第四章 矩阵·行列式·线性方程组
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
式中 k1 , k2 , , kn 是将序列 1, 2, , n 的元素次序交换 k 次所得到的一个序列， 号表示对 k1 , k2 , , kn 取遍
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
- 104 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
- 105 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
k1 x1 k2 x2 km xm 0
成立，则称这组矢量在 F 上线性相关，否则称这组矢量在 F 上线性无关。 矢量组的线性相关性的讨论：
1°矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量 xi 可用其他矢量的线
性组合来表示，即
xi
1 j m j i
a i (ai1 , ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)
由矩阵任一列的元素构成的 m 维矢量称为列矢量，记为
a1 j a 2j a j (a1 j , a2 j , , amj ) amj
式中表示转置，即行（列）转换为列（行） 。
记忆方法
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和。
例如
a11 a12 a21 a22 an1 an 2 a12 a22 an 2 a1n a11 a2 n a 21 ann an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
6°若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零。
4°用数乘行列式的一行（或列） ，等于将行列式乘以数。例如
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
an1
a11 a 21 an 2 ann an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
5°将行列式的一行（或列）元素乘以数后加到另一行（或列）的相应元素上，行列式的值不变。
ax
j
j
2°包含零矢量的矢量组一定线性相关。 3°矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 中，若有两个矢量相等： xi x j (i j ) ，则该矢量组线性相关。 4°若矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若
矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关。
实对称矩阵按其特征值本节七可分为正定矩阵半正定矩阵负定矩阵半负定矩阵和不定实对称矩阵矩阵它义与充分必要条件如下正定矩阵特征值都大于零的实对称矩阵所有主子式都大于零即半正定矩阵特征值都不小于零的实对称矩阵负定矩阵特征值都为奇数为偶数半负定矩阵特征值都不大于零的实对称矩阵det为奇数为偶数不定矩阵特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵或有两个奇数阶主子式其中一个为正另一个为负或有一个偶数阶主子式ijij第四章矩阵行列式线性方程组反对称矩阵阵具有性质
, C (n, k )
如果所选取的 k 行 k 列分别是第 i1 , i2 , , ik 行与第 i1 , i2 , , ik 列，则所得到的 k 阶子式称为主子式。即
。 从行列式 D 中划去 k 行 与k列 （ ） 后得到的 n k 阶行列式称为子式 M 的余子式， 记作 M （ ）
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
阶子式为 V1 ,V2 , ,Vl ，则
det( A B) U kVk
k 1
l
2.2. 行列式的性质
1° A1 A2 Am A1 A2 Am
Am A ,
m
kA k n A
式中A 1 ，A 2 ，…，A m 全为n阶方阵，k为任一复数。
D
C ( n , k )
M A
（4）
式中表示对标号集 C (n, k ) 中的所有元素求和。 拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果
D
C ( n , k )
M A
（5）
此外还有
D ( ) M A C ( n , k ) 0 ( ) D ( ) M A C ( n , k ) 0 ( )
其中横的一排叫做行， 竖的一排叫做列， 矩阵 A 简记为 (aij ) 或 (aij ) mn 。 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素， n×n 矩阵也称为 n 阶方阵， a11 ， a22 ，…， ann 称为矩阵 A 的主对角线的元素。 行数 m 与列数 n 都是有限的矩阵，称为有限矩阵。否则称为无限矩阵。 1.2. 矢量的线性相关与线性无关 对于 n 维空间的一组矢量 x1 ， x2 ，…， xm ，若数域 F 中有一组不全为零的数 ki (i 1, 2, , m) ，使
§1 矩阵与行列式 1. 矩阵及其秩
