信号与系统课后题答案

《信号与系统》课程习题与解答
第二章习题
(教材上册第二章p81-p87)
2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24
第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。

图(a)：微分方程：
11
222012()2()1()()()2()()
()()2()
()()
c c
c di t i t u t e t dt
di t i t u t dt
di t u t dt du t i t i t dt ⎧
+*+=⎪⎪
⎪+=⎪⇒⎨
⎪=⎪⎪⎪=-⎩
图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2
021'
2'21'
2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i C
t e Ri Mi Li dt i C
)
()(1)(2)()2()(2)()(330200222
0330442
2
t e dt
d MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==21
1'101
)(
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dt
d
t v L i dt d
)(1)
(1)
(10
110'1
122
01
1
∵ )
(122
111213t i dt d L C i i i i +=+=
)
(0(1]1[][101011022110331t e dt d
R t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒
图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧
+-=++=⎰)
()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μ
RC v dt d 1
)
1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=
)
()(1)1(0'
0t e R v t v R Cv v =+-⇒
2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。

（1） 2)0(,1)0( 0)(2)(2)('2
2===++++r r t r t r dt d t r dt d 给定：； 特征方程：0222
=++αα
特征根：
+-=11αj --=12αj
零输入响应：t t
e A e
A t r 2121)(αα+=
代入初始条件，⇒2A 121=-=A
)sin 3(cos 2)(21t t e e e t r t
t t -=+-=-αα （2） 2)0(,1)0( 0)()(2)('
2
2===++++r r t r t r dt d t r dt d 给定： ； 特征方程： 0122
=++αα
特征根：
121-==αα
零输入响应：t
e A t A t r -+=)()(21
代入初始条件，⇒1A 321==A t
e t t r -+=)13()(
（3） 1)(0,0)0()0( 0)()(2)("'2
233====+++++r r r t r dt d t r dt d t r dt d 给定：
特征方程： 022
3=++ααα
特征根：
121-==αα 0=α
零输入响应：
321)()(A e A t A t r t
++=- 代入初始条件，⇒1A 1A 321=-==A
t
e t t r -+-=)1(1)(
2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：
（1） )()(,0_)0(),()(2)(t u t e r t e t r t r dt d
===+ （2） )
()(,0_)0(),(3)(2)(t u t e r t e dt d
t r t r dt d ===+
（3） )
()(,1_)0(,1_)0(),()(4)(3)(2'22t u t e r r t e dt d
t r t r dt d t r dt d ====++
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其r(0+)值，对（3）写出r(0+)
和r’(0+)值。

解: (1) 由于方程右边没有冲激函数)(t δ及其导数，所以在起始点没有跳变。

∴0)r(0)r(0 -==+
(2) )
()(d )(3)(2)(t t e dt t e dt d t r t r dt d δ==+ ，即方程右边有冲激函数)(t δ
设：)
()()(t u b t a t r dt d
∆+=δ )()(t u a t r ∆=
则有：)(3)(2)()(t t u a t u b t a δδ=∆+∆+
-6b 3,a ==⇒
3)0()r(0 =+=∴-+a r
(3) )
()(dt d
)()(4)(3)(222t t e t e dt d t r t r dt d t r dt d δ==++ 即方程右边含有)(t δ
设：)()()()('2
2
t u c t b t a t r dt d ∆++=δδ
)
()()(t u b t a t r dt d
∆+=δ )()(t u a t r ∆=
则有：)()(4)(3)(3)(2)(2)(2'
t t u a t u b t a t u c t b t a δδδδ=∆+∆++∆++
43
c 21b 0a -
===∴ ∴1)0()0(=+=-+a r r
23)0()0(''=
+=-+b r r
2-6 给定系统微分方程
)(3)()(2)(3)(2
2t e t e dt d t r t r dt d t r dt
d +=++
若激励信号和起始状态为以下二种情况:
(1) e(t)=u(t),r(0-)=1,r ′(0-)=2
(2) e(t)=e -3t
u(t),r(0-)=1,r ′(0-)=2
试分别求它们的完全响应,并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量.
2-7 电路如图所示，t=0以前开关位于“1”，已进入稳态，t=0时刻，S 1和S 2同时自“1”转至“2”，求输出电压v0(t)的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分量（E 和I S 各为常量）。

