新型齿轮啮合原理

新型齿轮啮合原理
陶永锋
（机械与汽车工程学院指导教师：刘鹄然）
第一章绪论
1．1概述
本课题从实际生产中的一些冶金重载齿轮齿面发生严重塑性变形中得到启发，认为必然存在最适合齿轮接触强度和弯曲强度的齿形，并分析了这种齿形的形成原理。

经缜密分析和深入研究，初步认为这是等共轭曲率高阶接触的齿形,本课题有可能发展成一门新的学科或分支：齿轮仿形原理。

类似于仿生学但模仿的却是没有生命的东西.并扩展到等共轭曲率啮合的多种应用形式: 内啮合，齿轮与齿条，斜齿圆柱齿轮,斜齿轮与斜齿条，直齿圆锥齿轮, 弧齿圆锥齿轮, 面齿轮，等共轭曲率蜗轮蜗杆。

证明等共轭曲率高阶接触啮合的实现条件.等共轭曲率啮合的媒介齿条的齿廓的构成.与此适应创立仿射啮合理论——活动标形新形式.导出等共轭曲率啮合齿面啮合点邻域间隙的4阶参数.高阶切触的齿面接触应力计算,高阶接触齿面的流体动压润滑和弹性流体动压润滑计算.本课题具有较大学术价值。

如成功对齿轮传动具有里程碑式意义,是本人指导老师的前导师蔡春源老先生多年夙愿和临终嘱托。

本课题的目的旨在提出一类等共轭曲率高阶接触啮合的传动。

1984年，本人指导老师与东北大学蔡春源，鄂中凯，何德芳等长期从事齿轮强度研究的著名专家研究生同窗陈良玉在鞍钢初轧厂调研时，发现主减速器齿轮在经长期运转后齿面形成如图1所示形状，自然形成类似于双圆弧齿形但又不完全同于双圆弧齿轮，还有很多齿轮出现类似的情况，即意识到这种齿形有可能是一种最自然的齿形(或称稳态齿形)。

这种现象有可能用梅兰塑性势理论和普朗特-路埃斯以及列维-密赛思流动法则来解释：以密赛思屈服函数作势函数建立流动法则，塑性应变增量的分量所组成的向量在应力点沿屈服面的外法线。

但正如仿照磨损后的轧辊，却并不刻意的去研究磨损过程本身。

本课题并不刻意的去研究齿面塑性流动本身。

经大量收集资料，测量和计算，并经缜密分析和深入研究，初步认为这是等共轭曲率的齿形。

接触和弯曲强度都很高，极易形成动压油膜。

(应指出等共轭曲率不是等曲率，更不是圆弧)。

根据赫茨接触理论，当两齿廓为凸凹啮合形式，相互啮合的齿面诱导曲率为零时，具有最大接触强度。

前人提出渐开线，摆线，圆弧作齿形，尽管也符合啮合基本定律，但没充分考虑齿面受力变形。

而实际最适合作啮合的理想齿形是什么样的呢？只有师法自然，师从和仿效实际齿轮齿面的变形规律。

其次，以往人们选择齿形曲线，需要考虑加工的可能，而现在数控机床已非常普及，有可能和条件采用各种异型齿形。

本课题指导老师经20余年酝酿。

本课题独到地将微分几何“切触”概念应用于复杂曲面5坐标高效加工并移植到齿面接触分析，纯属独创,不是跟踪。

尤其是浙江科技学院院基金“等共轭曲率的齿形”（6万元）取得一些突破，导出齿面啮合点邻域间隙的4阶参数，并于近期获省自然科学基金资助。

为高阶接触齿面的接触应力和高阶接触齿面的流体动压润滑研究提供必备条件。

本课题具有较大学术价值。

如成功对齿轮传动具有里程碑式意义。

本课题来自实践，师法自然，并通过理论总结和归纳，提出齿廓啮合新概念，新方法。

把啮合理论推进到新的高度，是代表21世纪的新的传动形式。

前苏联HovikoB 提出圆弧点啮合齿轮。

德国尼曼教授提出Neimann 蜗杆。

日本学者片山冕提出Logix 齿轮，都在不同程度上改善了齿面的接触强度。

圆弧齿轮在端面上只能作瞬时啮合，从而限制了其传动原理到其他啮合形式的推广，只能做成斜齿，只能用于圆柱齿轮，也不能用于内啮合。

且要求轴向必须具有较大的齿宽。

本课题的齿形既可做成直齿也可做成斜齿，做成斜齿时，重合度比圆弧齿轮更大，齿宽一定程度上可宽可窄。

并可较方便的推广到圆锥齿轮，蜗轮蜗杆。

Neimann 蜗杆的轴截面齿形仍属2阶接触。

Logix齿轮提出后很长时间，国外的研究一直处于沉寂状态，原因不明。

近年来我国一些科研单位和大专院校跟踪研究较多，但似乎有些雷同，或侧重在诸如根切，干涉，过渡曲线，重叠系数等啮合原理具体应用。

原理上的复述多，发掘少，理论创新不足。

本课题理论更深，应用更广，方法更新。

前南开校长吴大任著《齿轮啮合理论》介绍过共轭曲率的导数，但未介绍其应用。

王小春研究过螺旋锥齿轮的3阶接触，是在已知两非共轭齿面情况下求加速度和加加速度（2阶加速度）。

齿面的4阶接触分析未见报道。

本课题思路奇特，两共轭齿面都是未知，根据最佳接触条件确定媒介齿条的齿形，有点类似于泛函分析。

东北大学蔡春源，鄂中凯，何德芳等长期从事齿轮强度研究。

重庆大学机械传动国家重点实验室秦大同和李润芳教授齿面的摩擦热弹性接触研究，中南大学曾韬和唐进元教授的螺旋锥齿轮和高阶接触齿面动力学研究，西安交大吴序堂和王小春教授的3阶接触啮合研究。