1.1. 矩阵与方阵 数域（第三章，§1）F 上的 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 按确定的位置排成的矩形阵列， 称为 m×n 矩阵。记作
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
若 n 阶方阵 A (aij ) ，则 A 相应的行列式 D 记作
D A det A det(aij )
若矩阵 A 相应的行列式 D 0 ，称 A 为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
2.1.2. 标号集
序列 1, 2, , n 中任取 k 个元素 i1 , i2 , , ik 满足
( j 1, 2, , n)
若矩阵 A 的 n 个列矢量中有 r 个线性无关（ r n ） ，而所有个数大于 r 的列矢量组都线性相关，则 称数 r 为矩阵 A 的列秩。类似可定义矩阵 A 的行秩。 矩阵 A 的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作 rank A r 。 矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，2）的最大阶数。
一章，§1，二） ， C (n, k ) 的元素记作 , , ， C (n, k ) 表示
{i1 , i2 ,, ik }
- 103 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
是{ 1, 2, , n }的满足 （1） 的一个子列。 若令 { j1 , j2 , jk } C (n, k ) ， 则 表示 i1 j1 , i2 j2 , , ik jk 。
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 b c2 a1 2 b3 c3 c2 c3 a2 b1 b3 c1 c3 a3 b1 b2 c1 a1b2 c3 a2 b3c1 a3b1c2 a1b3 c2 a2 b1c3 a3b2 c1 c2
b1 a1b2 a2 b1 b2
2°行与列互换后，行列式的值不变，即
A A
式中A表示A的转置矩阵（见本章§2） 。
3°互换行列式的任意两行（或列） ，行列式变号。例如
a12 a22 an 2 a11 a21 an1 a1n a2 n ann a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
5°若 x1 ， x2 ，…， xr 线性无关，而 x1 ， x2 ，…， xr 1 线性相关，则 xr 1 可以表示为 x1 ， x2 ，…，
xr 的线性组合。
- 102 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
1.3. 行矢量与列矢量·矩阵的秩 由矩阵任一行的元素构成的 n 维矢量称为行矢量，记为
Aij (1)i j M ij
且有
a
j 1 n
n
ij
D Aij 0 D Aij 0
(i k ) (i k ) ( j k) ( j k)（2）或源自ai 1ij
（3）
2.1.4. 拉普拉斯展开定理
在 n 阶行列式 D 中任取 k 行（ 1 k n 1 ）,那么包含于所选定的这些行中的所有 k 阶子式与它们各 自的代数余子式的乘积之和等于行列式 D。即对任意 C (n, k ) ， 1 k n 1 ，
2.1.3. 子式·主子式·余子式·代数余子式
从 n 阶行列式 D 中任取 k 行与 k 列（ 1 k n 1 ） ，由这 k 行与 k 列交点处的元素构成的 k 阶行列式 称为行列式 D 的 k 阶子式，记作
M ，
当 C (n, k ) 时， M 是主子式。
§1 矩阵与行列式
a1 b1 a2 b2 an bn
a12 a22 an 2
a1n a1 a12 a2 n a2 a22 ann an an 2
a1n b1 a12 a2 n b2 a22 ann bn an 2
如果 {i1 , i2 , , ik } ， { j1 , j2 , , jk } ，则称
A (1) l 1
为子式 M 的代数余子式。
il jl
l 1
k
k
M
特别，当 k 1 时， {i} ， { j} ，子式 M 就是一个元素 aij ， aij 的余子式记作 M ij ， aij 的代数 余子式记作 Aij ，即
a1n a2 n ann
2.3. 几个特殊行列式
2.3.1. 对角行列式
d1 d2 0 dn 0 di d1d 2 d n
i 1 n
2.3.2. 三角形行列式
l11 0 n l21 l22 lii i 1 ln1 ln 2 lnn
2.3.3. 二阶行列式 a1 a2 2.3.4. 三阶行列式
2. 行列式
2.1. 行列式及其拉普拉斯展开定理
2.1.1. n阶行列式
设
a11 D a21
an1
a22 an 2
a12
a1n a2 n
ann
是由排成 n 阶方阵形式的 n 2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 确定的一个数，其值为 n ! 项之和
D (1)k a1k1 a2 k2 ankn
1 i1 i2 ik n
（1）
i1 , i2 , , ik 构成{ 1, 2, , n }的一个具有 k 个元素的子列，{ 1, 2, , n }的具有 k 个元素的满足（1）的子列的