解：-=0t 时刻，)0()0(0--==v E u c
题图2-7
)()()()
()(00t u t v t u I R
t v t pCu c s c ==+
∴系统微分方程：)
()(1
)(00t u I t v R t v dt d C s =+ 零状态响应：)()()()()(111t u RI e
RI t u B e A t r s t RC
s t RC
zi +-=+=-
-
零输入响应：)()()(112t u Ee
t u e
A t r t RC
t RC
zs --
==
完全响应：()()()(=+=t r t r t r zs zi t RC
Ee 1-
)()1t u RI e
RI s t RC
s +--
2-8 电路如图所示，0<t 时，开关位于“1”且已达到稳定状态，0=t 时刻，开关自“1”
转至“2”。

（1） 试从物理概念判断i(0-)，i’(0-)和i(0+)，i’(0+)；
（2） 写出+≥0t 时间内描述系统的微分方程表示，求i(t)的完全响应；
（3） 写出一个方程式，可在时间∞<<∞-t 内描述系统，根据此式利用冲激函数匹配原理判断0-时刻和0+时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。

解： （1）-=0t 时刻，0)0(i )i(0 10)0(l -===--v u c
10
)]0()0([1
)0(1)0(0)0(1
)0(0
)0(''=-====
=--+--+c l l u e L u L i u L i i
（2）+>0t 时间内系统的微分方程：
⎪⎩⎪⎨⎧
==++)
()(0)()()(t u dt d C t i t Ri t i dt
d L t u c c
)()()(22=++⇒t i t i dt d
t i dt d
全解： )(t i t j t j e
A e
A )2
3
21(2)2
321(1--+-+=
代入初始条件10)0(,0)0('
==++i i
)23
sin(
3
20)(2
1t e t i t -=
⇒
（3）在∞<<∞-t 时间内，系统微分方程：
)
()()()(22t e dt d t i t i dt d t i dt d =++⇒，其中)(1010)(t u t e +=
2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应)(t h 和阶跃响应)(t g
（1） )
(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+
（2） )()()()()(2
2t e t e dt d t r t r dt d t r dt d +=++
（3） )
(3)(3)()(2)(22t e t e dt d
t e dt d t r t r dt d ++=+
解：（1）)()(t t e δ=对应系统冲激响应h(t) )
(2)(3)('t t r t r dt d
δ=+
)()(3t u Ae t h t
-=
用冲激函数匹配法，设：
)
()()()('t u c t b t a t h dt d
∆++=δδ )()()(t u b t a t h ∆+=δ
则有：
)(2)(3)(3)()()(''t t u b t a t u c t b t a δδδδ=∆++∆++ 18,6,2 =-==∴
c b a )(6e -(t)2h(t) -3t
t u δ=∴
)()(t u t e =对应于系统的阶跃响应g(t)
则有：)(2)(3)(t t r t r dt d
δ=+
)()(3t u Ae t g t -= 设：)
()()(t u b t a t g dt d
∆+=δ )()(t u a t g ∆= 6,2-==⇒b a
)(2)(3t u e
t g t
-=⇒
(2) )()()()()(2
2t e t e dt d t r t r dt d t r dt d +=++
)()(t t e δ=对应系统冲激响应h(t)： )()()()()('
2
2t t t h t h dt d t h dt d δδ+=++
)(][)()2
3
21(2)2
321(1t u e
A e
A t h t j t j --+-+=
1
1
)(2+++=
p p p p H 23
1321323
1321
3j p j j j p j j ---
-+
+--
+=
∴
t
j
t
j
e j e j t h 2
3
12
31)3
2121()321
21()(--+--++= 0≥t
)()23sin 3123(cos
)(2
1t u t t e
t h t +=-
∴
⎰⎰∞
-==t
t d h d h t g 0
)()()(τ
τττ
)(]1)23sin 3123cos
([2
1
t u t t e
t ++-=-
（3）)
(3)(3)()(2)(22t e t e dt d
t e dt d t r t r dt d ++=+
21
1233)(2++
+++++=p p p p p p H ∴
)()()()()()(2't u e t t t p H t h t
-++==δδδ ∴)
()21
23()()()()()(202t u e t d e t u t d h t g t t t -∞---+=++==⎰⎰δτδτττ
2-10 一因果性的LTI 系统，其输入、输出用下列微分—积分方程表示：
⎰∞∞
---=+)
()()()(5)(t e d t f e t r t r dt d
τττ
其中)(3)()(t t u e t f t
δ+=-，求该系统的单位冲激)(t h 。

