（共8题；共8分）
9.如图，直线a,b被直线c所截，a//b,∠1=60∘.那么∠2=________ ∘.
【答案】60
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】∵a//b,∠1=60∘
∴∠2=∠1=60∘
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质即可求解.
10.一组数据1,4,7,−4,2的平均数为________.
【答案】2
【考点】平均数及其计算
【解析】【解答】由题意知，数据1,4,7,−4,2的平均数为：
x̅=1
5
(1+4+7−4+2)=2.
故答案为：2.
【分析】根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数.
11.因式分解：x2−y2=________．
【答案】(x+y)(x−y)
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故答案为(x＋y)(x－y)．
【分析】注意区别x2±2xy+y2=(x±y)2
12.分式方程x−1
x
=0的解为x=________.
【答案】1
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘x得：
x−1=0，
解得：x=1，
检验，当x=1时分母不为0，
故原分式方程的解为x=1.
故答案为：1.
【分析】方程两边同时乘x化成整式方程，进而求出x的值，最后再检验即可.
13.一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是________.
【答案】2
5
【考点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，
∴任意摸出一个球为白球的概率是：2
5
，
故答案为：2
5
.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率.
14.如图，在⊙O中，点A在BC⌢上，∠BOC=100°,则∠BAC=________ 。

【答案】130°
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】如图，画出BC
⌢的圆周角∠BDC交⊙O于点D，则四边形ABDC为⊙O的内接四边形，
∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴∠BDC=1
2∠BOC=1
2
×100°=50°，
∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°−∠BDC=180°−50°=130°.
故答案为：130°.
【分析】画出BC
⌢的圆周角∠BDC交⊙O于点D，构造出⊙O的内接四边形；根据圆周角定理求出∠BDC的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出∠BAC的度数.
15.如图，BC//DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=10，则AE
AC
的值为________.
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵BC//DE,
∴△ABC∽△ADE，
∴AB
AD =BC
DE
设AB=a,则DE=10-a
故a
4=4
10−a
解得a1=2,a2=8 ∵BC<DE ∴AB=2，
故AE
AC =AD
AB
=2
故答案为：2.
【分析】设AB=a，根据BC//DE,得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解.
16.如图，已知点A(5,2),B(5，4),C(8，1)，直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0),其中m<5
2
，若△
A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=k
x
(k≠0)的图像上，则k 的值为：________.
【答案】-6或-4
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形变化﹣对称，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0)，m<5
2
∴A′(2m−5,2)，B′(2m−5,4)，C′(2m−8,1)
∵△A′B′C′有两个顶点在函数y=k
x
(k≠0)
（ 1 ）设A′(2m−5,2)，B′(2m−5,4)在直线y=k
x
(k≠0)上，
代入有(2m−5)×2=(2m−5)×4，m=5
2不符合m<5
2
故不成立；
（ 2 ）设A′(2m−5,2)，C′(2m−8,1)在直线y=k
x
(k≠0)上，
有(2m−5)×2=(2m−8)×1，m=1，A′(−3,2)，C′(−6,1)，代入方程后k=-6；
（ 3 ）设B′(2m−5,4)，C′(2m−8,1)在直线y=k
x
(k≠0)上，
有(2m−5)×4=(2m−8)×1，m=2，B′(−1,4)，C′(−4,1)，代入方程后有k=-4；
综上所述，k=-6或k=-4；
故答案为：-6或-4.
【分析】因为△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且直线l⊥x轴，从而有互为对称点纵坐标相
同，横坐标之和为2m，利用等量关系计算出m的值，又由于△A′B′C′有两个顶点在函数y=k
x
(k≠
0)，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出k的值.
三、解答题（共11题；共95分）
17.计算：23−√4+(2
3
−π)0.
【答案】解：原式=8−2+1
=7.
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可.
18.解不等式组：{2x−1
3
≥1
4x−5<3x+2
.
【答案】解：由题意知：{2x−1
3
≥1①
4x−5<3x+2②解不等式①：去分母得：2x−1≥3，
移项得：2x≥4，
系数化为1得：x≥2，
解不等式②，得x<7，
在数轴上表示不等式①、②的解集如图：
∴不等式组的解集为2≤x<7.
【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集.
19.先化简，再求值：m
m2−9÷(1+3
m−3
)，其中m=−2.
【答案】解：原式=m
m2−9÷(m−3
m−3
+3
m−3
)
=m
m2−9÷m
m−3
=m
(m+3)(m−3)⋅m−3
m
=1
m+3
当m=−2时代入，
原式=1
−2+3
=1.
