2018年福建省高三毕业班质量检查文数试题(精校word版)

2018年福建省高三毕业班质量检查测试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则A
B =（ ）
A ．{}1,2-
B ．{}2,1-
C ．{}1,2
D ．{}1,2-- 2.已知向量()1,1AB =，()2,3AC =，则下列向量中与BC 垂直的是（ ） A ．()3,6a = B ．()8,6b =- C ．()6,8c = D ．()6,3d =-
3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
2n n S λ+=+，则λ=（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 4.如图，曲线sin
32
x
y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．
14 B ．13 C ．38 D ．34
5.若α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sin
sin 22
παπα
+--=（ ） A ．65- B ．45- C ．45 D ．65
6.已知0.3
0.4
a =，0.40.3
b =，0.2
0.3
c -=，则（ ）
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．a b c <<
7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久
便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）
A．120 B．84 C．56 D．28
8.某校有A，B，C，D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：
甲说：“A、B同时获奖”；
乙说：“B、D不可能同时获奖”；
丙说：“C获奖”；
丁说：“A、C至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）
A．作品A与作品B B．作品B与作品C
C．作品C与作品D D．作品A与作品D
9.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（）
A ．)2421π+-
B ．()24222π+
C ．(
)2451π+ D ．()242
32π+
10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条件的()f x 可以是（ ） A ．()263cos 5x f x π=+ B ．()53cos 5
x
f x π=+ C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨
∈⎩ D ．()2,08,0
x f x x ≤⎧=⎨>⎩
11.已知1F ，2F 为双曲线C ：22
1169
x y -
=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =（ ） A 7 B ．3 C ．4 D ．5
12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大值
为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．
14.若x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的取值范围为 ．
15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.若ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于 ．
16.已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD
-内接于球
1
O.若球
2
O在球
1
O内且与平面
ABCD相切，则球
2
O的直径的最大值为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.ABC
∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos sin3
b C
c B a
-=.
（1）求B；
（2）若3
a=，7
b=，D为AC边上一点，且
3
sin
3
BDC
∠=，求BD.
18.如图，在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，AC BC
⊥，
1
33
CC=，3
BC=，23
AC=.
（1）试在线段
1
B C上找一个异于
1
B，C的点P，使得
1
AP PC
⊥，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，求多面体
111
A B C PA的体积.
19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：初次患病年龄
（单位：岁）
甲地Ⅰ型患者
（单位：人）
甲地Ⅱ型患者
（单位：人）
乙地Ⅰ型患者
（单位：人）
乙地Ⅱ型患者
（单位：人）[)
10,208151
[)
20,304331
[)
30,403524
（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；
（2）记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：
（i ）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由） 表一：
表二：
（ii ）记（i ）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X .问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与X 有关？”
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，以MF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求点M 的轨迹的方程；
（2）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：
2
5
2
NT NA NB =
⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）若1
2
a =
，证明：()f x 恰有三个零点. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为
1cos 1sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6
AOC π
∠=
.
（1）求1l 和M 的极坐标方程； （2）当0,
6πα⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.
（1）若不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； （2）若当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.
2018年福建省高三毕业班质量检查测试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题
1-5:CDAAC 6-10:ABDBC 11、12：BB
二、填空题
13．1 14．[]24， 15
．
1
2
16．8 三、解答题
17．解：（1
cos sin C c B -=，得
cos sin sin B C C B A -=，
因为A B C π++=
()cos sin sin B C C B B C -=+，
cos sin sin cos sin B C C B B C B C -=+，
即sin sin sin C B B C -=，
因为sin 0C ≠
，所以sin B B =
，所以tan B = 又()0,B π∈，解得23
B π
=
. （2）在ABC ∆中，由余弦定理2
2
2
2cos b a c ac B =+-， 又3a =，7b =，所以2
2
2
173232c c ⎛⎫
=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
， 整理得()()850c c +-=，因为0c >，所以5c =，
在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin b c
B C =
5sin C
=
，解得sin C =.
在BCD ∆中，由正弦定理
sin sin BD a
C BDC
=∠，
因为sin 3BDC ∠=
=45
14BD =.
18．解：（1）当P满足11
C P B C
⊥时，
1
AP PC
⊥.
证明如下：
在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，
1
C C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以
1
C C AC
⊥.又因为AC BC
⊥，
1
C C BC C
=，所以AC⊥平面
11
BCC B.
因为
1
PC⊂平面
11
BCC B，所以
1
AC PC
⊥.
又因为
11
C P B C
⊥，且
1
B C AC C
=，
所以
1
PC⊥平面
1
AB C，
因为AP⊂平面1
AB C，所以
1
AP PC
⊥.
（2）因为
1
CC⊥平面
111
A B C，
11
B C⊂平面
111
A B C，
所以
111
CC B C
⊥.
在
11
Rt B C C
∆中，
11
3
B C BC
==，
1
33
CC=，所以
1
6
B C=.
因为
1111
Rt Rt
B P
C B C C
∆∆，所以111
111
B P B C
B C B C
=，所以
1
3
2
B P=.
在
11
Rt B C C
∆中，1
11
11
tan3
CC
CB C
B C
∠==
113
CB C
π
∠=，
所以
11
11111
1
sin
2
B PC
S B C B P CB C
∆
=⋅⋅∠
13393
3
2228
=⨯⨯⨯=.
