黑龙江省部分学校2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

黑龙江省部分学校2023-2024学年高三下学期第二次模拟考

试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．已知3

13i

1i z -=

+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

2．已知(){}2{10},log A x x x B x x a =-<=≤∣∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[)0,∞+

B ．[)1,+∞

C ．(]0,1

D ．10,2⎛⎤

⎥⎝⎦

3．为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（ ） A ．82

B ．83.24

C ．83.92

D ．84

4．已知向量(3,2)a =r

，(1,)b x =-r ，则 “x =是“()()a b a b +⊥-r r r r ”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知0a >且1a ≠，若函数()231

x

x x f x a ⋅=+为偶函数，则实数=a （ ）

A ．3

B ．9

C ．13

D ．1

9

6．已知点P 是圆22:(2)(1C x y -+=上的动点，点()(1,0,A B ，则当∠PAB 最大时，sin PAB ∠=（ ）

A B ．1 C D 7．函数()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数

()1y f x =-在区间[]0,2π内的零点个数为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

8．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为

1

11

，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14

；若前一题答对，则此题答对的概率为1

3.记甲同学

回答第n 题时答错的概率为n P ，当2n ≥时，n P M ≤恒成立，则M 的最小值为（ ） A ．

97

132

B ．

49132

C ．

4766

D ．

4966

二、多选题

9．已知椭圆22

:143x y C +=的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，若过1F 且倾斜角为

30o 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，则（ ）

A ．C 的离心率为

1

2

B ．122PF PF ⋅=uuu r uuu r

C ．点

2F 到直线l D ．PAB V 的周长为8

10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 是线段AB 上靠近B 点的三等分点，F 是11A D 中点，则（ ）

A ．该正方体外接球的表面积为27π

B ．直线EF 与CD

C ．平面1B EF 截正方体所得截面为等腰梯形

D ．点F 到平面11A BC 11．已知函数()()1

ln 2,3(0)f x x g x x x

=+=->，则（ ）

A ．函数()()()h x f x g x =-没有零点

B ．直线1y x =+是函数()f x 与()g x 图象的公共切线

C ．当1x ≠时，函数()g x 的图象在函数()f x 图象的下方

D ．当1

23

x <<时，

()()()()()f g x f x g f x >

三、填空题

12．已知6

m x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的二项展开式中，4x 项的系数是18，则m 的值为.

13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆

上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为个圆锥的高为，体积为.

14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>､右焦点分别为12,F F ，

过2F 作C 的一条渐近线的垂线并交C 于,M N 两点，若3

4

MN =

，则1△MNF 的周长为.

四、解答题

15．已知函数()()()ln 1f x ax x a =+∈R . (1)若0a >，求函数()f x 的单调区间； (2)若1a =，求函数()f x 的最值.

16．2023 年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下： 年份代码x ，综合产值y （单位：亿元）

(1)请通过样本相关系数，推断y 与x 之间的相关程度；（若0.75r ≥，则线性相关性程度很强;若0.250.75r <<，则线性相关性程度一般，若0.25r ≤，则线性相关性程度很弱.）

(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测 2024 年该省刺梨产业的综合产值.

参考公式：样本相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑经验回归方程 ˆˆˆy

bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()

()

1

2

1

ˆn

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑，ˆˆa

y

bx =-. 参考数据： 7.14.≈

17．如图，四棱锥A BCDE -中，平面ABE ⊥平面BCDE ，底面

BCDE 为直角梯形，DE P BC ，,,3,1,4CD DE AB AE AB AE DE BC ⊥⊥===.

(1)求证：AB CE ^；

(2)求二面角C AB E --的正弦值.

18．已知动圆过定点()2,0A ，且截y 轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；

(2)若点()1,0F ，过点()5,4P -的直线交C 的轨迹于,M N 两点，求FM FN ⋅的最小值. 19．已知集合{}{}{}1212,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b a ==L L L L 是公比为2的等比数列且2343,1,3a a a ++-构成等比数列.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设{}n b 是等差数列，将集合A B ⋃的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c . ①若51n b n =-，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求使2024n S ≤成立的n 的最大值； ②若A B ⋂=∅，数列{}n c 的前

5项构成等比数列，且191,8c c ==，试写出所有满足条