清华大学弹性流体动压润滑国家重点实验室温诗铸院士和杨沛然教授齿面弹性流体动压润滑和齿面非稳态弹性流体动压润滑。

都对本课题有重大参考价值，并可应用于自然（稳态）齿形。

1.1.1 研究内容
1.1.1.1 理论推导以微分几何，齿轮啮合理论为基础，确立新型啮合的理论依据和基本公式。

1.1.1.2 数值计算以计算数学，计算几何为基础，用样条曲线逐段拟合等曲率高阶啮合基准齿条齿形。

1.1.1.3 计算机仿真以Ideas 等实体造型软件为工具，对等曲率共轭进行仿真。

1.1.1.4 等共轭曲率啮合的特殊齿轮刀具加工，以数控技术和现代精密加工技术为基础。

1.1.1.5 齿面接触应力计算以弹性力学接触理论，有限元边界元等数值分析方法和光弹等实验力学为基础
1.1.1.6 齿面流体动压润滑以雷诺方程和现代弹性流体动压理论为基础。

1.1.2 研究目标
找到一种设计方法，使齿轮啮合表面能够得到尽可能高的接触阶数，提高其接触强度和润滑效果。

拟解决的关键问题
共轭曲率高阶接触媒介齿条齿廓的构造方法，及对应齿廓曲线（面）的实现。

以及齿面啮合性能分析。

拟采取的研究方案及可行性分析
1.1.3 研究方案
1.1.3.1 重载齿轮的自然的齿形(或称稳态齿形) 同上（略）
1.1.3.2 齿轮仿形原理
本课题有可能发展成一门新的学科或分支：工程仿形原理和齿轮仿形原理。

类似于仿生学但模仿的却是没有生命的东西。

用铅锡等软金属制作一定齿廓齿轮并逐步加大载荷，研究齿廓变形规律和最佳齿形。

正如人们发现磨损后的钢管矫直机的矫直辊效果更好，又如仿造磨损后的椅子和拖鞋而生产人体形椅子和脚掌型拖鞋等等。

又如沙漠中有一种沙丘形状特别稳定。

但需特别申明，本课题并不打算也没必要过多地研究齿面流变过程本身。

1．2 国内外的情况
随着科学技术的发展，对齿轮传动的要求也不断提高，特别在高速重载和小型化两个方面尤为突出。

这两方面的研究涉及的内容很多，就齿廓的设计而言，人们也做了大量工作，如50年代出现的圆弧齿轮，在高速重载性能方面有很大提高。

但圆弧齿轮弯曲程度不高，且需做成斜齿轮，在大型化方面受到了极大地限制。

80年代后期，日本学者小守勉用新的齿形理论，提出了名为逻辑齿轮（Logic Gear）的新型齿轮，即用微段渐开线构造齿廓，以得到高承载能力、高耐磨性和小型化的齿轮。

试验结果表明，逻辑齿轮的接触强度是渐开线齿轮的3倍，由计算得出逻辑齿轮的弯曲强度是渐开线齿轮的3.3倍。

但小守勉没有给出该种齿轮的具体介绍。

另外从实用角度看,该齿廓设计和制造都很困难。

本文根据逻辑齿轮最基本的概念,建立了用微直线段构造齿廓的完整构造过程,并导出了相应的齿廓曲线方程等基本公式。

该齿廓曲线的构成方法,为齿廓研究提供了一个新思路和更为广阔的研究空间.以下将微段直线齿廓简称为微段齿廓,相应的齿轮与齿条称为微段齿轮和微段齿条。

构造微段齿轮齿廓,其出发点基本上是为获得渐开线齿廓和圆弧齿廓的优点,因而其齿廓曲线是同微线段组成的类似于公阶式圆弧齿廓的一种曲线.构造的基本过程是先选定微段齿条的基准齿形,然后按范成原理加工出微段齿轮.轮齿的齿顶部分为凸齿廓,齿根部分为凹齿廓.因而一对微段齿轮的啮合,是廓的啮合凸齿廓与凹齿廓的啮合,从而可以保证轮齿有很高
的接触强度和弯曲强度.
本章小节：本章主要介绍了这个课题的由来以及进展，同时也介绍了这个课题的理论起源，工程实际背景，以及未来展望。

同时还介绍了国内外相关的研究动态。

第二章 高阶接触齿面分析
两齿廓的诱导曲面可局部展开：
-1δ2δ =
2
1（
E
uu n r ⋅1)2E
uu n r ⋅-
2
x
∆+
6
1（
-
⋅2
3
1E
uuu n
r )
2
3
2E
uuu n
r ⋅3
x
∆+
!
41（
2
)
4(1E
u n r ⋅2
)
4(2E
u n r ⋅-
）4x ∆
（
2-1）
一般齿轮，上式系数都不为零，齿面啮合点邻域间隙为2阶无穷小。

