2017-2018学年四川省资阳市高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=的共轭复数z等于（）
A．﹣2+2i B．﹣2﹣2i C．2+2i D．2﹣2i
2．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，则该双曲线的两
渐近线为（）
A．y=±3x B．C．D．
3．（5分）在n边形A1A2…A n中各内角满足++…+≥，按照此规
律在△ABC中有++≥a，则a=（）
A．B．﹣C．D．
4．（5分）曲线y2=x与y=x2所围图形的面积为（）
A．B．C．D．﹣1
5．（5分）若随机变量X的分布列为
且E（X）=2，则a+2b=（）
A．B．C．D．1
6．（5分）用数学归纳法证明+++…+＞（n≥2，n∈N）时，
从n=k到n=k+1时，左边应增加的项是（）
A．++…+
B．++…+﹣
C．++…+
D．++…+﹣﹣
7．（5分）函数f（x）=e﹣x﹣2f′（0）ln（x+1），则f（1）+f′（1）=（）A．B．﹣C．D．﹣
8．（5分）商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布N（10，
0.12），任选一袋大米质量在9.8～10.1kg的概率是（）
参考公式：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974
A．0.6826B．0.8185C．0.9544D．0.8400 9．（5分）（﹣6x）n开式的二项式系数和为512，则开式的常数项为（）A．﹣B．C．224D．﹣224 10．（5分）已知定点A（1，4），点P为抛物线y2=8x上动点，点P到y轴距离为d，则|PA|+d的最小值为（）
A．B．3C．5﹣2D．﹣2 11．（5分）以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点为顶点的三棱锥的个数为（）A．68B．64C．58D．52
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶数，且f（﹣2）=0，当x＞0时，2﹣f （x）＞xf′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．则不等式f（x）＞2+的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）复数z=3﹣4i的模为a，虚部为b，则a+b=．
14．（5分）从1，3，5，7中任取2个数字，再从0，2，4中任取2个数字，组成的不同四位奇数共有个（用数字作答）．
15．（5分）经过点M（6，3）作直线l交双曲线x2﹣y2=1于A，B两点，且M 为AB的中点，则直线l的方程为．
16．（5分）若函数f（x）=2e x﹣ax﹣在区间（0，+∞）上有两个零点，则实数a的取值范围为．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求满足下列条件的方程．
（1）求焦点为（0，±4），且渐近线为y=±x的双曲线的标准方程；（2）求过点P（9，6）的抛物线的标准方程．
18．（12分）箱子里装有除了颜色不同其余都相同的6个白球和4个黑球，现从箱子中不放回的摸出3个球．
（1）在摸出的小球中有白球的条件下，求摸出的小球中有黑球的概率P1；（2）若摸出的小球中白球一个记5分，黑球一个记10分，3个小球总分为ξ，求ξ分布列和数学期望E（ξ）．
19．（12分）已知关于x的函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
20．（12分）2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛．比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯联邦境內11座城市中的12座球场进行．某人对中学生是否了解足球比赛规则“越位”进行调査，在所有中学生中选取120个学生得到了如下数据（单位：人）：
（1）判断能否有90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关；（2）以该人调査数据频率为概率，在所有中学生中任选3人，记其中了解足球比赛规则“越位”的男生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
附表及公式：
K2=
21．（12分）已知直线y=x﹣m与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O是坐标原点，F是抛物线焦点．
（1）若OA⊥OB，求m与p的等量关系；
（2）若p=4m+4，且△ABF的面积为4，求实数m的值．
22．（12分）已知关于x的函数f（x）=xln（x﹣1）﹣ax+2a（a∈R）．
（1）若f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：n•ln2•ln3…lnn＞，（n≥2，n∈N）．
2017-2018学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=的共轭复数z等于（）
A．﹣2+2i B．﹣2﹣2i C．2+2i D．2﹣2i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z==，
∴复数z=的共轭复数z等于﹣2+2i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，则该双曲线的两
