【全国市级联考】天津市2016届高三第三次模拟考试文数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1.设集合{
}
2
230x x x A =+-≤，{
}
2
20x x x B =-<，则A
B =（ ）
A ．(]0,1
B ．[)0,1
C ．[)3,2-
D ．(]3,2- 【答案】C
考点：1、不等式的解法；2、集合的并集运算．
2.从含有三件正品1a ，2a ，3a 和一件次品1b 的四件产品中，每次任取一件，取出后再放回，连续取两次， 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为（ ） A ．
14 B ．38 C ．716 D ．1
2
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，得连续取两次的基本事件有()11,a a ，()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()21,a a ，()22,a a ，
()23,a a ，()21,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()33,a a ，()31,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()11,b b ，共16
个，而取出的两件产品中恰有一件次品的基本事件有()11,a b ，()21,a b ，()31,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，共6个．则所求概率63
168
P ==，故选B ． 考点：古典概型．
3.阅读右边的程序框图，当该程序运行后，输出的S 值是（ ）
A ．35
B ．63
C ．84
D ．165 【答案】D
考点：程序框图．
4.若a ，b 为实数，则“01a b <<”是“1
b a
<
”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由01a b <<，知0a >，0b ≠，所以1b a <
．由1b a <可推得1
b a
<，而当2,1b a =-=-时1
b a
<
不成立，故选A ． 考点：1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质．
5.已知1F ，2F 为双曲线22
145
x y -=的左、右焦点，M 为双曲线上一点，且12F F 0M ⋅M =，则点M 到x 轴
的距离为（ ）
A ．43
B ．53
C ．54
D ．32
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，知2a =，3c =，则()13,0F -，()23,0F ．设(),M x y ，则12MF MF ⋅＝
(3,)(3,)0x y x y ---⋅--=，即229x y +=．由22
22145
9
x y x y ⎧-
=⎪⎨⎪+=⎩
，解得53y =±，所以点M 到x 轴的距离为5
3
，故选B ． 考点：1、双曲线的几何性质；2、向量数量积．
【一题多解】不妨设点M 在双曲线的右支上，由题意，知2a =，3c =．因为120MF MF ⋅=，所以
12MF MF ⊥，则有122221212||||4||||||MF MF MF MF F F -=⎧⎨+=⎩，即1222
12||||4
||||36
MF MF MF MF -=⎧⎨+=⎩，解得12||||10MF MF ⋅=．又 12F F 121211||||22S MF MF F F h ∆M =
⋅=⋅，其中h 为点M 到x 轴的距离，解得5
3
h =，故选B ． 6.如图，在半径为10的圆O 中，90∠AOB =，C 为OB 的中点，C A 的延长线交圆O 于点D ，则线段CD 的长为（ ）
A
B
．
． D
． 【答案】
C
考点：相交弦定理．
7.若函数()2
2
21f x x bx b =-+-在区间[]0,1上恰有一个零点，则b 的取值范围是（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]2,2-
C ．[]
[]2,10,1-- D ．[][]1,01,2-
【答案】D 【解析】
试题分析：由2
2
210x bx b -+-=，解得11x b =-，21x b =+．因为函数()22
21f x x bx b =-+-在区
间[]0,1上恰有一个零点，所以011b ≤-≤或011b ≤+≤，所以10b -≤≤或12b ≤≤，故选D ． 【方法点睛】对于已知函数零点求参数问题，常根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．
考点：函数零点．
8.已知函数()243,1
ln ,1
x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若()f x a ax +≥，则a 的取值范围是（ ）
A ．[]2,0-
B ．[]2,1-
C ．(],2-∞-
D ．(],0-∞ 【答案】A
考点：1、分段函数；2、不等式恒成立问题．
【一题多解】在同一直角坐标系下作出函数|()|y f x =与y ax a =-的图象，如图所示，由图知，当0a =时，
0y =，
显然成立；当0a <，且直线y ax a =-与243y x x =-+(1)x <相切，即2
(4)30x a x a -+++=，由2
[(4)]4(3)0a a ∆=-+-+=，解得2a =-，即有20a -≤<．综上所述a 的取值范围是[]2,0-，故选
A ．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.i
的结果为．
1
2
i
【解析】
1
2
i
===
．
考点：复数的运算．
10.
