极差、方差及标准差典型例题及习题（2）

典型例题
例1计算下列一组数据的极差、方差及标准差（精确到0.01）；
50，55，96，98，65，100，70，90，85，100．
解极差为100－50＝50．
平均数为．
方差为：
标准差为．
于是，这组数据的极差、方差和标准差分别为50，334.69，18.29．
例2若样本，，…，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（）
（A）平均数为10，方差为2 （B）平均数为11，方差为3
（C）平均数为11，方差为2 （D）平均数为12，方差为4
解由已知条件，得
故应选（C）
说明此题充分应用了已知条件来进行整体计算，使运算十分简捷．
例3 如图，公园里有两条石级路，哪条石级走起来更舒适？（图中数字表示每一级的高度，单位：厘米）
解由于15＋14＋14＋16＋16＋15＝90，19＋10＋17＋18＋15＋11＝90，所以两条石级路总高度一样，都是90厘米；由于都是6个台阶，所以台阶的平均高度也一样，都15厘米．上台阶是否舒适，就看台阶的高低起伏情况如何，因此，需要计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差．
左边石级路台阶高度的极差为16－14＝2，方差为：
，
标准差为；
右边石级路台阶高度的极差为19－10＝9，方差为：
，
标准差为．
由以上计算可见，左边石级路的极差、方差和标准差都比右边小，所以左边石级路起伏小，走起来舒服些．
例4要从甲、乙、丙三位射击运动员中选拔一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：
甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 ；
乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8；
丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 ．
根据这次成绩，应该选拔谁去参加比赛？
分析本题着重考查对方差的意义及实际运用．
解经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91．所以丙应先遭淘汰．
设甲、乙的命中环数分别为和，方差分别是和，则：
．
∵
∴在总成绩相同的条件下，应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛．
说明丙的总成绩显著，应先遭淘汰，然后利用方差的含义，来考查甲、乙二人成绩的稳定性．
例5 小明和小华假期到工厂体验生活，加工直径为100毫米的零件，为了检验他们的产品的质量．从中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：（单位：毫米）
小明：99 10 98 100 100 103
小华：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算小明和小华这6件产品的极差、平均数与方差．
（2）根据你的计算结果，说明他们两人谁加工的零件更符合要求．
解（1）小明：极差＝5，平均数＝100，方差，
小华：极差＝3，平均数＝100，方差＝1．
（2）计算结果说明，小明加工的零件极差大，方差也大，小华加工的零件极差小，方差小，所以小华加工的零件更符合要求。

习题精选
一、概念题
1．天气预报说今天最高气温7℃，最低气温－2℃，则今天气温的极差为多少？
2．据统计，某小区居民中年龄最大的为89岁，年纪最小的为1岁，那么小区人口年龄的极差为多少？
3．你认为下面几种说法中正确的是（）．
A．一组数据的平均值总是正数； B．一组数据的方差有可能是负数；
C．用一组数据中的每个数分别减去平均值，再将得到的差相加，和一定为零；
D．一组数据的标准差一定比方差小．
4．我们可以用一组数据中的__________减去__________所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为________．
5．方差实际上是一种表示一组数据的_________的量，我们可以用“先平均，_________，然后_________，最后再________”的方法得到．
6．标准差与方差有什么关系？这二者与原数据在单位上有什么关系？
7．反映数据离散程度的指标是什么？在一次数学测试中，甲、乙两班的平均成绩相同，甲班成绩的方差为42，乙班成绩的方差为35，这样的结果说明两个班的数学学习状况各有什么特点？
二、读图题
1．观察下面的折线图，回答问题：
（1）__________组数据的极差较大．
（2）__________组数据的方差较大．
2．下图中两组数据哪一组离散程度较大？用什么样的数可以反映它们的离散程度的大小？
3．比较下面两幅频数分布图中的数据，哪组的平均值较大？哪组的标准差较大？
4．观察下面的几组图，分别指出各组中谁的标准差较大，并说说为什么．
（1）
（2）
（3）
5．图中给出了几个气象测量站多年平均最高温度和最低温度，平均日照时数和各个月的降雨日数．从图中你能得到哪些信息？
三、计算题
1．请你计算样本101，98，102，100，99的极差、方差与标准差．
2．求下列各数据组的极差、方差和标准差：
（1）10，11，12，13，9，10，13，11，12，10；
（2）7.5，8.5，8.2，7.7，8.1，7.8，8.3，8.2，7.8，8.0；
（3）78，84，98，92，66，77，75，80，79，81；
（4）1.62，1.58，1.69，1.63，1.65，1.65，1.68，1.55，1.52，1.63．
3．对于下面各组数据，分别求出它们的极差、方差和标准差：（精确到0.1）
（1）－8，－4，5，6，7，7，8，9；
（2）63，70，70，81，83，86，88，91，92，96；
（3）15.1，15.3，15.6，16，16.4，16.4，16.6，16.6；
（4）78，80，82，90，90，94，98，100．
4．使用计算器求下列各数据组的方差和标准差：
（1）7.81，10.20，10.08，9.93，8.18，9.13，8.90，9.98（精确到0.01）；
（2）1.52，1.66，1.58，1.68，1.60，1.74，1.62，1.70（精确到0.001）．
5．一组数据的方差为N，将这组数据中的每个数都作下列变换，所得的新数据的方差是多少？
（1）乘以2；（2）加上2．
四、实际题
1．请你记录一天中8点、9点、……、15点、16点时的室外气温，并对所测得的数据求出方差和标准差．
2．请你就本班学生，对男生和女生的体重分别登记，对得到的两组数据，分别计算它们的极差、方差和标准差．
3．将一根细绳，凭目测（不用尺量，不用任何参考物相对比）将它剪成若干段（5段以上），使剪下的各段长度几乎一样．测量一下，并计算其方差或标准差，看谁的目测能力最强．
参考答案：
一、1．9℃
2．88岁
3．C
4．最大值，最小值，极差．
5．离散程度，再求差，平方，平均．
6．标准差是方差的算术平方根，标准差与原数据具有相同的单位，方差的单位是原单位的平方．
7．反映数据离散程度的指标是方差和标准差．甲班的方差大于乙班的方差，说明甲班的学生成绩较分散，优生和成绩差的学生较多．而乙班的学生成绩较集中，优生和成绩差的学生较少．
二、1．（1）a（2）a
2．a组离散程度较大，用方差、标准差可以反映它们离散程度的大小
3．b组的平均值较大，a组的标准差较大
4．（1）标准差相同，因为虽然数据排列不同，但其实是相同的两组数据（2）b组的标准差较大，因为a组有一些数距离平均值较近（3）b组的标准差较大，因为b组中每个数据都是a组中的两倍，因此标准差也是它的两倍
5．按照我国的四季划分，这三个地方分别表现出四季炎热、冬冷夏热、冬热夏冷的气候特征；第一幅图中气温极差较小，后两幅图中气温极差较大；等等．
三、1．解：极差：102－98＝4，方差：．标准差：．
2．（1）4，1.83，1.4 （2）1.0，0.09，0.30 （3）23，71，8.43 （4）0.17，0.003，0.052
3．（1）17，31.2，5.6 （2）33，108，10.4 （3）1.5，0.3，0.6 （4）22，60，7.7
4．（1）0.76，0.87 （2）0.004，0.067
5．（1）4N（2）N
四、略。