渐近线为（）
A．y=±3x B．C．D．
【分析】利用双曲线的离心率，确定几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线的离心率为2，
∴
∴
∴双曲线的渐近线方程是
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，利用双曲线的离心率，确定几何量之间的关系是解题的关键．
3．（5分）在n边形A1A2…A n中各内角满足++…+≥，按照此规
律在△ABC中有++≥a，则a=（）
A．B．﹣C．D．
【分析】利用公式n边形A1A2…A n中各内角满足++…+≥，得到a=．
【解答】解：∵在n边形A1A2…A n中各内角满足++…+≥，
按照此规律在△ABC中有++≥a，
∴a==．
故选：A．
【点评】本题归纳推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此题的关键是总结规律，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（5分）曲线y2=x与y=x2所围图形的面积为（）
A．B．C．D．﹣1
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
【解答】解：
由，解得或，
则曲线y2=x与y=x2所围图形的面积为
S=（﹣x2）dx=（﹣x3）|=（﹣）﹣0=，
故选：C．
【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
5．（5分）若随机变量X的分布列为
且E（X）=2，则a+2b=（）
A．B．C．D．1
【分析】由随机变量X的分布列和E（X）=2，列出方程组，能求出a=b=，由此能求出a+2b的值．
【解答】解：由随机变量X的分布列和E（X）=2，得：
，
解得a=b=，
∴a+2b=1．
故选：D．
【点评】本题考查代数式的和的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5分）用数学归纳法证明+++…+＞（n≥2，n∈N）时，
从n=k到n=k+1时，左边应增加的项是（）
A．++…+
B．++…+﹣
C．++…+
D．++…+﹣﹣
【分析】分别写出n=k和n=k+1时式子的左边即可得出增添的项．
【解答】解：用数学归纳法证明用数学归纳法证明+++…+＞
（n≥2，n∈N）时，
假设n=k时不等式成立，左边=+++…+，
则当n=k+1时，左边=++…+++…+，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了++…+﹣，
故选：B．
【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
7．（5分）函数f（x）=e﹣x﹣2f′（0）ln（x+1），则f（1）+f′（1）=（）A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根据题意，求出函数的导数f′（x）=﹣e﹣x﹣，令x=0可得f′（0）=﹣，进而可得f（x）=e﹣x+和f′（x）=﹣e﹣x+，计算可得f （1）与f′（1）的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣x﹣2f′（0）ln（x+1），
则f′（x）=﹣e﹣x﹣，
令x=0可得：则f′（0）=﹣e﹣0﹣2f′（0）=﹣1﹣2f′（0），
解可得f′（0）=﹣，
则f（x）=e﹣x+，则f（1）=e﹣1+，
f′（x）=﹣e﹣x+，则f′（1）=﹣e﹣1+，
则f（1）+f′（1）=；
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．
8．（5分）商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布N（10，
0.12），任选一袋大米质量在9.8～10.1kg的概率是（）
参考公式：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974
A．0.6826B．0.8185C．0.9544D．0.8400
【分析】由正态分布N（10，0.12）可知μ=10，标准差σ=0.1，故区间（9.8，10.1）即（μ﹣2σ，μ+σ），转化为标准正态分布求解即可
【解答】解：∵P（9.8＜X＜10.2）=P（10﹣0.2＜X＜10+0.2）=0.954 4．
P（9.9＜X＜10.1）=P（10﹣0.1＜X＜10+0.1）=0.6826．
∴P（9.8＜X＜10.1）=．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布的概率、正态分布和标准正态分布的关系和转化，本题是一个基础题．
9．（5分）（﹣6x）n开式的二项式系数和为512，则开式的常数项为（）A．﹣B．C．224D．﹣224
【分析】根据题意，由二项式系数的性质分析可得2n=512，解可得n的值，进而可得其展开式的通项，令x的系数为0，解可得r的值，将r的值代入通项计算可得答案．
【解答】解：根据题意，（﹣6x）n的展开式的二项式系数和为512，则2n=512，则n=9，
=C9r（）9﹣r（﹣6x）r=C9r，
则其展开式的通项T r
+1
令3r﹣9=0，可得r=3，
则有T4=﹣×C93=﹣；
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是求出n的值．
10．（5分）已知定点A（1，4），点P为抛物线y2=8x上动点，点P到y轴距离为d，则|PA|+d的最小值为（）
A．B．3C．5﹣2D．﹣2