故答案为：1.
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将m=−2代入求解即可.
20.如图，在△ABC中，∠C=90∘,tanA=√3
3
,∠ABC的平分线BD交AC于点D.CD=√3.求AB 的长？
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘,tanA=√3
3
∴∠A=30∘,∠ABC=60∘,
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=30°,
又∵CD=√3,
∴BC=CD
tan30∘
=3，
在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，
∴AB=BC
sin30°
=6.
故答案为：6.
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】由tanA=√3
3
求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出
∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.
21.如图，点O是正方形，ABCD的中心.
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO.
【答案】（1）解：如图所示，点E即为所求.
（2）解：连接OB、OC
由(1)得：EB=EC
∵O是正方形ABCD中心，
∴OB=OC,
∴在△EBO和△ECO中，
{EB=EC EO=EO
OB=OC
∴△EBO≅△ECO(SSS),
∴∠BEO=∠CEO.
【考点】正方形的性质，三角形全等的判定（SSS），作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明△EBO≅△ECO即可求解. 22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统计图，图②为B地区新增确诊人数的折线统计图.
（1）根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为________，新增确诊人数为________；
（2）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图. （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？
【答案】（1）41；13
（2）解：如图所示：
（3）解：A地区累计确诊人数可能会持续增加，B地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯一）.
【考点】扇形统计图，条形统计图，折线统计图
【解析】【解答】解：（1）A地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为41-28=13，
故答案为：41；13；
【分析】（1）根据图①的条形统计图即可求解；（2）根据图①中的数据即可画出折线统计图；（3）根据折线统计图，言之有理即可.
23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息.
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数：（图中标号1,2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图④为2×2的网格图.它可表示不同信息的总个数为________；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示各人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为________；
【答案】（1）解：画树状图如图所示：
∴图③的网格可以表示不同信息的总数个数有4个.
（2）16
（3）3
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（2）画树状图如图所示：
∴图④2×2的网格图可以表示不同信息的总数个数有16=24个，
故答案为：16.
（ 3 ）依题意可得3×3网格图表示不同信息的总数个数有29=512＞492，
故则n的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；（2）根据题意画出树状图即可求解；（3）根据（1）（2）得到规律即可求出n的值.
24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E,DE交AC与点；求证：△DCF是等腰三角形.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠A,
∵AB为圆O的直径，
∴∠BCA=90°,
∴∠A+∠B=90∘,
又∵∠DCA=∠B,
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90∘,
∴OC⊥CD,
又∵点C在圆O上，
∴CD是⊙O的切线.
（2）证明：∵∠OCA+∠DCA=90∘,
∠OCA=∠A,
∴∠A+∠DCA=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠A+∠EFA=90°,
∴∠DCA=∠EFA,
又∵∠EFA=∠DFC,
∴∠DCA=∠DFC,
∴△DCF是等腰三角形.
【考点】等腰三角形的判定，圆周角定理，切线的判定
【解析】【分析】(1)连接OC，由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件∠DCA=∠B，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；(2)证明∠A+∠DCA=90°，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形.
25.若二次函数 y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点 M(x 1,0),N(x 2,0)(0<x 1<x 2) ，且经过点 A(0,2), 过点A 的直线l 与x 轴交于点 C, 与该函数的图像交于点B （异于点A ）.满足 △ACN 是等腰直角三角形，记 △AMN 的面积为 S 1,△BMN 的面积为 S 2 ，且 S 2=52S 1 .
（1）抛物线的开口方向________（填“上”或“下”）；
（2）求直线 l 相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式.
【答案】 （1）上
（2）解：①若 ∠ACN =90∘ ，
则 C 与 O 重合，直线 l 与二次函数图像交于 A 点
∵直线与该函数的图像交于点 B （异于点 A ）
∴不合符题意，舍去；
②若 ∠ANC =90° ，则 C 在 x 轴下方，
∵点 C 在 x 轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若 ∠CAN =90°
则 ∠ACN =∠ANC =45°,AO =CO =NO =2
∴C(−2，0),N(2,0)
设直线 l:y =kx +b
将 A(0,2),C(−2,0) 代入：
{2=b 0=−2k +b ，解得 {k =1b =2
∴ 直线 l:y =x +2 .
故答案为： y =x +2 .