解：⎰∞∞---=+)
()()()(5)(t e d t f e t r t r dt d
τττ
)(3)()(t t u e t f t
δ+=-，)()(t t e δ=代入 )(2)()()(3)()()()()(5)(t t u e t t t u e t e t e t f t r t r dt d
t t δδδ+=-+=-*=+--
)(2)()(5)(t t u e t r t r dt d
t δ+=+-
用算子表示为：())
()211
(2)(11)()5(t p t t p t r p δδδ++=++=+
)5711(41)211(51)(+++=+++=
p p p p p H
∴)
()47
41()()()(5t u e e t p H t h t t --+==δ
2-12 有一系统对激励为()t u e =1时的完全响应为)(2)(1t u e t r t
-=，对激励为
)()(2t t e δ=时的完全响应为)()(2t t r δ=.
(1)
求该系统的零输入响应)(t r zi ；
（2） 系统的起始状态保持不变，求其对于及激励为
)()(3t u e t e t
-=的完全响应)(3t r 。

解：（1）∵
)()()(t r t r t r zs zi +=
⇒ )()()()()(22)
(11t r t r t r r t r t r zs zi t zs zi +=+=
由题知：)
()(12t r dt d
t r zs zs =
)()()()()()(112121t r dt d
t r t r t r t r t r zs zs zs zs -
=-=-
用算子表示为：)()(2)()1()()(121
t t u e t r p t r t r t
zs δ-=-=--
即：
)(11)()112(11)(1t p t p p t r zs δδ+=-+-=
∴
)()(1t u e t r t
zs -= ())(11
)()(1)()(11t p p H t p t h t e t r zs δδ+==
*=
1111)(+=
÷+=⇒p p
p p p H
∴系统的零输入响应为
)()()()(11t u e t r t r t r t
zs zi -=-= （2）
)()(3t u e t e t
-=
)
()()(11
1)()()(33t u te e t p p p t e p H t r t t zs ---=++=
=δ
)()2()(3
3t u e t r r t r t
zs zi --=+=⇒
2-13 求下列各函数)(1t f 与)(2t f 的卷积)(1t f *)(2t f
（1）
)()(),()(21t u e t f t u t f at
-== （2） )45cos()(),()(21︒+==t t f t t f ωδ
（3） )2()1()()],1()()[1()(21---=--+=t u t u t f t u t u t t f （4） )1()1()(),cos()(21--+==t t t f t t f δδω
（5）
)(sin )(),()(21t tu t f t u e t f t
==-α 解：（1）
τ
τταταd t u u e t u e t u t f t f t
)()()()()()(21-=*=*⎰∞
∞
---
)
1(1
t t
e d e αατατ---=
=⎰
（2）)45cos()45cos()()()(21︒
︒+=+*=*t t t t f t f ωωδ
（3）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<<-+<<-+><=*⎰⎰-2
112132,)1(2
1,)1(3,1,0)()(t t
t d t t d t t t t f t f ττττ
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<++-<<-><=32,232121),1(2
13,1,022t t t t t t t
（4）)]1(cos[)]1(cos[)]1()1([)cos()()(21--+=--+*=*t t t t t t f t f ωωδδω
（5）
τ
τττττατατ
d t
e d t u t u e
t f t f t
)sin()()sin()()()(0
21-=--=*⎰⎰-∞
∞
--
)(1cos sin 2
t u e t t t ++-=-ααα
2-14 求下列两组卷积，并注意相互间的区别
（1）)1()()(--=t u t u t f ，求)(*)()(t f t f t s = （2） )2()1()(---=t u t u t f ，求)(*)()(t f t f t s =
解：（1）)]1()([)]1()([)()()(--*--=*=t u t u t u t u t f t f t s
)}1()]1()([{)]1()([)(1
)(-+--*--=*
=t u t u t u t t t t f p t pf δδ
)2()]2()1()[1()1()]1()([--------+--=t u t u t u t t u t u t u t )]2()1()[2()]1()([----+--=t u t u t t u t u t
s(t)波形如图:
（2） )]2()1([)]2()1([)()()(---*---=*=t u t u t u t u t f t f t s
)}2()]2()1()[1{()]2()1([)(1
)(-+----*---=*
=t u t u t u t t t t f p
t pf δδ)]4()3()[4()]3()2()[2(----+----=t u t u t t u t u t s(t)波形如图：
2-15 已知)()()(),5()5()(),1()1()(21
21321-++=-++=--+=t t t f t t t f t u t u t f δδδδ，画出下
列各卷积波形
（1） )(*)()(211t f t f t s =
（2） )(*)()(212t f t f t s =)(*2t f （3）
)(*)]}5()5()][(*)({[)(2231t f t u t u t f t f t s --+=
（4） )(*)()(314t f t f t s =]
(1) )5()5()()()(11211-++=*=t f t f t f t f t s
(2) )()]5()5([)()()()(2112211t f t f t f t f t f t f t s *-++=**= )10()(2)10(111-+++=t f t f t f (3)
)(*)]}5()5()][(*)({[)(2231t f t u t u t f t f t s --+=
)()]5()5()][5()5([211t f t u t u t f t f *--+-++= )()]}5()4([)]4()5({[2t f t u t u t u t u *---++-+=
)
10()()9()1()1()9()()10(----+++--+-++=t u t u t u t u t u t u t u t u )10()9()1()1()9()10(---+--+++-+=t u t u t u t u t u t u
(4)
)
21
()21()()()(11314-++=*=t f t f t f t f t s
2-17 已知某一LTI 系统对输入激励)(t e 的零状态响应
τττ
d e e
t r t t zs )1()(2-⎰=-∞- 求该系统的单位冲激响应。