一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为3
cm．
【答案】12π
考点：1、空间几何体的三视图；2、圆柱的体积．
11.已知函数()33
f x x ax b
=-+的单调递减区间为()
1,1
-，其极小值为
2，则()
f x的极大值是．【答案】6
考点：函数极值与导数的关系．
12.设a ，b ，c 为正实数，且满足320a b c -+=，则2
b ac
的最小值是 ．
【答案】
89
【解析】
试题分析：由320a b c -+=，得()123b a c =+，所以221(2)14499b a c a c ac ac c a +⎛⎫
=⋅=++ ⎪⎝⎭
≥
18499⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，当且仅当4a c c a + ，即234a b c ==时，2b ac 取得最小值89． 考点：基本不等式．
【技巧点睛】基本不等式的应用必须注意三个条件：一正、二定、三等，而利用基本不等式求最值时，一个很重要的环节就是配凑出满足基本不等式条件的关系式再利用基本不等式求解，当然不要忘记验证“＝”成立的条件．
13.如图，在平行四边形CD AB 中，D AE ⊥B ，垂足为E ，且3AE =，若F 为C E 的中点，则
DF AE ⋅= ．
【答案】
9
2
【解析】
试题分析：因为()
111111222222DF DC DE AB DE AE EB DE =
+=+=++＝11
22
AE DB +，又AE DB ⊥，
所以0AE DB ⋅=，所以2211111()22222AE DF AE AE DB AE AE DB AE ⋅=⋅+=+⋅=＝9
2
． 考点：1、向量的加减运算；2、向量的数量积．
【方法点睛】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 14.设定义在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的函数2cos y x =的图象与3tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，
垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．
【答案】
12
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、函数图象．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 为三个内角，已知3
π
A =，11
cos 14
B =
． （I ）求cos C 的值；
（II ）若C 7B =，D 为AB 的中点，求CD 的长．
【答案】（I ）17
；（II ． 【解析】
试题分析：（I ）首先根据同角三角函数间的基本关系求得sin B 的值，然后利用三角形内角和定理结合两角差的余弦公式求解即可；（II ）首先结合（I ）求得sin C 的值，然后利用正弦定理求得AB 的长，再利用余弦定理求解即可． 试题解析：（I ）因为11
cos 14
B =
，()0,πB∈，
所以sin B ===．…………………1分
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角差的余弦公式；3、正弦定理与余弦定理．
16.（本小题满分13分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B ，C 三种原料．已知生产1吨甲产品需A 原料1吨，B 原料1吨，C 原料2吨；生产1吨乙产品需A 原料1吨，B 原料2吨，C 原料1吨；每天可供使用的A 原料不超过5吨，B 原料和C 原料均不超过8吨．
（I ）若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，每天生产x 吨甲产品和y 吨乙产品共可获得利润z 万元，请列出满足上述条件的不等式组及目标函数； （II ）在（I ）的条件下，求该企业每天可获得的最大利润．
【答案】（I ）满足条件的不等式组为：528280,0
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，目标函数为34z x y =+；（II ）18万元．
【解析】
试题分析：（I ）根据条件建立不等式组关系即可得到结论；（II ）首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用线性规划进行平移目标函数，利用数形结合思想进行求解即可． 试题解析：（I ）根据已知数据，列表如下
依题意，满足条件的不等式组为：528280,0
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，
目标函数为34z x y =+…………………6分
考点：简单的线性规划问题．
【方法点睛】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数；(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
17.（本小题满分13分）如图，在直四棱柱1111CD C D AB -A B 中，底面CD AB 为等腰梯形，//CD AB ，
1D DC 2A ==AA =，4AB =，E ，F ，G 分别是棱1AA ，D A ，AB 的中点．
（I ）求证：11F D E ⊥B ； （II ）求证：F//E 平面1GCC ； （III ）求二面角1GC C B --的余弦值．
【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III ． 【解析】
（II ）证明：
G 为AB 的中点，1
G 2DC 2
A =