k k 个子列。因此 C (n, k ) 是一个具有 Cn 个元素的标号集（参见第二十 全体记作 C (n, k ) ，显然 C (n, k ) 共有 Cn
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
- 104 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
- 105 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
k1 x1 k2 x2 km xm 0
成立，则称这组矢量在 F 上线性相关，否则称这组矢量在 F 上线性无关。 矢量组的线性相关性的讨论：
1°矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量 xi 可用其他矢量的线
性组合来表示，即
xi
1 j m j i
a i (ai1 , ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)
由矩阵任一列的元素构成的 m 维矢量称为列矢量，记为
a1 j a 2j a j (a1 j , a2 j , , amj ) amj
式中表示转置，即行（列）转换为列（行） 。
记忆方法
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和。
例如
a11 a12 a21 a22 an1 an 2 a12 a22 an 2 a1n a11 a2 n a 21 ann an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
6°若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零。
4°用数乘行列式的一行（或列） ，等于将行列式乘以数。例如
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
an1
a11 a 21 an 2 ann an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
5°将行列式的一行（或列）元素乘以数后加到另一行（或列）的相应元素上，行列式的值不变。
ax
j
j
2°包含零矢量的矢量组一定线性相关。 3°矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 中，若有两个矢量相等： xi x j (i j ) ，则该矢量组线性相关。 4°若矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若
矢量组 x1 ， x2 ，…， xm 线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关。
实对称矩阵按其特征值本节七可分为正定矩阵半正定矩阵负定矩阵半负定矩阵和不定实对称矩阵矩阵它义与充分必要条件如下正定矩阵特征值都大于零的实对称矩阵所有主子式都大于零即半正定矩阵特征值都不小于零的实对称矩阵负定矩阵特征值都为奇数为偶数半负定矩阵特征值都不大于零的实对称矩阵det为奇数为偶数不定矩阵特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵或有两个奇数阶主子式其中一个为正另一个为负或有一个偶数阶主子式ijij第四章矩阵行列式线性方程组反对称矩阵阵具有性质
, C (n, k )
如果所选取的 k 行 k 列分别是第 i1 , i2 , , ik 行与第 i1 , i2 , , ik 列，则所得到的 k 阶子式称为主子式。即
。 从行列式 D 中划去 k 行 与k列 （ ） 后得到的 n k 阶行列式称为子式 M 的余子式， 记作 M （ ）
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
阶子式为 V1 ,V2 , ,Vl ，则
det( A B) U kVk
k 1
l
2.2. 行列式的性质
1° A1 A2 Am A1 A2 Am
Am A ,
m
kA k n A
式中A 1 ，A 2 ，…，A m 全为n阶方阵，k为任一复数。
D
C ( n , k )
M A
（4）
式中表示对标号集 C (n, k ) 中的所有元素求和。 拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果
D
C ( n , k )
M A
（5）
此外还有
D ( ) M A C ( n , k ) 0 ( ) D ( ) M A C ( n , k ) 0 ( )
其中横的一排叫做行， 竖的一排叫做列， 矩阵 A 简记为 (aij ) 或 (aij ) mn 。 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素， n×n 矩阵也称为 n 阶方阵， a11 ， a22 ，…， ann 称为矩阵 A 的主对角线的元素。 行数 m 与列数 n 都是有限的矩阵，称为有限矩阵。否则称为无限矩阵。 1.2. 矢量的线性相关与线性无关 对于 n 维空间的一组矢量 x1 ， x2 ，…， xm ，若数域 F 中有一组不全为零的数 ki (i 1, 2, , m) ，使
§1 矩阵与行列式 1. 矩阵及其秩
1.1. 矩阵与方阵 数域（第三章，§1）F 上的 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 按确定的位置排成的矩形阵列， 称为 m×n 矩阵。记作