因为AC⊥平面11
BCC B，且23
AC=
所以
1111
11939
23
3384
A B C P B PC
V S AC
-∆
=⋅=⨯⨯=.
因为
1
AA⊥平面
111
A B C，且
11
33
AA CC
==
11
23
AC AC
==，
所以1111111111
39332
A A
B
C A B C V S AA -∆=
⋅=⨯⨯⨯=. 所以多面体111A B C PA 的体积为11111945
944
A B C P A A B C V V --+=+=.
19．解：（1）依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为15105
408
+=. （2）（i ）填写结果如下： 表一：
表二：
由表中数据可以判断，“初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大. （ii ）根据表二的数据可得：25a =，15b =，15c =，45d =，100n =.
则()
2
21002545151514.06340604060
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.
由于2
10.828K >，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关. 20．解：（1）设点(),M x y ，因为10,
2F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，所以MF 的中点坐标为21,2
4x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为以MF 为直径的圆与x 轴相切，所以
21
24
MF y +=， 即21
2
y MF +=
，
故2
2
21122y x y +⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，化简得22x y =，
所以M 的轨迹E 的方程为2
2x y =.
（2）因为T 是E 上横坐标为2的点，
由（1）得()2,2T ，所以直线OT 的斜率为1，
因为l OT ∥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由2
12
y x =
，得y x '=，则E 在T 处的切线斜率为2
2x y ='=，
所以E 在T 处的切线方程为22y x =-.
由,22y x m y x =+⎧⎨
=-⎩得2,
22,x m y m =+⎧⎨=+⎩
所以()2,22N m m ++，
所以()()2
2
2
2
222225NT m m m =+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
由2
,
2y x m x y
=+⎧⎨
=⎩消去y 得2
220x x m --=，
由480m ∆=+>，解得12
m >-
. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122x x m =-. 因为,,N A B 在l 上，所以()122NA m =
-+，()222NB m =-+，
所以()()12222NA NB x m x m ⋅=-+⋅-+
()()()2
1212222x x m x x m =-++++ ()()2
22222m m m =--+++
22m =.
所以2
5
2
NT
NA NB =
⋅.
21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222
1221ax x a f x a x x
x -+⎛
⎫'=+-= ⎪⎝⎭. ①当0a ≤时，因为0x >，所以2
20ax x a -+<，所以()0f x '<，
所以()f x 的单调递减区间为()0,+∞.
②当0a >时，令()0f x '=，得2
20ax x a -+=，
当1a ≥时，2
440a ∆=-≤，()0f x '≥，
所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 当01a <<时，2
440a ∆=->，
由2
20ax x a -+=得1x =，2x =
因为01a <<，所以210x x >>，
所以，当10,
x a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭或1x a ⎛⎫
+∈+∞
⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；
当x ∈⎝
⎭
时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝
⎭和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
，
()f x 的单调递减区间为⎝
⎭
. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞； 当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；
当01a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
；
()f x 的单调递减区间为⎝
⎭
. （2）因为1
2
a =
，所以()112ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.
由（1）知，()f x 的单调递增区间为()0,23-，()
23,++∞，
()f x 的单调递减区间为()
23,23-+.
又()10f =，()
123,23∈-+， 所以()f x 在()23,23-+有唯一零点， 且(
)230f -
>，()230f +<，
因为3
0e 23-<<-，()3
33
311e e 2ln e 2e f ----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3331e e 6702e 22
=-+<-
<， 所以()f x 在()
0,23-有唯一零点.
又()()
33e e 0f f -=->，3
e 23>+，所以()
f x 在()
23,++∞有唯一零点.
综上，当1
2
a =
时，()f x 恰有三个零点. 22．解：（1）依题意，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ， 由1cos ,1sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=+⎩消去ϕ，得()()22
111x y -+-=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式， 得2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=，
故M 的极坐标方程为2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
（2）依题意可设()1,A ρα，()2,B ρα，3,6C πρα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，4,6D πρα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
， 且1234,,,ρρρρ均为正数，
将θα=代入2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()2
2cos sin 10ρααρ-++=，
所以()122cos sin ρραα+=+， 同理可得，342cos sin 66ππρραα⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫+=+
++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以点O 到,,,A B C D 四点的距离之和为
()12342cos sin ρρρραα+++=+2cos sin 66
ππαα⎡⎤⎛⎫⎛
⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝
⎭⎣
⎦
(
(1sin 3cos αα=+
(21sin 3πα⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
因为0,
6πα⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，
所以当sin 13πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，即6
π
α=时，1234ρρρρ+++
取得最大值2+， 所以点O 到,,,A B C D
四点距离之和的最大值为2+. 23．解：（1）由()33g x -≥-，得32a x -≥-， 因为不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4， 所以0a <，故不等式可化为2
3x a
-≤-， 解得2233x a a
+
≤≤-， 所以232,234,a a
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-.
（2）①当0x =时，21x a x -≥-恒成立，所以a ∈R . ②当0x ≠时，21x a x -≥-可化为21
x a x
-+≤
， 设()()21
0x h x x x
-+=≠，
则()3
1,0,3
1,02,1
1, 2.x x h x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩
所以当2x =时，()min 12h x =
，所以12a ≤. 综上，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.。