2021-2022学年度强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习试题(无超纲)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（ ）
A ．3
B
C
D ．2、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）
A．
B．C D．8
3、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是
（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm
AB=，则水的最大深度为（）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
BC=，将ABC绕点A顺时针旋转60°得到ADE，此时点B的对5、如图，在ABC中，2
AB=，4
应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、如图，AB 为O 的直径，
4AB =，CD =BC 的长是劣弧BD 长的2倍，则AC 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．9、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
10、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）
A．5 B．9
5
C．
16
5
D．
12
5第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．
2、已知60°的圆心角所对的弧长l是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．
3、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．
4、如图，在Rt△ABC ，∠B =90°，AB =BC =1，将△ABC 绕着点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，那么BM =______________．
5、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD ∥EC ；
（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．
2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构
成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如下图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的45
∠=，AE、AF与BC、CD边分别交
EAF︒
于E、F两点．易证得EF BE FD
=+．
大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90︒，得到ABH，由180
HBE︒
∠=可
得H、B、E三点共线，45
≌，故
∠=∠=，进而可证明AEH AEF
HAE EAF︒
=+．
EF BE DF
任务：
如图3，在四边形ABCD中，AB AD
=，90
EAF︒
∠=，
∠=，以A为顶点的60
∠=∠=，120
B D︒
BAD︒
AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论=+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
EF BE DF
3、在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）画出ABC 关于原点对称的图形111A B C △，并写出点1C 的坐标；
（2）画出ABC 绕点O 逆时针旋转90︒后的图形222A B C △，并写出点2B 的坐标；
（3）写出111A B C △经过怎样的旋转可直接得到222A B C △．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图
中）
4、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．
（1）求BFE ∠的度数；
（2）若5AC BC ==，且CE EF =，求DF 的长．
5、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．
（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；
②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；
（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
分析：连接OA 、OB ，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO 是等边三角形，即可求出⊙O 的
半径．
【详解】
解：连接BO ，并延长交⊙O 于D ，连结DC ，
∵∠A =30°，
∴∠D =∠A =30°，
∵BD 为直径，
∴∠BCD =90°，
在Rt△BCD 中，BC =3，∠D =30°，
∴BD =2BC =6，
∴OB =3．
故选A ．
【点睛】
本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．
2、A
【分析】
过点O 作OE CD 于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形
的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．
【详解】
解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，
AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，
115,53222
OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒
112
OE OP ∴==
在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥
2CD DE ∴==故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．
3、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】
解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4、C
【分析】
连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，如图所示：
则
1
36()
2
BD AB cm
==，O的直径为78cm，
39()
OB OC cm
∴==，
在Rt OBD
△中，15()
OD cm，
391524()
∴=-=-=，
CD OC OD cm
即水的最大深度为24cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、B
【分析】
△为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．
由题意以及旋转的性质可得ABD
【详解】
由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°
∴∠ADB=∠ABD
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°
∴∠ADB=∠ABD=60°
△为等边三角形，即AB= AD =BD=2
故ABD
则CD=BC-BD=4-2=2
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60︒，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．
6、C
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
7、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
8、D
【分析】
连接,,OC OD BC ，根据AB 求得半径,OC OD ，进而根据CD 的长，勾股定理的逆定理证明
90COD ∠=︒，根据弧长关系可得60COB ∠=︒，即可证明COB △是等边三角形，求得2BC =，进而由勾股定理即可求得AC
【详解】
如图，连接,,OC OD BC ，
4AB =
2OC OD ∴==
228OC OD +=，28CD =
∴222OC OD CD +=
OCD ∴是直角三角形，且90COD ∠=︒
2CB DB ∴=
23
BC CD ∴= 2603
BOC COD ∴∠=⨯∠=︒ OC OB =
OBC ∴是等边三角形
2BC OC ∴== AB 是直径，4AB =
90ACB ∴∠=︒
AC ∴=故选D
【点睛】
本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得BC 的长是解题的关键．
9、B
【分析】
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．
【详解】
解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402
ADC AOC ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴40BAD ADC ∠=∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．
10、D
【分析】
连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF ，OE ，OG ，
∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，
∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，
∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，
∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，
∴90BOC ∠=︒，
5BC =，
∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255
OF ⨯==，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
二、填空题
11##
【分析】
延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得
DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，
∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，
∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD
∵DH≥OD-OH，
∴DH，
∴DH，
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H 是以AB 为直径的圆上一点．
2、18.84
【分析】