【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|﹣2，再由两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，
焦点F坐标（2，0）
因为点A（1，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得
|PA|+d=|PA|+|PF|﹣2，
连接AF，当A，P，F共线时，可得
|PA|+d的最小值为|AF|﹣2=﹣2
=﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和基本性质，考查数形结合思想，属于基础题．
11．（5分）以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点为顶点的三棱锥的个数为（）A．68B．64C．58D．52
【分析】由组合知识得共=70个，运用间接做法减去共面的6+6=12个，得答案为58个．
【解答】解：正方体的8个顶点中有一些不共面的4点．
其中有6个表面的6组，6个对角面的6组．
可得三棱锥的个数为
﹣6﹣6=70﹣12=58．
故选：C．
【点评】本题考三棱锥的定义，运用组合知识和间接做法可以得到答案．
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶数，且f（﹣2）=0，当x＞0时，2﹣f （x）＞xf′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数）．则不等式f（x）＞2+的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】由已知可设F（x）=xf（x）﹣2x，并且得到F（x）=xf（x）﹣2x在（0，+∞）上为减函数，把不等式f（x）＞2+转化为F（|x|）＞F（2）（x≠0），然后结合函数的单调性求解．
【解答】解：由2﹣f（x）＞xf′（x），得f（x）+xf′（x）﹣2＜0，
令F（x）=xf（x）﹣2x，可得F′（x）=f（x）+xf′（x）﹣2＜0，
则F（x）=xf（x）﹣2x在（0，+∞）上为减函数，
由f（x）＞2+，得|x|f（x）﹣2|x|＞0（x≠0），
∵f（x）是定义在R上的偶数，即|x|f（|x|）﹣2|x|＞0，
又f（﹣2）=0，
∴|x|f（|x|）﹣2|x|＞0=f（2），
即F（|x|）＞F（2），
由F（x）=xf（x）﹣2x在（0，+∞）上为减函数，
得|x|＜2且x≠0，得﹣2＜x＜2．
∴不等式f（x）＞2+的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，关键是构造函数F（x）=xf（x）﹣2x，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）复数z=3﹣4i的模为a，虚部为b，则a+b=1．
【分析】由已知求得a与b的值，则答案可求．
【解答】解：∵z=3﹣4i，
∴a=|z|=，b=﹣4，
∴a+b=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
14．（5分）从1，3，5，7中任取2个数字，再从0，2，4中任取2个数字，组成的不同四位奇数共有168个（用数字作答）．
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，从0，2，4中选取的2个数字含有0，有0、2或0、4两种取法，②，从0，2，4中选取的2个数字没有0，只有2、4这一种情况，分别求出每一种情况下四位奇数的数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，从0，2，4中选取的2个数字含有0，有0、2或0、4两种取法，
从1，3，5，7中任取2个数字，有C42=6种取法，
要求四位数为奇数，需要在取出的2个奇数中任取1个，放在个位，有2种情况，0不能在首位，有2种情况，
将剩下的2个数字全排列，安排在剩下的2个数位，有A22=2种情况，
此时可以组成2×6×2×2×2=96个四位奇数；
②，从0，2，4中选取的2个数字没有0，只有2、4这一种情况，
从1，3，5，7中任取2个数字，有C42=6种取法，
要求四位数为奇数，需要在取出的2个奇数中任取1个，放在个位，有2种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在剩下的3个数位，有A33=6种情况，
此时可以组成6×2×6=72个四位奇数；
则可以组成96+72=168个四位奇数；
故答案为：168．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基
础题．
15．（5分）经过点M（6，3）作直线l交双曲线x2﹣y2=1于A，B两点，且M 为AB的中点，则直线l的方程为y=2x﹣9．
【分析】根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为K，由中点坐标公式可得x1+x2=12，y1+y2=6，又由A、B在双曲线上，则有，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），变形可得2（x1﹣x2）=（y1﹣y2），变形可得：k==2，由直线的点斜式方程分析可得AB的方程，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为K，
M为A、B的中点，则x1+x2=12，y1+y2=6，
又由A、B在双曲线上，则有，