解：设系统的单位冲激响应h(t) 则：
⎰+∞
∞
--=*=τ
ττd t h e t h t e t r zs )()()()()(
由题意有：
)(e u 1- )1()(3
-t 1-u -t 2⎰∞
-∞-=-⎰=du u e d e e
t r t t zs ττττ
令
τ
τττττττd e t u e d e u t t )()](3[)(e 3
13
-t 1--t --=
=⎰
⎰∞
---∞
令
)()3()
1(t e t u e t *-=- ∴
)3()()
1(t u e t h t -=- 2-18 某LTI 系统，输入信号)(2)(3t u e t e t
-=，在该输入下的响应为)(t r ，即)]([)(t e H t r =，
又已知
)()(3)]([
2t u e t r t e dt d
H t -+-=
求该系统的单位冲激响应为)(t h 。

解：对于LTI 系统，若激励e(t)对应于响应r(t)=H[e(t)]，则激励)(t e dt d 对应于响应
)()()()
()()(''t e t h t r t e t h t r *=*= )
(2)(6)(3t t u e t e dt d
t δ+-=-
)]
(2)(6[)()()(3't t u e t h t r dt d
t r t δ+-*==⇒- )(2)(3)
(2)()(3t h t r t h t e t h +-=+*-=
由题有：)]
([)(t e dt d
H t r dt d =
∴ )
(2)(3)()(3)(2t h t r t u e t r t r dt d
t +-=+-=-
∴)
(21
)(2t u e t h t -=
2-19 对题图所示的各组函数，用图解的方法粗略画出)(1t f 与)(2t f 卷积的波形，并计算卷
积积分)()(21t f t f *。