AB ==，且//CD AB ， ∴四边形GCD A 为平行四边形，故D//GC A ．
11DD //CC ，GC ⊂平面1GCC ，1CC ⊂平面1GCC ，1GC CC C =，
∴平面11DD //A A 平面1GCC ．
F E ⊂平面11DD A A ，∴F//E 平面1GCC ．…………………8分
（III ）取GC 的中点P ，连接BP ，
GC C G =B =B ，∴GC BP ⊥．
1CC BP ⊥，1GC CC C =，∴BP ⊥平面1GCC ．
1GC ⊂平面1GCC ，∴1GC BP ⊥．
过点P 作1GC PM ⊥于点M ，连接BM ，
PM BP =P ，∴1GC ⊥平面BPM ．
∴∠BMP 为二面角1GC C B --的平面角．…………………11分
在Rt ∆BPM 中，90∠BPM =，BP =
G 1P =，且
1GCC ∆为等腰直角三角形，G 45∠P M =，
∴PM =BM ==．
∴cos
PM ∠BMP =
==BM ．…………………13分
考点：1、空间垂直关系的判定；2、直线与平面平行的判定定理；3、二面角．
18.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，0n a >，其前n 项和n S 满足()()2222120n n S n n S n n -+--+=． （I ）求{}n a 的通项公式n a ；
（II ）若52
n n n a b -=，求242n b b b ++⋅⋅⋅+． 【答案】（I ）21n a n =+（n *∈N ）；（II ）1131494n n -+⎛
⎫- ⎪⎝⎭
．
考点：1、n a 与n S 关系的应用；2、等比数列的前n 项和公式；3、错位相减法．
【方法点睛】给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用12()n n n S S a n --=≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ，但特别要注意验证1a 的值是否满足“2n ≥”的一般性通项公式．
19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =
，P 为椭圆C 上的点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若直线y kx b =+（0k ≠）与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点1,03⎛⎫M ⎪⎝⎭
，求实数k 的取值范围． 【答案】（I ）22143x y +=；（II
）6,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【解析】
试题分析：（I ）首先根据离心率得到关于,a b 的方程，然后把点P 代入椭圆方程又得到一个关于,a b 的方程，从而将两方程联立求得22
,a b ，进而得到椭圆方程；（II ）首先设出点,A B 的坐标，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到线段
AB 的中点坐标，再根据条件得到线段AB 的垂直平分线的方程，从而根据线段AB 的中点坐标在其垂直平分线上求得b 与k 的关系式，进而结合判别式求得k 的取值范围． 试题解析：（I ）解：依题意，得22
123314a b =⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=．…………………4分
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
20.（本小题满分14分）设函数()22
ln 2f x x x mx m =+-+，R m ∈． （I ）当0m =时，求函数()f x 在[]1,3上的最小值；
（II ）若函数()f x 在23,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求实数m 的取值范围； （III ）若函数()f x 存在极值点，求实数m 的取值范围．
【答案】（I ）1；（II ）11,
6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）)
+∞． 【解析】
试题分析：（I ）首先写出当0m =时，函数的解析式及定义域，然后求出导函数，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值；（II ）首先求出导函数，然后构造函数()2
221g x x mx =-+，从而根据二次函数可知只需203g ⎛⎫> ⎪⎝⎭或302g ⎛⎫> ⎪⎝⎭
即可，进而解不等式并求并集即可；（Ⅲ）由（II ）分0m ≤、0m >求出函数()f x 不存在极值点m 的范围，再求其补集即可．
（III ）由（II ）可知()2221x mx f x x
-+'=，()2221g x x mx =-+． （i ）当0m ≤时，在()0,+∞上()0g x >恒成立，
此时()0f x '>，函数()f x 没有极值点；…………………8分
（ii ）当0m >时，
①若2480m ∆=-≤，即0m <≤()0,+∞上()0g x ≥恒成立，
此时，()0f x '≥，函数()f x 没有极值点；…………………10分
考点：1、函数最值与导数的关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数极值与导数的关系．
【方法点睛】利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在()a b ，内的极值；第二，求函数在端点的函数值()()f a f b ，；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．
高考一轮复习：。