高中2023届毕业班高考押题信息卷(一)(理科)数学【含答案】

高中2023届毕业班高考押题信息卷（一）（理科）数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，则集合2
{|60},{|4}A x x x B y y x =+-≥==≤≤()R A C B = A. B. (,0)[2,)-∞+∞ (,0)(2,)-∞+∞ C.
D.
(,3][2,)
-∞-+∞ (,3](2,)-∞-+∞ 2. 走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机
记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是A ．甲走路里程的极差等于10B ．乙走路里程的中位数是26
C ．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数
D ．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差
3. 已知平面向量，，a ，b 的夹角为60°，(t R )，则实数t =
||2a =||1b =|+a t |=b ∈A ．
B ．1
C ．
D. 1
-2
1
1
±4. 若直线是曲线的一条切线，则实数y ax =1ln 2+=x y =
a A ．
B ．
C ．
D ．
12
e -
12
e
12
2e
12
2e
-
5. 函数的部分图象大致形状是
1e ()sin 1e x
x
f x x -=⋅+
A
B C
D
6. 已知正方体(如图1)，点P 在棱上(包括端点)．则三棱锥
1111ABCD A B C D -1DD 的侧视图不可能是
1B ABP -
A
B
C
D
7. 已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准
24y x =方程为
A.
B.
C. D. 1232
2=+y x 22
143x y +=14522=+y x 156
2
2=+y x 8.
已知为常数)，若在上单调，且，则()sin().(0,f x x ωϕωϕ=+>()f x (,62ππ5()()(263f f f πππ==-的值可以是
ϕA. B.
C.
D. 56π
-
6π
-
3π
23
π
11.
已知双曲线C 的方程为
的直线与圆
22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>l 相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B ，且M 为AB
中点，
2220(0)
x y mx m +-
=>则双曲线C 的离心率为A. 2
12.已知函数的定义域均为R ，且满足，
(),()f x g x (1)(3)4,(1)(3)6---=++-=f x g x g x f x 为奇函数，则(2)g x +107
1()n f n ==
∑A ． B ．
C ．
D ．5350-5250
-5150
-5050
-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若复数z 满足，则z 的共轭复数的虚部为
.
(2i)12i z +=-z 14.在之间任取一个实数m ，使得直线与圆
有公共点的概率为 .
[4,4]-0x y m ++=22
2x y +=15. 已知正三棱柱所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为，则该正三棱柱体积的最大
111ABC A B C -323π
值为
.
16. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则当边c
ABC ∆cos cos a C c A b c -=-1a c +=取得最大值时，的周长为
.
ABC ∆三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
{}n a n n S 231n n S a =-（1）求
的通项公式；
{}n a （2）若
，求数列的前项和. 13(1)(1)n
n n n b a a +=
++{}n b n n T 18.（本小题满分12分）
“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球
（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：
抽到的红球个数0123优惠折扣
无折扣
九折
八折
七折
（1）现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；（2）若李女士在该商场消费金额为x 元（），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对300x >李女士选择何种优惠方案提出建议.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，点E ，F 分别是，中点，平面平面．
111ABC A B C -BC 11A C 11ABB A AEF
l =（1）证明：；
l EF ∥（2）若平面，且，求直线l 与
AB AC ==11ACC A ⊥11ABB A 1AB EF ⊥平面所成角的余弦值．11A B E 20.（本小题满分12分）
已知抛物线C ：，过的直线与C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点.
22y x =(1,0)P （1）证明：直线OA ，OB 的斜率之积为定值；（2）若线段AB 的垂直平分线交y 轴于M ，且，求直线AB 的方程.
12
tan 5AMB ∠=
21.（本小题满分12分）
已知R )，
.()ln 1(f x x kx k =-+∈()(e 2)x
g x x =-（1）求的极值；
()f x （2）若，求实数k 的取值范围.
()()g x f x ≥（二）选考题：共10分。