先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．
【详解】
解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米， 则60 3.14180
r π⨯=， 解得9.42r π=，
则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），
故答案为：18.84．
【点睛】
本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键． 3、3π
【分析】
设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．
【详解】
解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，
根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-， 解得：3
x π=， 故答案是：3π
．
【点睛】
本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．
4
【分析】
设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得
ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BC D、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．
【详解】
解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：
∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，
∴∠ACM=60°，CA=CM，
∴△ACM是等边三角形，
∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，
∵∠B=90°，AB=BC=1，
∴∠BCA=∠CAB=45°，AC CM，
∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，
∴∠ECM=∠MAF=75°②，
∵MF⊥BA，ME⊥BC，
∴∠E=∠F=90°③，
由①②③得△EMC ≌△FMA ， ∴ME =MF ，
而MF ⊥BA ，ME ⊥BC ， ∴BM 平分∠EBF ， ∴∠CBD =45°，
∴∠CDB =180°-∠BCA -∠CBD =90°，
Rt △BCD 中，BD
Rt △CDM 中，DM
∴BM =BD +DM
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB =90°．
5、2
π3
【分析】
根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可． 【详解】
解：如图，AC ⊥OB ，
∵圆心角为60°，OA =OB ， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OC =1
2OB =1，
∴AC =
，
∴S △OAB =12OB ×AC =1
2
∵S 扇形OAB =2602360
π⨯=2
π3，
∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2
π3
故答案为：2
π3
【点睛】
本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 三、解答题
1、（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；
（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝
30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到
AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
证明：（1）连接OC ，
∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE ＝90︒， ∵∠ABC ＝45︒， ∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒， ∵∠AOC +∠OCE ＝180︒， ∴AD ∥EC ；
（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ， ∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45︒，
∵∠BAC ＝75︒，
∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒， ∵AD ∥EC ，
∴30E BAD ∠=∠=︒，
∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°， ∴四边形OAFC 是矩形， ∵OA ＝OC ，
∴四边形OAFC 是正方形， ∴AF OA =， ∵6AD =， ∴1
32
AF AD =
=， 在Rt △AFE 中，30E ∠=︒， ∴AE =2AF =6． 【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2、成立，证明见解析 【分析】
根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ． 【详解】 解：成立．
证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，
ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，
180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，
60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．
AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，
()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，
EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．
【点睛】
本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键． 3、
（1）见解析，()14,1C ； （2）见解析，()23,3B -- （3）绕点O 顺时针时针旋转90︒ 【分析】
（1）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对称点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，再顺次连接，即可求解；
（2）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对称点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，再顺次连接；
（3）根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △，即可求解． （1）
解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对应点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，画出图形如下图所示： （2）
解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，画出图形如下图所示：
（3）
解：根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △． 【点睛】
本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转90︒后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转90︒后对应点的坐标是解题的关键．
4、（1）45°；（2）DF =【分析】
（1）根据旋转的性质得AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，通过等量代换及三角形内角和得AEC ADB ∠=∠，根据四点共圆即可求得；
（2）连接EB ，先证明出()SAS BCE DEF ≌
△△，根据全等三角形的性质得45BEF BFE ∠=∠=︒，在BDE 中利用勾股定理，即可求得．
【详解】
解：（1）由旋转可知：
AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAD CAE ∠=∠，ACE AEC ∠=∠，ABD ADB ∠=∠． 由三角形内角和定理得AEC ADB ∠=∠， ∴点A ，D ，F ，E 共圆． ∴45BFE DAE ∠=∠=︒． （2）连接EB ，
∵AC AE =， ∴ACE AEC ∠=∠． ∵90ACB AED ∠=∠=︒， ∴BCE DEF ∠=∠． 又∵CE EF =，CB ED =， ∴()SAS BCE DEF ≌
△△． ∴BEC DFE ∠=∠，BE DF =． ∴45BEF BFE ∠=∠=︒．
在BDE 中，90DBE ∠=︒，BF BE DF ==，5DE =， ∵222BE BD DE +=，
∴DF = 【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．
5、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析 【分析】
（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；
②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则
BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；
（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ． 【详解】
解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下： 在△CAE 和△ CBD 中，
=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪
∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ）， ∴∠CAE =∠CBD ； ②∵CF ⊥AE ， ∴∠AHC =∠ACB =90°，
∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴BD=2CF，
又∵△CAE≌△CBD，
∴AE=2BD=2CF；
（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：
如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，
由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中点，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位线，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．。