人们只能尽量减少该系数，例如尼曼蜗杆。

如第1项系数为零，意味着曲率相同，齿面啮合点邻域间隙为3阶无穷小，例如Logix 齿轮。

但3阶无穷小其实是不能实现的，因为，当x ∆变号，-1δ2δ也变号，一齿廓必侵入另一齿廓。

实际齿廓发生微小干涉，啮合点邻域间隙还是2阶无穷小。

如前两项系数都为零，齿面啮合点邻域间隙为4阶无穷小，且不发生干涉。

本文研究使齿面啮合点邻域间隙为4阶无穷小的条件。

经浩繁冗长推导，得到如下结论：根据齿廓法线法，啮合条件为：
p
R yy x /'φ=+， 齿面啮合点邻域间隙为2阶无穷小。

而如0)''(=+yy x
01'
'0
2
'0
0=++
=y
y y y c （2-2）
媒介齿条齿廓曲率中心落在节线上，意味着两共轭齿廓曲率相同。

而如0')''(=+yy x ，齿面啮合点邻域间隙的3阶参数为0，齿面啮合点邻域间隙为4阶无穷小。

齿面啮合点邻域间隙的4阶参数由'')''(yy x +表出。

从逻辑上看很有规律。

浙江科技学院院基金“等共轭曲率的齿形”（6万元）在理论上取得重大突破，尤其导出等共轭啮合齿面啮合点邻域间隙的4阶参数：-)
4(11}{}{R N T
=)
4(22}
{}{R N T )11)(
1'('''42
1
2
p p R R y l +
--
（2-3）
齿面啮合点邻域间隙为4阶无穷小
4
4x
k ∆=δ。

为高阶接触齿面的接触应力和高阶接
触齿面的流体动压润滑研究提供必备条件。

2.1 曲线的3阶近似
将曲线在一点M0的邻域用4阶戴劳级数展开:
r (u) = r (u 0)+
du
d r u ∆ +
!212
2
du
d r u ∆2
+
!313
3
du
d r u ∆3
r +
!414
4
du
d r 4
u ∆…
MM
= r (u)－r (u 0)
2
3
4
）
δ
＝n ·0
MM
δ
= n ·du d r
u ∆+21
n ·22
du d r 2u ∆+61 n ·33
du d r 3u ∆+!41 n ·44
du
d r
4u ∆
(2-6) 因为：n ·
du d r
＝0 ；弧长微分s ∆＝E u ∆＝x ∆， 则 u ∆＝
E
x ∆
δ =2
1
E
uu n r ⋅2
x ∆+
6
12
3
E
uuu n r ⋅3
x ∆+
!
412
)
4(E
u n
r ⋅4
x ∆
(2-7)
两曲线的诱导曲线可局部展开为：
-1δ2δ =
2
1（
E
uu n r ⋅1)2E
uu n r ⋅-
2
x
∆+
6
1（
-
⋅2
3
1E
uuu n
r )
2
3
2E
uuu n
r ⋅3
x
∆+
!
41（
2
)
4(1E
u n r ⋅2
)
4(2E
u n r ⋅-
）4
x ∆ （2-8）
一般齿轮，上式系数都不为零，齿面啮合点邻域间隙为2阶无穷小。

