天津市新华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

新华中学2019-2020学年度第一学期高三年级第1次月考
数学学科
一、选择题
1. 设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =
A. {2}
B. {2，3}
C. {-1，2，3}
D. {1，2，3，
4} 【答案】D 【解析】 【分析】 先求A
C ，再求()A C B ．
【详解】因为{1,2}A C =，
所以(){1,2,3,4}A
C B =
故选D ．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
3. 函数
2
12
()log (4)f x x ax a =-+在[)1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],2-∞ B. [)2,+∞
C. 1,23⎛⎤
- ⎥⎝⎦
D. 1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
结合复合函数单调性同增异减以及二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】函数
12
log y x =在()
0,∞+上递减.函数24y x ax a =-+的开口向上，对称轴为
2
a
x =
. 依题意
2
12
()log (4)f x x ax a =-+在[)1,+∞单调递减， 则21
122
31140a
a a a ⎧≤⎪⇒-<≤⎨⎪-⨯+>⎩
， 所以a
取值范围是1,23⎛⎤
- ⎥⎝⎦
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数在区间上的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
4. 设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-，2
()210x
h x x =+-，若正数a ，b ，c
满足
()()()0f a g b h c ===，则（ ）
A. a <b <c
B. b <a <c
C. c <a <b
D. c <b <a
【答案】A 【解析】 【分析】
判断出()f x 、()g x 、()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于函数2
2
,ln ,2,2,3,10x
x
y e y x y y x y x y x ====-=-=-在区间()0,∞+上
单调递增.
所以函数()2x
f x e x =+-、2
()ln 3g x x x =+-、2
()2
10x
h x x =+-在区间()0,∞+上单
调递增.
()()0100210,11210f e f e e =+-=-<=+-=->，()()010f f ⋅<，所以()0,1a ∈. ()()()()1ln11320,2ln 243ln 210,120g g g g =+-=-<=+-=+>⋅<，所以()1,2b ∈. ()()()()2441020,3891070,230h h h h =+-=-<=+-=>⋅<，所以()2,3c ∈.
所以a b c <<. 故选：A
【点睛】本小题主要考查函数的单调性、零点的存在性定理，属于中档题. 5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+，（2
π
ϕ<
）的部分图象如图所示，则（ ）
A. ()sin()f x x π
=-
223
B. ()2sin(2)6
f x x π
=-
C. ()2sin(2)3
f x x π
=+ D. ()2sin(2)6
f x x π
=+
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角函数的图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】根据图象可知2A =，
2222362T T T ππππππωπ
⎛⎫=--=⇒=⇒=== ⎪⎝⎭， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 由图象可知222sin 2,sin 1333f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于2
π
ϕ<
，所以
2326
πππ
ϕϕ+=⇒=-. 所以()2sin(2)6
f x x π
=-.
故选：B
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求解析式，属于基础题. 6. ()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，若其图象向左平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数则函数()f x 的图象( )
A. 关于点7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B. 关于点7,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C. 关于直线12
x π
=-对称
D. 关于直线712
x π
=
对称 【答案】C 【解析】 【分析】
先根据周期确定ω，然后结合变换后的函数是奇函数可求ϕ，再研究对称性可得选项. 【详解】因为()f x 的最小正周期为π，0>ω，所以=2ω； 向左平移
6π
个单位后得到的函数为sin[2()]sin(2)63
y x x ϕϕππ=++=++， 由奇函数可得
,3k k Z π
ϕπ+=∈,解得3π
ϕ=-，所以()sin(2)3
f x x π
=-；
因为771
(
)sin(2)sin 1212362
f πππ5π=⨯-==，
所以函数()f x 的图象既不关于点7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，也不关于直线712x π=对称；
因为()sin[2()]sin 1121232
f ππππ
-
=⨯--=-=-， 所以函数()f x 的图象关于直线12
x π
=-对称；
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，图象变换时注意系数对解析式的影响，三角函数的性质一般利用整体代换进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养. 7. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(5)()f x f x +=，且当5
(0,)2
x ∈时，3()3f x x x =-，
则(2019)f =（ ） A. 2 B. -18
C. 18
D. -2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用周期性和奇偶性求得()2019f 的值.
【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()5f x f x +=， 所以()f x 是周期为5的周期函数，
所以()()()20192020154041f f f =-=⨯-
()()()311132f f =-=-=--=.