①﹣②可得：（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），
又由x1+x2=12，y1+y2=6，
则有12（x1﹣x2）=6（y1﹣y2），即2（x1﹣x2）=（y1﹣y2），
变形可得：k==2，
则直线l的方程为y﹣3=2（x﹣6），即y=2x﹣9；
故答案为：y=2x﹣9．
【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，涉及直线的方程的计算，属于综合题．
16．（5分）若函数f（x）=2e x﹣ax﹣在区间（0，+∞）上有两个零点，则实数a的取值范围为（2e，8）．
【分析】求出原函数的导函数，对a分类研究函数的单调性，若a≤0，函数f （x）为单调函数，不可能在区间（0，+∞）上有两个零点；若a＞0，f（x）
在（﹣∞，ln）上为减函数，在（ln，+∞）上为增函数，f（x）的极小值也是最小值为f（ln）=a﹣aln=，把函数f（x）=2e x﹣ax﹣在
区间（0，+∞）上有两个零点转化为，求解不等式组得答案．
【解答】解：f′（x）=2e x﹣a，
若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）为单调函数，不可能在区间（0，+∞）上有两个零点；
若a＞0，由f′（x）=2e x﹣a＞0，得x＞ln，
∴f（x）在（﹣∞，ln）上为减函数，在（ln，+∞）上为增函数，
则f（x）的极小值也是最小值为f（ln）=a﹣aln=．
要使函数f（x）=2e x﹣ax﹣在区间（0，+∞）上有两个零点，
则，解得＜a＜8．
∴实数a的取值范围为（2e，8）．
故答案为：（2e，8）．
【点评】本题考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求满足下列条件的方程．
（1）求焦点为（0，±4），且渐近线为y=±x的双曲线的标准方程；
（2）求过点P（9，6）的抛物线的标准方程．
【分析】（1）根据题意，设双曲线的方程为﹣=1，结合题意可得，
解可得a、b的值，将其代入双曲线的方程可得答案；
（2）根据题意，按抛物线焦点的位置分2种情况讨论，分别求出抛物线的标准方程，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线的焦点在y轴上，设其方程为﹣=1，
则有，解可得，
则要求双曲线的方程为﹣=1；
（2）根据题意，抛物线经过点P（9，6），
则分2种情况讨论：
①，抛物线焦点在x轴上时，设所求抛物线方程为y2=mx，
抛物线过点P（9，6），则有36=9m，则m=4，
则此时抛物线的标准方程为y2=4x，
②，抛物线焦点在y轴上时，设所求抛物线方程为x2=ny，
抛物线过点P（9，6），则有81=6n，则n=，
则此时抛物线的标准方程为x2=y，
综上所述：所求抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，关键掌握双曲线、抛物线标准方程的形式．
18．（12分）箱子里装有除了颜色不同其余都相同的6个白球和4个黑球，现从箱子中不放回的摸出3个球．
（1）在摸出的小球中有白球的条件下，求摸出的小球中有黑球的概率P1；（2）若摸出的小球中白球一个记5分，黑球一个记10分，3个小球总分为ξ，求ξ分布列和数学期望E（ξ）．
【分析】（1）利用条件概率计算，
（2）由题意知ξ可取15，20，25，30，当ξ=0时，根据对应的事件写出分布列，求出数学期望E（ξ）．
【解答】解：（1）记摸出的小球中有白球为事件A，摸出的小球中有黑球为事件B．
事件A发生的概率P（A）=，
事件A，B同时发生的概率P（AB）==，
所以所求概率P1=P（BlA）===．（6分）
（2）ξ的可能取值为15，20，25，30，
P（ξ=15）==；
P（ξ=20）=
P（ξ=25）==；
P（ξ=30）=．
所以的分布列为
数学期望E（ξ）==21．（12分）
【点评】本题主要考查散型随机变量的期望与方差．考查运用概率知识解决实际问题的能力．属于中档题．
19．（12分）已知关于x的函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得f′（1）=0，解得a，可得f（x）的解析式，以及导数和切线的斜率，以及切线方程；
（2）求得导数，讨论a的范围，①当a≤2时，②当a＞2时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．
【解答】解：由函数f（x）=2e x﹣ax﹣2的导数为f′（x）=2e x﹣a，
（1）因为x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）=2e﹣a=0，得a=2e，
此时由不等式f′（x）＞0，解得x＞1，
所以f（x）在区间（﹣∞，1）单调递减，在区间（1，+∞）单调递增，
x=1是函数f（x）的极小值点，满足题意，
所以f（x）=2e x﹣2ex﹣2，所以切点为（0，0），切线斜率k=2﹣2e，
所以切线方程为y=（2﹣2e）x；
（2）因为f′（x）=2e x﹣a中x＞0，所以为2e x＞2，
①当a≤2时，恒有f′（x）＞0，此时f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
②当a＞2时，由不等式f′（x）＞0得x＞ln，
由不等式f′（x）＜0得0＜x＜ln，此时f（x）在区间（0，ln）单调递减，
在区间（ln，+∞）单调递增．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查直线方程的运用，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