人们只能尽量减少该系数，例如尼曼蜗杆。

如第1项系数为零，意味着曲率相同，齿面啮合点邻域间隙为3阶无穷小。

本文研究使齿面啮合点邻域间隙为3阶无穷小的条件。

2.2 齿面啮合点邻域间隙为3阶无穷小的条件
根据啮合原理，已知媒介齿条齿廓曲线)(x y y =，对应齿轮齿廓和法矢可表示为[1]，
参见图2-2 所示。

图2-2 媒介齿条与共轭齿轮的产生
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x Y X φφφφcos sin sin cos ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-p p R R φφφφφ
cos sin sin cos (2-9)
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x y x n n N N φφφφ
cos sin sin cos 1
'/1'cos sin sin cos 2
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-y y φφ
φφ
(2-10)
根据齿廓法线法，齿条的移动距离l 与齿轮转动角度φ 之间满足：
p
p
R yy x R l '+=
=φ
(2-11)
（3）式用矩阵表示：
}
{}{}{Φ+=M r M R （3-6） 式中：
,}{,cos sin sin cos ,}{2221
1211
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=y x r m m m m M Y X R φφφφ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φp p R R φ}{
取1—4阶导数：
}'
{}{'}'{r M r M R +='
}
{}{Φ+Φ+M M
(2-12)
'
}'{}'{'2}{'''}'{r M r M r M R ++='
}'{}'{'2}{''Φ+Φ+Φ+M M M
(2-13)
'
'}'{'}'{'3}'{''3}{'''''}'{r M r M r M r M R +++=3
}{'''+Φ+M (2-14)
)
4()
4()
4(}
{''}'{'4'}'{''6}'{'''4}{}{r M r M r M r M r M
R ++++=)
4()
4(}
{''}'{'4'}'{''6}{'''4}{Φ+Φ+Φ+Φ+ΦM M M M M
(2-15)
式中：
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡='1}'{y r ，
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=''0'}'{y r ，
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡='''0''}'{y r ，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=)4()
4(0}
{y r
(2-16)
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ1}{φp R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ1'}'{φp R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ1'''}'{φp R ，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=Φ1'''''}'{φp R ，
(2-17)
由于媒介齿条的坐标原点取在齿廓法线与齿条节线的交点，p
p
R yy x R l '+=
=
φ=0，故
有：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==10
010
φM
(2-18)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡---===0'
'0sin 'cos 'cos 'sin ''
00
φφφφφ
φφφφφφφM
(2-19)
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+----===0'
'''0cos 'sin ''sin 'cos ''sin 'cos ''cos 'sin '''
'0
2
2
2
20
φφφφφφφ
φφφφφφφφφφφφφM
(2-20)
'}'{R ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=y x 0''''0φφ+⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡-'10'
'02y φφ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+100'
'''0''01001φφp R y +
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0'0'
'02φφφ⎭
⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+0''10
01φ
=
⎪⎭⎪
⎬
⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0'''0'201''''01''2''φφφφφφp R y y x y =⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2'20''01''2''φφφp R y y x y
齿廓法线矢量取决于媒介齿条的齿廓法线矢量：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001
φy x N N 1
'/1'2
+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-y y 1
'/1'2
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-y y
(2-21)
齿廓曲线局部展开式的2阶参数n·
2
2
du d r
为：
[][][][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=2'201''''01'1'1'''21'
'''}'{}{φφφy R y y y y x y y R N p T
=
2
2
'
2'')1'('2)'(''φφφp R y y x y y ++--+-- =
'
')'21'('22
y R y p +++-φφ
(2-22) (0',0=+==yy x l φ )
对轮1，2 分别有：
='}'{}{11R N T
'')'21'('2112
1y R y p +++-φφ，1
1
1'p p R yy x R l +=
=
φ，，
='}'{}{22R N T
'')'21'('2222
2y R y p +++-φφ，2
2'p R yy x +=
φ
令：-'}'{}{11R N T ='}'{}{22R N T
0 故必有：
,0''1
1==
p R l φ,
0''2
2==
p R l φ0'=l
,0)''(=+yy x 0
'''12
=++y y ,
(2-23)
曲率中心坐标：0
'
''12
=++
=y y y y c ，故欲使2阶系数为0，媒介齿条曲率中心必处处
落在齿条节线上。

为求3阶参数：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++---+--===0''''''0
sin 'cos '''3sin '''cos 'sin ''3cos '''cos 'sin '''3cos '''sin 'cos '''3sin ''''
''03
3
3
30
φφφφφφφφφφ
φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφM (2-24)
''}'{R ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=y x 0'
'''''0φφ+3⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-'10'
'''0
y φφ+3⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-''00'
'0
y φφ+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'''010
01
y
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+100'
'''''0φφp R +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡-0'0'
'''03φφφ+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡-0''0'
'03φφφ⎭
⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+0'''10
01φ
=+
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1'''3'''y x y φφ⎪⎭⎪
⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡0'''01''''''0φφp R y
(2-25)
齿廓曲线局部展开式的3阶参数n·
3
3
du d r
为：
[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--='''01'1'1'''31'
'''''}'{}{y y y y x y y R N T
φφ
='
'')1'(''3)'('''2
y y x y y +--+--φφ=
'
'')1'(''32
y y +--φ
(2-26)
对轮1，2 分别有：
=''}'{}{11R N T '
'')1'(''32
1y y +--φ，
=''}'{}{22R N T '
'')1'(''32
2y y +--φ
-)
4(11}{}{R N T
=)
4(22}
{}{R N T
)11)(
1'('''42
1
2
p p R R y l +
--
齿面啮合点邻域间隙为3阶无穷小 3
3x
k ∆=δ
(2-27)
本章小结：本章将基准齿条的齿廓看作待定的，将对应齿廓展开成泰勒级数，并根据最
佳接触条件求基准齿条的齿廓。

导出按最佳接触条件的基准齿条的齿廓应 满足的方程。

第三章 齿轮齿条的构造
根据赫茨接触理论，当两齿廓为凸凹啮合形式，相互啮合的齿面诱导曲率为零时，具有最大接触强度。

要使两齿廓诱导曲率为0，齿条齿廓曲率中心必过节线。

一条曲线的曲率中心所在的曲线称为渐缩线，对应的曲线则称为渐伸线。

直线既没有渐伸线也没有渐缩线。

但我们可以人为地构造一小段一小段曲线，使这些曲线段的首末端曲率中心过直线，满足条件。

设在平面上给定一点
)
,(00y x ,以及过该点的微段曲线的切线方向
'
0y ,由于微段曲线段曲率过x 轴：
1''0
2
'0
0=++
=y y y y c ，2
'0
0"
01y y y +-
=，
（3-1）
0002
00''
')
'1('y y x y y y x x c +=+-
=
（3-2）
给定曲线坐标1个增量y x ∆∆,得到（11,y x ）点。

对应的曲率中心横坐标的个增量
c
x ∆=
x
y x
∆+=∆)'1(cos
2
02
β
（3-3）
可保持原压力角不变。

考虑到压力角的增量，
c
x ∆=
x
y k x k
∆+=∆)'1(cos
2
02
β
（3-4）
k 为压力角变化系数，0 < k < 1 。

则：
y
y y x x x x x x c c c ∆+=∆+=∆+=010101,,,1
1
11
11y x x dx dy tg c -==
γ2
'1
1"
11y y y +-
=，
（3-5）
二阶导数,''y 应由（2）式确定。

