高斯函数的性质和应用

高斯函数的性质和应用
1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有
性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，
性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），
定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；
2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增
例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？
由f(x)=01
,
由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；
例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=5
2，则x=
；不等式f(x)≤x 的解集为__。

【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=5
2,
当1≤x<25
2,即x=9/4(舍),综上x=1
6;当0≤x<13
4≤x<1,
当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：3
4≤x<2；
例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2
x x
g x e e -=--
的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）
A．1
2
e e
--B．2
-C．1
2
e e
--D．2
2
12e e -
-例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=2
2+1，
则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}
小练习：条件同上
已知函数f(x)=12
x 2
-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}
例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．
加强练习
一、选择题
1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数
()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =(
)A.4 B.5 C.2
D.3
2、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()
A.21
B.76
C.264
D.642
3、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）
4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）(
)A.2[1]x + B.2([]1)
x + C.2{}
x D.{2}
x
6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()
A.()2.30.7
f -= B.()f x 为奇函数 C.()()
1f x f x += D.()f x 的值域为[]
0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()
A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-
B.x ∃∈R ，[]1
x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]
x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)
8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()
A.x ∃∈R ,[]1
x x ≥+
B.x ∀,y ∈R ,[][][]
x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)
0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最
大值是5三、填空题
9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例
如[][]1.210.31=-=-，
，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，
[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2
=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题
10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2
230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；
(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求
11
a b
+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.
(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.
(2)结合(1)中的图象，解不等式
()15
24
h x <≤直接写出结果.(3)设()31
31
x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。