解：图(a) ())2()2()]2()2([)()(11121-++=-++*=*t f t f t t t f t f t f δδ
波形如图：
图(b)
⎪⎩⎪⎨⎧>+<=*⎰⎰⎰∞++--++∞
-+--1-1
1)1(1)-(t -1
)1(210 t ,2e 0 t ,)()(t t t t d e d d e t f t f ττττττ
⎩⎨⎧><=0 t ,e -20 t ,1t -)()2()(t u e t u t
--+-= 图(c)：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧+<<<<<<+><=*⎰⎰⎰-πππττπττττπ1
1
-t t 0
211t ,sin 2t 1 ,d 2sin 1t 0 ,d 2sin 1t 0, t ,0)()(t t d t f t f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+<<+<<<<+><1t 1],1)-2[cos(t t 1 cost],
-1)-2[cos(t 1t 0 cost),-2(11t 0, t ,0ππππ
2-20 题图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为： )()(1t u t h = （积分器） )1()(2-=t t h δ（单位延时） )()(3t t h δ-= （倒相器）
-5 -3 -1 0 1 3
5
1 2
t 1 0 1
2
1()f τ
2()
f t τ-
(1(1)t e
u t ττ--+-+
t
π
2()
f τ
[]sin ()()u u ττπ--
-1
2 1()
f t τ-
t
=
试求总的系统的冲激响应)(t h 。

解：)()()()()(3121t h t h t h t h t h **+= )]([)()1()(t t u t t u δδ-**-+= )1()(--=t u t u
2-21 已知系统的冲激响应)()(2t u e t h t
-=
（1） （1） 若激励信号为
)2()]2()([)(-+--=-t t u t u e t e t
βδ 式中β为常数，试决定响应)(t r 。

（2） （2） 若激励信号表示为
)2()]2()()[()(-+--=t t u t u t x t e βδ
式中)(t x 为任意t 函数，若要求系统在t>2的响应为零，试确定β值应等于多少
解：（1）
)]2()([)()()()(2--*=*=--t u t u e t u e t e t h t r t t )2()(2-*+-t t u e t
βδ
)
2()2()()()()2(2)(0
2
2)(2-+----=---------⎰⎰
t u e d t u e u e d t u e u e t t t t t βττττττττττ)
2()()([2
)2(20
-+-=⎰
⎰------t u e t u d e t u d e e t t t t βττττ
当20<<t 时，t
t t t e e d e e t r 20
)(-----==⎰ττ
当2>t 时，
)2(2)2()]1()1[()(------+---=t t t t e e e e t r β
)1(2
42-+=-e e e t β （2）
)2()()]2()()[()()()()(22-*+--*=*=--t t u e t u t u t x t u e t e t h t r t
t βδ
)
2( )2()()()()()()2(20
2
)(2)(2-+----=------⎰⎰t u e d u x t u e d u x t u e t t t
t t βτ
τττττττττ
)
2( )2()()())()2(20
2
)(2)
(2-+--=------⎰⎰t u e t u d x e t u d x e
t t
t
t t βττττττ
由题意有， 当2>t 时，0)(=t r
)
2( )2()()())(r(t) )2(20
2
)(2)(2-+--=------⎰⎰t u e t u d x e t u d x e t t
t
t t βττττττ
)2()()2(22
)(2=-+=----⎰t u e d x e t t βτττ
∴ τ
τβτd x e e )(20
24⎰--=
2-23 化简下列两式：
（1）
)
212(2-t δ；
令0212)(2=-
=t t f 则：
21 t 2121-==t
2)(f 2)(2'1'-==t t f
)]
21()21([21)41(21)()
(1)212( 22
1'2
++-=-=-=-∴∑=t t t t t t f t i i i δδδδδ
（2） )(sin t δ。

令 2, 1, 0,(k
0sin ±±==⇒=πk t t ……） ∑+∞
∞=∴-)
k -(t (sint) πδδ
2-27 试求下列各值，设系统起始状态为零：
（1） )(t p A δα+ （2）)()(2
t p A δα+ （3） )())((t p p A
δβα++
解：（1）)
()(t u Ae t p A
t αδα-=+
（2）)()(]0
)([)()(2
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