请考生在第22，23题中任选一题作答。

如果多做，则按做的第一题记分。

22. [选修4—4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为：（为参数），曲线C 2的参数方
⎪⎩⎪
⎨⎧==ϕϕtan 2cos 1
y x ϕ程为：（t 为参数）.
sin 2sin cos x t
y t t
=⎧⎨
=+⎩
（1）将曲线C 1，C 2化为普通方程；
（2）若曲线C 2与y 轴相交于A ，B ，与x 轴相交于C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，射线
与曲线C 1相交于P ，求四边形ACBP 的面积.
:(0)
6
l π
θρ=
≥23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知，且.证明：
,,x y z +
∈R 1x y z ++=（1）
；
13++≤
xy yz zx （2）
.2221
2++≥+++x y z y z z x x y
高中2023届毕业班高考押题信息卷（一）
理科数学参考答案及评分标准
1、选择题题号1234567891011
12答案A
C
A
D
C
D
B
A
C
D
B
A
2、填空题
13.1 14.
15.8 16.1
2
3-3、解答题
17.（1）解： 当时，可得，解得. …………1分1n =1112231S a a ==-11a =因为
，当时，可得.
231n n S a =-2n ≥11231n n S a --=-两式相减，可得，即，即. …………4分1233n n n a a a -=-13n n a a -=13
n
n a a -=所以数列
是首项为，公比为的等比数列.
{}n a 11a =3q =所以.
…………6分
11
13n n n a a q --==（2）解：因为，可得. …………8分
13n n a -=11133311
((1)(1)(31)(31)23131n n n n n n n
n n b a a --+===⋅-++++++所以
01213111111[()((2313131313131
n n n T -=
⋅-+-++-++++++ .
…………12分
311331()22314231n n
=
⋅-=-⋅++18.（1）设事件A ：抽奖的顾客获得八折优惠，则； …………2分21
333
69
()20
C C P A C ⋅==由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为
，设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P ，9
20
则；1
2
9999
(12020200
=⨯-=
P C 所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为
. …………5分
99
200
（2）方案一：设实付金额，则,（）；
…………6分
1ξ160x ξ=-300x >方案二：设实付金额，则的可能取值有：x ，0.9x ，0.8x ，0.7x ；（）.
2ξ2ξ300x >； ； ；
032361()20C P x C ξ===12332369(0.9)20C C P x C ξ===29(0.8)20P x ξ==3
32361(0.7)20C P x C ξ===
所以
…………10分
21991
0.90.80.70.852*******E x x x x x ξ=
+⋅+⋅+⋅=①若，解得，选择方案一；600.85x x -<300400x <<②若，解得，选择方案一或方案二均可；600.85x x -=400x =③若，解得，选择方案二. …………12分
600.85x x ->400x >19.（1）取中点G ，连接，.
AB EG 1A G ∵E ，G 分别是，中点，∴且
.
BC AB EG AC ∥1
2EG AC =
又∵且，∴且.1A F AC ∥112A F AC =1A F EG ∥1=A F EG ∴四边形
为平行四边形，∴.
…………3分
1EGA F 1EF A G ∥又平面
，平面，∴EF ∥平面.EF ⊄11ABB A 1AG ⊂11ABB A 11ABB A ∵平面，平面平面，∴． …………5分
EF ⊂AEF AEF ⋂11ABB A l =EF l ∥（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，.
1AA ⊥111A B C 111AA AC ⊥111AA A B ⊥∵平面
平面，平面平面，平面.
11ACC A ⊥11ABB A 11ACC A 111ABB A AA =11AC ⊂11ACC A ∴平面，∴.
…………6分
11A C ⊥11ABB A 1111A C A B ⊥故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
1A 11A C 11A B 1AA x y z 设
，则，，，.
1AA a
=1(0,
B
F )E a (0,0,)A a 所以，
.1(0,)AB a =-
(0,)EF a =- 又，则，解得. …………8分
1AB EF ⊥1
0AB EF ⋅=
2a =所以，，则，
.
2)E (0,0,2)
A 11(0,A
B =
1
2)A F = 设平面法向量为，
11A B E (,,)n x y z =
所以，即，取
.
…………10分
11
10
0n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
2
0z ⎧=⎪+=x =1)n =- 由（1）知直线，则l 方向向量为.EF l ∥(0,2)EF =- 设直线l 与平面所成角为.
11A B E α
则
，则
sin cos ,n EF n EF n EF
α⋅===
⋅
cos α=
所以直线l 与平面
…………12分
11A B E 20.（1）设，设直线AB ：x =my +1.
1222(,),(,)A x y B x y 联立化简可得：221
y x x my ⎧=⎨=+⎩2220.
y my --=由韦达定理可得：； …………2分
12122,2y y m y y +==-所以
121222121212
4
2.22OA OB y y y y k k y y x x y y ⋅=
===-⋅所以直线OA ，OB 的斜率之积为定值. …………4分2-（2）设线段AB 的中点N ，设.
AMN θ∠=则，解得，所以，即； …………6分2
2tan 12tan tan 21tan 5AMB θθ
θ∠===-2
tan 3
θ=||2||3AN MN =||4||3AB MN =所以； …………8分
12|||AB y y =-=又线段AB 的中点N ，可得，所以
.12
2
N
y y y m +=
=211N N x my m =+=+因为，所以，所以. …………10分
MN AB ⊥MN k m =-
2|||1)N M MN x x m =-=+所以，解得
|
|4
||3AB
MN ==m =所以直线AB 的方程为：或. …………12分
10x -=10x +-=21.）（）已知（0,1
)(,1ln )(1>-=
'+-=x k x
x f kx x x f 无极值。