故该微段可展开成泰勒级数 ...
)(6
''')(!
2)(3
002
0'
'0
0'
0x x y x x y x x y y y -+
-+
-+=
（3-6）
过x0y0点再构造一曲线
+
-+
-+
-+
-+=4
043
032
0'
'0
000)(!
4)(!
3)(!
2)('x x a x x a x x y x x y y y
（3-7）
显然，在x=x 0 点处，该曲线与原曲线有相同的坐标、斜率和曲率。

给定曲线一个增量 x - x 0 = Δx, 这时, x = x 1, y = y 1, 要求在该微曲线段终点处，仍然满足（2）式。

3
042
030"
0'
01)
(!
3)(!
2)('x x a x x a x x y y y -+
-+
-+=
（3-8）
2
040301)
(!2)(!
1''''x x a x x a y y -+
-+
=
（3-9）
令
,
01x x x ∆=-2个未知数
,
,43a a 应满足（4-5）2个方程。

解得：
)]
''''(2
)''[(1210103
4y y x y y x
a +∆+-∆=
（3-10）
)
2''''(13
4013x a y y x
a ∆-
-∆=
（3-11）
最后由（3）式求y 1, 就是下一个点。

但必须与（3-5）式的y 1一致，这要反试算才可实现。

本章小节：本章提出构造等共轭曲率的基准齿条的第一种方法，即待定多项式系数法。

用多项式构造一微段曲线，在线段的首末点，使其曲率中心落在节线上。

第四章 齿轮齿条的构造方法1
第3章提出构造等共轭曲率的基准齿条的第一种方法，即待定多项式系数法。

用多项
式构造一微段曲线，在线段的首末点，使其曲率中心落在节线上。

为更好的和更方便的找到待定系数，须借助几何关系确定这些待定系数可能的取值范围。

图4-1 曲线的法线与节线交点 此图说明：1代表切线，方程为：βtg x y 11=
3代表曲线末端的法线与节线交点的距离：β
2
cos x k
∆
4-代表直齿条末端的法线与节线交点的距离)'1(cos
2
2y x x +∆=∆β
由3图存在如下几何关系：
AB
AD AC
AF =
β
cos x AD ∆=
β
cos )
1(x k AB ∆-=
β
sin AD AF =
AD
AB AF AC ∙=
'
0)
'01()1(2
y y x k +⨯∆⨯-
（4-1）
x DE ∆= βtg x AE ⨯∆= β
c o s x AD ∆=
'0y tg =β 2
0'
11c o s y +=
β β
ββ22
2c o s s i n 11c o s +
=
AD
AC AE
AB =
β
ββ
β
β
2
cos )1(cos cos )1(⨯∆⨯-=
⨯∆∆⨯
∆⨯-=
⨯=
tg x k tg x x x k AE
AD AB AC
（4-2）
图4-2 按切线延伸 此图说明：1代表与x 的增量相对应的y 的最大值。

x
y x y ∆+='00max 1
2-代表x ∆
'
011max 1y x tg x y ⨯=⨯=β
（4-3）
'
)
'1()1(02
0min 1min 1y y x k y y +⨯∆⨯--
=
（4-4）
是该方法的程序和数据见附件。

：
图4-3 产生高阶接触齿廓的齿轮齿条（产形轮）
本章小结：本章为更好的和更方便的找到待定系数，借助几何关系确定这些待定系数
可能的取值范围。

这是用参数法构造齿廓的第一种方法，主要是运用了几何关系，经过编程来计算出所需要的数据，反映在图上，经过对比，确认可以构造出正确的齿廓线。

第五章 齿轮齿条的构造方法2
根据赫茨接触理论，当两齿廓为凸凹啮合形式，相互啮合的齿面诱导曲率为零时，具有最大接触强度。

要使两齿廓诱导曲率为0，齿条齿廓曲率中心必过节线。

本文探讨高阶接触齿轮齿条的构造方法。

5.1 一般高阶接触齿轮齿条的构造方法
一条曲线的曲率中心所在的曲线称为渐缩线，对应的曲线则称为渐伸线。

直线既没有渐伸线也没有渐缩线。

但我们可以人为地构造一小段一小段曲线，使这些曲线段的首末端曲率中心过直线，满足条件。

给定M 0初始植0x ,0y ,和对应曲率中心坐标0c x ,以及过该点的微段曲线的切线方向'0y 。

任意取一条曲线，在M 0 点与要求的齿廓有相同的坐标0x ,0y ,和对应曲率中心坐标0c x ,以及过该点的微段曲线的切线方向'0y 。

在该曲线的另一点M 1坐标为1x ,1y ,其曲率中心已不在x 轴上了。

图5-1 渐缩线的对称变换
过M 1点建立新坐标系X ，Y ， 坐标变换 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11y y x x Y X ββ
ββcos sin sin cos
（5-1）
式中'1y tg =β。

关于Y 轴作单位对称曲线：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11y y x x y x Y X ββββcos sin sin cos （5-2）
对称曲线在固定坐标系下
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x ββ
ββcos sin sin cos 11 （5-3）
=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111cos sin sin cos cos sin sin cos y y x x y x ββ
ββ
ββ
ββ =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+---+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡112
22
211cos sin cos sin 2cos sin 2sin cos y y x x y x ββββββββ
=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡11112cos 2sin 2sin 2cos y y x x a y x ββββ 渐缩线的对称曲线
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11112cos 2sin 2sin 2cos y y x x y x y x c c c ββ
ββ （5-4）
令0=c y
0)(2cos )(2sin 111=-+--=y y x x y y c c c ββ
（5-5）
2111)(2sin )(2cos c c c c x y y x x x x =----=ββ
（5-6）
由（5）求对应的x ，（因c c y x ,是x 的函数）。