（3）解：过B 点作 BH ⊥x 轴，垂足为H ，
SΔAMN=S1=1
2MN⋅OA，SΔBMN=S2=1
2
MN⋅BH，
又∵S2=5
2
S1，
∴OA=5
2
BH，
又∵OA=2，
∴BH=5，
即B点纵坐标为5，
又(2)中直线l经过B点，
将y=5代入y=x+2中，得x=3，
∴B(3,5)，
将A、B、N三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得
{c=2
4a+2b+2=0
9a+3b+2=5
，
解得{a=2
b=−5
c=2
，
∴抛物线解析式为y=2x2−5x+2.
故答案为：y=2x2−5x+2.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，∴抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；(2)根据△ACN是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是∠CAN=90°，此时∠ACN=∠ANC=45°,AO=CO=NO=2，由此算出C点坐
标，进而求解；(3)过B点作BH⊥x轴，由S2=5
2S1得到OA=5
2
BH，由OA的长求出BH的长，再将B
点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.
26.木门常常需要雕刻美丽的图案.
（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；
（2）如图②，对于(1)中的木门，当模具换成边长为30√3厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.
【答案】（1）解：如图，过点P作PE⊥CD,垂足为E
∵P是边长为30cm的正方形模具的中心，
∴PE=15cm,
同理：A′B′与AB之间的距离为15cm,
A′D′与AD之间的距离为15cm,
B′C′与BC之间的距离为15cm,
∴A′B′=C′D′=200−15−15=170cm,
B′C′=A′D′=100−15−15=70cm,
=(170+70)×2=480cm.
∴C
四边形A′B′C′D′
答：图案的周长为480cm.
（2）解：如图，连接PE、PF、PG,过点P作PQ⊥CD，垂足为Q
∵P 是边长为 30cm 的等边三角形模具的中心，
∴PE =PG =PF,∠PGF =30°
∵PQ ⊥GF,
∴GQ =QF =15√3cm,
∴PQ =CQ ⋅tan30°=15cm,
PG =CQ
cos30°=30cm .
当三角形 EFG 向上平移至点G 与点D 重合时，
由题意可得： △E ′F ′G ′ 绕点D 顺时针旋转 30∘,
使得 E ′G ′ 与 AD 边重合
∴DP ′ 绕点 D 顺时针旋转 30∘ 至 DP",
∴l p ′p ″̅̅̅̅̅̅̅̅̅=30⋅π⋅30180=5πcm .
同理可得其余三个角均为弧长为 5πcm 的圆弧，
图中的虚线即为所画的草图，
∴ C =(200−30√3+100−30√3)×2+
30⋅π⋅30180×4
=(600−120√3+20π)cm .
答：雕刻所得图案的草图的周长为 (600−120√3+20π)cm .
【考点】等边三角形的性质，弧长的计算，解直角三角形，旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点P 作 PE ⊥CD, 求出PE ，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；（2）如图，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，连接PG,先利用等边三角形的性质求出PQ 、PG 及∠PGE ，当移动到点 P ′ 时，求得旋转角和点P 旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得图案的周长.
27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 1~4 .
Ⅰ.在 Rt △ABC 中， ∠C =90°,AB =2√2 ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）
BC 和 AC +BC 的数据进行分析；
① 设 BC =x,AC +BC =y ，以 (x,y) 为坐标，在图 ① 所示的坐标系中描出对应的点；
② 连线；
Ⅲ.观察思考
结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=▲时，y最大；
Ⅳ.进一步C猜想：若Rt△MBC中，∠C=90°，斜边AB=2a(a为常数，a>0），则BC=▲时，AC+BC最大.
推理证明
Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明.
（1）问题1.在图①中完善（1）的描点过程，并依次连线；
（2）问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ________；Ⅳ________。

（3）问题3.证明上述Ⅴ中的猜想：
（4）问题4.图②中折线B−E−F−G−A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90∘,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60∘,线段FM、FN为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.
【答案】（1）解：函数图象如图所以，
（2）2；√2a
（3）解：问题3：法一：（判别式法）
证明：设BC=x,AC=BC=y
在Rt△ABC中，∵∠C=90°,AC=√AB2−BC2=√4a2−x2,∴y=x+√4a2−x2
∴y−x=√4a2−x2
y2−2xy+x2=4a2−x2,
2x2−2xy+y2−4a2=0,
∵关于x的元二次方程有实根，
∴b2−4ac=4y2−4×2⋅(x2−4a2)≥0,
∴y2≤8a2,
∵y>0,a>0,
∴y≤2√2a,
当y取最大值2√2a时，
2x2−4√2ax+4a2=0
(√2x−2a)2=0
x1=x2=√2a
∴当BC=√2a时，y有最大值.