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
若 n 阶方阵 A (aij ) ，则 A 相应的行列式 D 记作
D A det A det(aij )
若矩阵 A 相应的行列式 D 0 ，称 A 为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
2.1.2. 标号集
序列 1, 2, , n 中任取 k 个元素 i1 , i2 , , ik 满足
( j 1, 2, , n)
若矩阵 A 的 n 个列矢量中有 r 个线性无关（ r n ） ，而所有个数大于 r 的列矢量组都线性相关，则 称数 r 为矩阵 A 的列秩。类似可定义矩阵 A 的行秩。 矩阵 A 的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作 rank A r 。 矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，2）的最大阶数。
一章，§1，二） ， C (n, k ) 的元素记作 , , ， C (n, k ) 表示
{i1 , i2 ,, ik }
- 103 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
是{ 1, 2, , n }的满足 （1） 的一个子列。 若令 { j1 , j2 , jk } C (n, k ) ， 则 表示 i1 j1 , i2 j2 , , ik jk 。
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 b c2 a1 2 b3 c3 c2 c3 a2 b1 b3 c1 c3 a3 b1 b2 c1 a1b2 c3 a2 b3c1 a3b1c2 a1b3 c2 a2 b1c3 a3b2 c1 c2
b1 a1b2 a2 b1 b2
2°行与列互换后，行列式的值不变，即
A A
式中A表示A的转置矩阵（见本章§2） 。
3°互换行列式的任意两行（或列） ，行列式变号。例如
a12 a22 an 2 a11 a21 an1 a1n a2 n ann a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
5°若 x1 ， x2 ，…， xr 线性无关，而 x1 ， x2 ，…， xr 1 线性相关，则 xr 1 可以表示为 x1 ， x2 ，…，
xr 的线性组合。
- 102 -
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
1.3. 行矢量与列矢量·矩阵的秩 由矩阵任一行的元素构成的 n 维矢量称为行矢量，记为
Aij (1)i j M ij
且有
a
j 1 n
n
ij
D Aij 0 D Aij 0
(i k ) (i k ) ( j k) ( j k)（2）或源自ai 1ij
（3）
2.1.4. 拉普拉斯展开定理
在 n 阶行列式 D 中任取 k 行（ 1 k n 1 ）,那么包含于所选定的这些行中的所有 k 阶子式与它们各 自的代数余子式的乘积之和等于行列式 D。即对任意 C (n, k ) ， 1 k n 1 ，
2.1.3. 子式·主子式·余子式·代数余子式
从 n 阶行列式 D 中任取 k 行与 k 列（ 1 k n 1 ） ，由这 k 行与 k 列交点处的元素构成的 k 阶行列式 称为行列式 D 的 k 阶子式，记作
M ，
当 C (n, k ) 时， M 是主子式。
§1 矩阵与行列式
a1 b1 a2 b2 an bn
a12 a22 an 2
a1n a1 a12 a2 n a2 a22 ann an an 2
a1n b1 a12 a2 n b2 a22 ann bn an 2
如果 {i1 , i2 , , ik } ， { j1 , j2 , , jk } ，则称
A (1) l 1
为子式 M 的代数余子式。
il jl
l 1
k
k
M
特别，当 k 1 时， {i} ， { j} ，子式 M 就是一个元素 aij ， aij 的余子式记作 M ij ， aij 的代数 余子式记作 Aij ，即
a1n a2 n ann
2.3. 几个特殊行列式
2.3.1. 对角行列式
d1 d2 0 dn 0 di d1d 2 d n
i 1 n
2.3.2. 三角形行列式
l11 0 n l21 l22 lii i 1 ln1 ln 2 lnn
2.3.3. 二阶行列式 a1 a2 2.3.4. 三阶行列式
2. 行列式
2.1. 行列式及其拉普拉斯展开定理
2.1.1. n阶行列式
设
a11 D a21
an1
a22 an 2
a12
a1n a2 n
ann
是由排成 n 阶方阵形式的 n 2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 确定的一个数，其值为 n ! 项之和
D (1)k a1k1 a2 k2 ankn
1 i1 i2 ik n
（1）
i1 , i2 , , ik 构成{ 1, 2, , n }的一个具有 k 个元素的子列，{ 1, 2, , n }的具有 k 个元素的满足（1）的子列的
k k 个子列。因此 C (n, k ) 是一个具有 Cn 个元素的标号集（参见第二十 全体记作 C (n, k ) ，显然 C (n, k ) 共有 Cn