1M 到2M 之间的曲线方程：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111222cos 2sin 2sin 2cos y y x x y x y x ββ
ββ
（5-7）
以2M 点（22,y x ）2c x 为新起点，重复上面步骤就可以一段段延伸构造出高阶接触媒介齿条。

5.2 用渐开线拟合高阶接触齿轮齿条 渐开线的通用方程：
图5-2 渐开线的通用方程
此图说明：1为基圆，其方程是：
)cos ,sin (t a t a
在固定坐标系里：
()()s
s y t t t a y x t t t a x ++=++=cos cos sin cos
（5-8）
式中s s y x ,为基圆圆心坐标。

其切线：
()t at t t t t a x cos sin cos cos '=+-=
（5-9）
ctgt t
at t at x y tg y ===
B =sin cos '''
（5-10）
其曲率中心的坐标：（显然为基圆）
t a X cos = t a Y s i n =
故曲率中心是圆弧21。

由于渐渐偏离节线，所以，以法线22为对称轴，将渐开线12关于
22轴线对称反射成24。

对应基圆反射成24，4点重新落在节线上。

得到渐开线上4点。

其坐标和法线方向都是知道的。

故下一步找出新渐开线，使其在4点与其相切，并有同样的曲率半径。

图5-3 用渐开线拟合高阶接触齿轮齿条
两段渐开线的等曲率光滑连接 渐开线的曲率半径：
at =ρ
（5-11）
图5-4 渐开线曲率半径
此图说明：1是曲率半径，其方程是：
1'2
00
+=y y ρ
3是螺旋角β
()t t t a X cos sin -=
（5-12）
图5-5 两段渐开线的等曲率光滑连接
()t t t a Y sin cos +=
（5-13）
()t at t t t t a x cos sin cos cos '=+-=
（5-14）
at =ρ
（5-15）
ctgt t
at t at x y tg y ===
B =sin cos '''
（5-16）
已知
,,000y y x 000'y y x x c += 2
00'1y y +=ρ
由()x x t t t a s =+-sin cos 求s x
（5-17）
由()y y t t t a s =++sin cos 求s y
（5-18）
由2
00
'y a y at += 求a
（5-19）
由
y =
'0 求t
（5-20）
5.3 高阶接触齿轮齿条算例
下面是在a 取130的时候的一个特殊实例：（按照坐标纸作图的顺序）
取一个半径为130的基圆，取在 30=t 时圆周上的一点，并做切线。

先求出该点与基圆渐开线的交点：
()()11.6453.05.013030cos 1803030sin 130cos sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+=πt t t a x
()601.1613030sin 1803030cos 130sin cos =-⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯=-+=πa t t t a y
而这条切线就是我所需要的那天对称线。

现在求基圆上的一点关于对称线的对称点在X 轴上。

()()0c o s 2c o s s i n 2s i n 111=--+--=y a t q x t a y y c ββ ()02c o s s i n 2c o s 2s i n s i n 2s i n 111=+-++-ββββy a t a x t a y ()a
y y a x t t 1
112c o s 2s i n s i n 2s i n c o s 2c o s -++-=
-ββββ
式中β为t 的余角，11,y x 则是 30=t 时，渐开线上的点。

()()()732.0130
601
.165.0601.16130866.011.62cos -=--⨯++⨯-=
+t β
5.1372=+t β
60=β 5.17=t 求
5.17=t 时，在基圆渐开线上的点。

()3.15.17cos 1805.175.17sin 130cos sin =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=πt t t a x
()98.51305.17sin 1805.175.17cos 130sin cos =-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-+=πa t t t a y
下面求当 5.17=t 时在基圆渐开线上的点关于
30=t 对称线对称的点
()()β
β2s i n 2c o s 111y y x x x x ----=
()()903.12120sin 601.1698.5120cos 11.63.111.6=⨯--⨯--=
()()β
β2cos 2sin 111y y x x y y -+--=()()0775.26120cos 601.1698.5120sin 11.63.1601.16=⨯-+⨯--=
连接()
y x ,与 30=t 时基圆渐开线上的点可以画与基圆渐开线对称的一段渐开线。

通过几何关系可以看出对称后的渐开线在()
y x ,点上的切线的 5.12=t 为创建下一段渐开线必须求出下一个基园()s s y x ,。

可以通过几何关系以及公式可以列出下面几个方程： ()x x t t t a s =+-s i n c o s ()y y t t t a s =++s i n c o s 2
0'1y y at +=
已知的条件有：0775.260=y 09.1'=y 5.42=t 则通过计算可以得出：03.52=a 3.38-=s y 19.6=s x 下面的步骤可以说是重复上面的过程：
由于得出了上面几个参数可以创建一个圆心为()3.38,19.6-半径为52.03的基圆。

先取一条对称线为在
60=t 时，在图中渐开线上的点： ()04.2419.660sin 1806060sin 03.52cos sin =+⎪⎭⎫
⎝⎛
-
=+-=π
s x t t t a x ()88.343.3860sin 1806060cos 03.52sin cos =-⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=++=π
s y t t t a y 这点就是
60=t 切线与基圆渐开线的交点，而此切线就是我所需要的对称线。