20．（12分）2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛．比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯联邦境內11座城市中的12座球场进行．某人对中学生是否了解足球比赛规则“越位”进行调査，在所有中学生中选取120个学生得到了如下数据（单位：人）：
（1）判断能否有90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关；（2）以该人调査数据频率为概率，在所有中学生中任选3人，记其中了解足球比赛规则“越位”的男生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
附表及公式：
K2=
【分析】（1）求出K2=≈3.429＞2.706，从而有90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关．
（2）由表可知，一位同学是了解足球比赛规则“越位”的男生的概率为，ξ的可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
【解答】（本小题满分12分）
（1）由题得：
K2==，
∴有90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关．（4分）（2）由表可知，一位同学是了解足球比赛规则“越位”的男生的概率为，∴ξ的可能值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的分布列为：
数学期望Eξ=．（12分）
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12分）已知直线y=x﹣m与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O是坐标原点，F是抛物线焦点．
（1）若OA⊥OB，求m与p的等量关系；
（2）若p=4m+4，且△ABF的面积为4，求实数m的值．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消去x得关于y的一元二次方程，利用判别式△＞0和根与系数的关系，结合OA⊥OB时•=0，列方程求得m与p 的等量关系；
（2）把p=4m+4代入判别式△＞0及p＞0求得m的取值范围，再根据△ABF的面积公式求得实数m的值．
【解答】解：（1）设A（x1，x2），B（x2，y2），
联立，
消去x得：y2﹣4py﹣4pm=0，
所以△=16p2+16pm＞0，
且y1+y2=4p，y1y2=﹣4pm，
所以x1x2=•=4m2，
又OA⊥OB，
所以•=x1x2+y1y2=4m2﹣4pm=0，
解得m=p，或m=0（舍去），
则m与p的等量关系为：m=p；…（6分）
（2）把p=4m+4代入△=16p2+16pm＞0及p＞0，解得m＞﹣，
记直线与x轴交点为E（2m，0），而F（，0），
所以△ABF的面积为
S△ABF=×|EF|×|y1﹣y2|=×|2m﹣|×=×|2m﹣|×
=|4m﹣p|，
=4=8（m＞﹣），
把p=4m+4代入得S
△ABF
所以8=4，
解得m=﹣或m=﹣（舍），
所以，实数m的值为﹣…（12分）
【点评】本题考查了直线与抛物线的方程与应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
22．（12分）已知关于x的函数f（x）=xln（x﹣1）﹣ax+2a（a∈R）．
（1）若f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：n•ln2•ln3…lnn＞，（n≥2，n∈N）．
【分析】（1）由f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，且f（2）=0，可得f（x）在x=2右侧附近的区间一定单调递增，必有f′（2）≥0，得a≤2，经过验证
即可得出．
（2）取a=2，由（1）可知xln（x﹣1）﹣2x+4＞0在区间（2，+∞）上恒成立，整理得ln（x﹣1）＞．再取x=n+1，n∈N*，n≥2，得lnn＞恒成立，利用累乘即可证明．
【解答】解：（1）∵f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，且f（2）=0，
∴f（x）在x=2右侧附近的区间一定单调递增，必有f′（2）≥0，
又f′（x）=ln（x﹣1）+﹣a，
∴f′（2）≥0得a≤2，
当a≤2时，令u（x）=f′（x）=ln（x﹣1）+﹣a，
则u′（x）=﹣=≥0在x∈[2，+∞）恒成立，
∴f′（x）在∈[2，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥f′（2）=2﹣a≥0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（2）=0成立，即a≤2满足题意，∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]．
（2）证明：取a=2，由（1）可知xln（x﹣1）﹣2x+4＞0在区间（2，+∞）上恒成立，
整理得ln（x﹣1）＞．
再取x=n+1，n∈N*，n≥2，得lnn＞恒成立，
∴ln2＞，ln3＞，ln4＞，ln5＞，…，lnn＞，
累乘可得：n•ln2•ln3…lnn＞=，
整理可得：n•ln2•ln3…lnn＞，（n≥2，n∈N*）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。