恒成立，时，当)(0)(0x f x f k ≥'≤）上单调递减，）上单调递增，在（，在（时当+∞-=
'>,1
10)(,1)(,0k
k x f x kx x f k 无极小值。

极大值.ln 1
()(k k
f x f -== …………4分无极小值。

时，无极值。

当时，综上：当极大值,ln )(0)(0k x f k x f k -=>≤
时恒成立。

在则）若（001ln )2(),()(2>≥-+--≥x kx x e x x f x g x 2
2ln )(.2ln 1)(2ln 1x e x x x h e x x x h e x x k x
x x --=
'+-+=+-+≥∴恒成立，令，
）（则）（令)0(0)2(1
,ln 22><+--='--=x e x x x
x e x x x x x ϕϕ，由零点存在定理知，
）（）上单调递减。

又，）在（（0)1(,011
021
<-=>-=∞+-e e e
x e ϕϕϕ ……7分
00
001
ln 0
000200001ln ,1ln 1ln -,0),1,1(x x x x e x e x e x x x e x x x e x ====∈，即）（使得存在唯一零点ϕ）上单调递增，
，在（）（令∞+>+='>=0)(,0)1()(),0(x e x x x xe x x x ωωω
……………9分
.ln -,1
ln ),(1ln
0000
00x x x x x x ==∴=即）（ωω单调递减，单调递增，时，当),()(),0(00+∞∈∈∴x x x h x x 121
12ln 1)()(0
00000max 0=+--=+-+=
=x x x e x x x h x h x
…………12分
.1,1)(0≥=≥∴k k x h k 得取值范围为即22.（1）曲线C 1的参数方程为：（为参数）可得（为参数）
⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕtan 2cos 1y x ϕ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧==ϕϕϕ22
222
cos sin 2
cos 1y x ϕ消去参数可得：，所以曲线C 1的普通方程为：. …………2分
ϕ22
12y x -=22
1
2y x -=曲线C 2的参数方程为（t 为参数）可得（t 为参数）
sin 2sin cos x t
y t t =⎧⎨
=+⎩22sin cos 12sin cos x t t y t t =⎧⎨=+⎩消去参数t 可得，又因为，所以.2
1y x -=sin 2[1,1]t ∈-[1,1]x ∈-所以曲线C 2的普通方程为：，.
…………5分
2
1y x =+[1,1]x ∈-（2）易得曲线C 2与y 轴交于，与x 轴交于.
…………6分
(0,1)±(1,0)-将射线
化为直角坐标方程：
.
:(0)
6
l π
θρ=
≥(0)y x =
≥
联立解得
(8)
分
22(0)12y x y x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪-=⎪
⎩
x y ⎧=
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以
；1||(||||)12ACB ACP C P ACBP S S S AB x x ∆∆=+=
+=+四边形所以四边形ACBP 的面积为
.
(10)
分
1+
23.（1）
.2222
1()222x y z x y z xy yz xz =++=+++++又基本不等式可得：
；222222
2;2;2x y xy y z yz x z xz +≥+≥+≥所以
；222
2223()x y z xy yz xz xy yz xz +++++≥++所以
，当且仅当时取等号.
…………5分
13xy yz zx ++≤
1
3x y z ===
（2）因为，由柯西不等式
,,x y z +
∈R 222
2[()()()](()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y +++++++≥++=+++因为，所以；当且仅当
时取等号. ()()()2x y y z x z +++++=2222()1x y z y z x z x y ++≥+++13x y z ===
所以. …………10分
2221
2x y z y z z x x y ++≥
+++。