法二：（基本不等式）
设BC=m,AC=n,AC+BC=y
在Rt△ABC中，∵∠C=90°,
∴m2+n2=4a2
∵(m−n)2≥0,
∴m2+n2≥2mn.
当m=n时，等式成立
∴4a2≥2mn,
mn≤2a2.
∵y=m+n=√m2+n2+2mn
=√4a2+2mn，
∵mn≤2a2,
∴y≤2√2a,
∴当BC=AC=√2a时，y有最大值.
（4）问题4：
法一：延长AM交EF于点C
过点A作AH⊥EF于点H,垂足为H
过点B作BK⊥GF交于点K,垂足为K
BK交AH于点Q
由题可知：在△BNE中，∠BNE=60°,∠E=90∘,BE=1∴tan∠BNE=BE
NE
即√3=1
NE
∴NE=√3
3
∵AM//BN,
∴∠C=60°,
又∵∠GFE=90∘,
∴∠CMF=30°,
∴∠AMG=30°,
∵∠G=90°,AG=1,∠AMG=30°，
∴在Rt△AGM中，
tan∠AMG=AG
GM
，
即√3
3=1
GM
∴GM=√3,
∵∠G=∠GFH=90°,∠AHF=90°,∴四边形AGFH为矩形
∴AH=FG,
∵∠GFH=∠E=90∘,∠BHF=90°，∴四边形BKFE为矩形，
∴BK=FE,
∵FN+FM=EF+FG−EN−GM
=BK+AH−√3
3
−√3
=BQ+AQ+QH+QK−4√3
3
=BQ+AQ+2−4√3
3
∴在Rt△ABQ中，AB=4.
由问题3可知，当BQ=AQ=2√2时，AQ+BQ最大
∴BQ=AQ=2√2时，FM+FN最大为(4√2+2−4√3
)cm
3
)cm
即当EF=2√2+1时，感光区域长度之和FM+FN最大为(4√2+2−4√3
3
法二：
延长EB、GA相交于点H
同法一求得：
GM=√3,NE=√3
3
设AH=a,BH=b
∵四边形GFEH为矩形，
∴GF=EH,EF=GH,
∴MF=EH−GM=b+1−√3.
FN=EF−NE=a+1−√3
3
∴MF−FN=a−b+2−4√3
3
∵a2+b2=16,
由问题3可知，当a=b=2√2时，a+b最大
∴a=b=2√2时FM+FN最大为(4√2+2−4√3
)cm
3
)cm.
即当EF=2√2+1时，感光区域长度之和FM+FN最大为(4√2+2−4√3
3
【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）问题1：根据Ⅰ中的表格数据，描点连线，作出图形即可；（2）问题2：根据Ⅰ中的表格数据，可以得知当x=2时，y最大；设BC=x,AC=BC=y，则AC=√4a2−x2，可得y=x+√4a2−x2，有2x2−2xy+y2−4a2=0，可得出y≤2√2a；（3）问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设BC=x,AC=BC=y，则AC=√4a2−x2，可得y=x+
√4a2−x2，有2x2−2xy+y2−4a2=0，可得出y≤2√2a；方法二：（基本不等式），设BC= m,AC=n,AC+BC=y，得m2+n2=4a2，可得m2+n2≥2mn，根据当m=n时，等式成立有mn≤2a2，可得出y≤2√2a；（4）问题4：方法一：延长AM交EF于点A，过点A作AH⊥EF 于点H，垂足为H，过点B作BK⊥GF交于点K，垂足为K，BK交AH于点Q，由题可知：在△BNE
中，∠BNE=60°,∠E=90∘,BE=1，得NE=√3
3
，根据∠G=90°,AG=1,∠AMG=30°，
有tan∠AMG=AG
GM
，得GM=√3，易证四边形AGFH为矩形，四边形BKFE为矩形，根据FN+
FM=EF+FG−EN−GM可得FN+FM=BQ+AQ+2−4√3
3
，由问题3可知，当BQ=AQ=2√2
时，AQ+BQ最大，则有BQ=AQ=2√2时，FM+FN最大为(4√2+2−4√3
3
)cm；方法二：延
长EB、GA相交于点H同法一求得：GM=√3,NE=√3
3
，根据四边形GFEH为矩形，有MF=EH−
GM=b+1−√3，FN=EF−NE=a+1−√3
3，得到MF−FN=a−b+2−4√3
3
，由问题3可
知，当a=b=2√2时，a+b最大则可得a=b=2√2时FM+FN最大为(4√2+2−4√3
3
)cm.。