现在求基圆上的点，要求其对称点在X 轴上：
()()0c o s 2c o s s i n 2s i n 111=--+--=y a t q x t a y y c ββ
()02cos sin 2cos 2sin sin 2sin 111=+-++-ββββy a t a x t a y
()a
y y a x t t 1
112cos 2sin sin 2sin cos 2cos -++-=
-ββββ
则 ()()24.003
.5288
.345.088.3403.52866.004.242cos -=-⨯++⨯=
+t β
6.1032=+t β 6.43606.103=-=t 再求 6.43=t 时，在基圆渐开线上的点： ()41.1319.66.43cos 1806.436.43sin 03.52cos sin =+⎪⎭⎫
⎝⎛
-
=+-=πs x t t t a x
()67.263.386.43sin 180
6.436.43cos 03.52sin cos =-⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=++=πs y t t t a y
下面求当 6.43=t 时在基圆渐开线上的点关于 60=t 的对称线对称的点：
()()β
β2s i n 2c o s 111y y x x x x ----=()()465.3660sin 88.3467.2660cos 04.2441.1304.24=⨯--⨯--=
()()β
β2cos 2sin 111y y x x y y -+--=
()()985.3960cos 88.3467.2660sin 04.2441.1388.34=⨯-+⨯--=
连接()
y x ,与 60=t 时基圆渐开线上的点可以画出与基圆渐开线对称的一段渐开线。

变组成了我所需要的一条曲线。

本章小节：本章是构造等共轭曲率基准齿条的第二种方法，主要运用的是渐开线及其基圆都关于某条直线作对称变换，使原来快要偏离齿条节线的曲率中心再从新回到节线。

连接原来的渐开线便可以得到所需要的齿廓线。

第6章 齿轮齿条的构造方法3
本方法主要选用的理论基础是根据1阶导数不变，2阶导数不断变化而成，而从中把所求每点和他的曲率中心的连线强行终止在X 轴。

由于1阶导数不变，曲线是不断连续的。

而各点成一条我所需要的曲线。

由于1阶导数的不变，曲线有一定的可预见性。

所以根据画图，在X=3.64后区了2.64，1.64。

间隔相对较大。

在1.64取的数精度为0.01。

越来越接近X 轴，但是无法到X 轴。

下面是叙述计算的主要过程以及用到的公式： 先给定了0y ,0x ,'0y ,''0y
过()00,y x 点作曲线：()()2000002
'''x x y x x y y y -+
-+=
（6-1）
()000''''x x y y y -+=
（6-2）
''''0y y =
（6-3）
求该点的曲率中心：'
''12
y y y y c ++
= （6-4）
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=
（6-5）
求该点到曲率中心的连线与X 轴的交线：
()c
c c y y x x y x x ---
=' （6-6）
直到该点到曲率中心的连线和X 轴重合（精度为0.01） 下面开始计算过程：
100=y 64.30=x 74748.2'0=y 8585.0''0-=y
①1-=∆x
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+-+=()()825.612
8585
.0174748.2102
=--+
-⨯+=
64.2164.3=-=x
()000''''x x y y y -+=()602.318585.074748
.22
=--= 8585.0''-=y
'
''12
y y y y c ++
=45.98585
.0602.31825.62
-=-++
=
(
)
'
''
1'2
y y y x x c +-
=()27.618585
.0602
.31602.364.22
=-+-
=
()c
c c y y x x y x x ---='()23.2745
.9825.627.6164.2825.664.2=+--
=
②1-=∆x
825.6=y 64.1164.2=-=x 602.3'=y
y
y y 2
'1''+-=05.2825
.6602.312
-=+=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()2.212
05.21602.3825.62
=--
-⨯+=
()000''''x x y y y -+=652.505.2602.3=+= 05.2''-=y
'
''12
y y y y c ++
=87.1305
.2652.512.22
-=-++
=
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=()47.9205
.2652.51652.564.12
=-+-=
()c
c c y y x x y x x ---
='()07.1487
.132.247.9264.12.264.1=+--
=
③1.0-=∆x
2.2=y 54.1=x 652.5'=y
y
y y 2
'1''+-=98.142
.2652
.512
-=+-
=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()56.11.02
98.141.0652.52.22
=--
-+=
()000''''x x y y y -+=15.7498.1652.5=+=
98.14''-=y
'
''12
y y y y c ++
=()92.198
.1415.7156.12
-=-++
=
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=()42.2698
.1415.7115.754.12
=-+-=
()c
c c y y x x y x x ---
='()81.1492
.12.242.2654.12.254.1=+--
=
④04.0-=∆x
56.1=y 5.1=x 15.7'=y
y
y y 2
'1''+-=4.3356
.115.712
-=+-
=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()
25.104.02
4.3304.01
5.75
6.12
=---⨯+=
()000''''x x y y y -+=()486.804.04.3315.7=⨯+= 4.33''-=y
'
''12
y y y y c ++
=()936.04
.33486.8125.12
-=-++
=
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=()1.204
.33486.81486.85.12
=-+-=
()c
c c y y x x y x x ---
='()1.12936
.025.11.205.125.15.1=+--
=
⑤05.0-=∆x
25.1=y 45.1=x 486.8'=y
4.5825
.1486.812
-=+-=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()
()7527.005.02
4.580
5.048
6.825.12
=-⨯-+
-+=
⑥01.0-=∆x
485.0=y 42.1=x 9.15'=y
y
y y 2
'1''+-=3.523485
.09
.1512
-=+-
=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()3.001.02
3.52301.09.15485.02
=-⨯-+
-⨯+=
()000''''x x y y y -+=()13.2101.03.5239.15=⨯+= 3.523''-=y
'
''12
y y y y c ++
=56.03
.52313.2113.02
-=-++
=
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=()49.193
.52313.21113.2142.12
=-+-=
()c
c c y y x x y x x ---
='()72.756
.03.049.1942.13.042.1=+--
=
⑦01.0-=∆x
3.0=y 41.1=x 13.21'=y
y
y y 2
'1''+-=6.14913
.013
.2112
-=+-
=
()()2
000002
'''x x y x x y y y -+
-+=()()014.001.02
6
.149101.013.213.02
=-+
-⨯+=
()000''''x x y y y -+=046.3601.06.149113.21=⨯+= 6.1491''-=y
'
''12
y y y y c ++
=858.06
.1491046.361014.02
--++
=
(
)'
''
1'2
y y y x x c +-
=()8.326
.1491046.3610146.3641.12
=-+-=
()c
c c y y x x y x x ---
='()79.1858
.03.08.3241.1014.041.1=+--
=
本章小节：本章提出第三种方法形成高阶接触的基准齿条，主要根据就是2阶导数不变，曲线是连续的，3阶导数不断的变化。

最后构造出所需要的齿廓线。

第七章 用相似法在范成仪上画出齿形并加工齿轮
7.1 用相似法在范成仪上画出齿轮
如果在插齿机床上加工齿轮，机床传动系统以改变齿条移动速度和工作台转动角速度加工不同的齿轮，但范成仪传动比是固定的，也就是r=v/w=100mm 。

因为教学范成仪的齿条m=20,画出来的齿轮z=10。

则节圆直径d=m×z=20×10=200mm,r=d/2=100mm. 如图7-1所示。

图7-1 齿轮范成仪上做实验
以减速器轴齿轮为例：m=2,z=15,节圆直径 d=2×15=30mm, 如图7-2所示。

图7-2 减速器轴齿轮
所以要用范成仪上画轴齿轮，轴齿轮节圆半径必须扩大100/15=6.667倍,相应的模数相应的扩大6.667倍，即小齿轮的m=2×6.667=13.333。

m是非标准模数，原来计算出的齿条m=20mm,所以此齿条要用复印机缩小到原来的13.333/20=0.6667倍，用缩小的齿条用范成仪画出齿轮，如下图7-3所示。

图7-3 齿轮范成仪画轴齿轮
要使齿轮模数为2，必须将画出的齿轮缩小到原来的2/13.333=0.15倍。

得到所要求的齿轮形状。

如下图7-4所示。

图7-4 轴齿轮
以减速器大齿轮为例：m=2,z=55,节圆直径d=2×55=110mm, 如下图7-5 所示。

图7-5 减速器大齿轮
用范成仪上画大齿轮方法如轴齿轮，大齿轮节圆半径必须扩大到原来的100/55=1.8182倍,相应的模数相应的扩大1.8182倍，即小齿轮的m=2X1.8182=3.6364。

m是非标准模数，原来计算出的齿条m=20mm,所以此齿条要用复印机缩小到原来的3.6364/20=0.18182倍，用缩小的齿条在范成仪画出齿轮，如下图7-6所示。

图7-6 齿轮范成仪画大齿轮
要使齿轮模数为2，必须将画出的齿轮缩小到原来的1/1.8182=0.545倍。

得到要所需的
齿轮形状，如下图7-7所示。

图7-7 大齿轮
7.2 刀具的设计与加工
刀具有刀架、刀片、楔形块、螺钉组成。

刀架、楔形块的材料是45号钢，刀片的材料
是白钢，螺钉是内六角圆柱螺钉M3×12 GB/T 70.1-2000。

根据刀片的大小决定刀架外圆的大小，根据经验设计刀架的圆直径为80mm；根据铣床装刀具轴的大小决定刀具内圈的大小。

由于齿轮的齿很小，所以刀具也设计的比较小，工厂里铣床装刀具的轴最小为φ32，故刀具内孔直径定为φ32。

形状如下图7-8所示。

图7-8 刀架
刀架的加工，先用车床加工保证尺寸R40，R30，φ32，2，12，倒角及粗糙度；如下图7-9所示。

图7-9 刀架加工中图
再用线切割加工保证尺寸6，28，27。

最后攻丝，保证尺寸4。

刀片的大小和形状与范成仪做出来的形状一样。

形状如下图7-10所示。

图7-10 刀片
刀片的加工，先用线切割加工，保证如图7-11尺寸。

图7-11 刀片
再用砂轮粗模成如图7-12所示，留一定余量。

图7-12 刀片
实物加工中如下图7-13所示。

最后用金刚刀锉削成如图7-14所示。

图7-14 刀片
刀片技术要求：
1.手工做出齿形。

2.热处理：HRC=60。

3.热处理后用沙纸抛光。

4.前角0o度；后角5o度-10o度；齿形另按要求样片。

金刚刀锉削刀片如下图7-15所示。