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 8. 已知函数
2
1
()ln(1)1f x x x
=+-
+，若实数a 满足3
13
(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围（ ） A. []1,3 B. 10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C. (]0,3
D. 1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】
首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式3
13
(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求
得a 的取值范围.
【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数. 当0x >时，
2
1()ln(1)1f x x x =+-
+，2
ln(1)y x =+和11y x
=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，
而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减. 依题意
3
1
3
(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33
(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，
即33
2(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔
≤，
所以
3
3
1
log 11log 133
a a a ≤⇔-≤≤⇔
≤≤， 所以a 的取值范围是1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选：D
【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.
9. 已知函数()()22
2sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=--> ⎪
⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A. 30,5
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. 13,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 13,25⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最
【详解】因为()2
22sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，
22sin sin sin x x x ωωω=+-，
sin x ω=，
因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是增函数， 所以22356
2π
ωπωππ
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，
令2,2
x k k Z π
ωπ=
+∈，
因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02π
πω
≤≤， 所以12
ω≥
， 所以ω的取值范围是1325
ω≤≤. 故选：B
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
10. 设213i
z
i
+=
-，则z =_______
【答案】2
【解析】 【分析】
先化简z 为a bi +的形式，再求得z .
【详解】由于()()()()2131717131310
1010i i i z i
i i ++-+=
==-+-+，
所以2z ==
.
故答案为：
2
【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算. 11. 若tan 2α=，则2cos sin cos ααα+=_______ 【答案】35
【解析】 【分析】
利用除以“1”的
方法，结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】22
22
cos sin cos cos sin cos cos sin ααα
ααααα
++=+ 22222
2cos sin cos 1tan 3cos cos sin 1tan 5
cos ααα
αααααα=++==++. 故答案为：3
5
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
12. 若函数(2)x y f =的定义域为[]1,2-，则(1)=-y f x 的定义域为________ 【答案】3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
利用函数(2)x
y f =的定义域求得()f x 的定义域，由此列不等式求得(1)=-y f x 的定义域.
【详解】由于函数(2)x
y f =的定义域为[]1,2-，此时1
21
2
22242
x x -≤≤⇒
≤≤， 所以()f x 的定义域为1,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
由此可知
13
14522
x x ≤-≤⇒≤≤， 所以(1)=-y f x 的定义域为3
,52⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
故答案为：3,52
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题. 13. 若两个正实数x ，y 满足94
1x y
+=，且不等式224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是________
【答案】1m <-或25m > 【解析】 【分析】
利用基本不等式求得x y +的最小值，由此列不等式求得m 的取值范围.
【详解】依题意两个正实数x ，y 满足94
1x y
+=，
所以()9494131325y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=
⎪⎝⎭
，
当且仅当9415,10y x
x y x y
=⇒==时等号成立. 由于不等式2
24x y m m +<-有解，
所以()()2
2242524252510m m m m m m ->⇔--=-+>，
解得1m <-或25m >. 故答案为：1m <-或25m >
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 14. 已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛
⎫∈+=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则
cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________．
【答案】5665
- 【解析】 ∵3,,4παβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
， ∴3,22παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
, ∴()
4
cos 5
αβ+=．
又3,424π
ππβ⎛⎫
-
∈ ⎪
⎝⎭
，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∴5
cos()=4
13
π
β--=-
． ∴cos()cos[()()]4
4
π
π
ααββ+
=+--
cos()cos()sin ()sin()4
4
π
π
αββαββ=+-
++-
4531256()()51351365
=⨯-+-⨯=-． 答案：5665
- 15. 已知函数(](]32
,1,01(),0,1x x x f x x x +⎧-
∈-⎪+=⎨⎪∈⎩
，且()g x mx m =+
（1）若1
3
m =，则()()g x f x =根的个数为________
（2）若()()g x f x =在(]1,1-内有且仅有两个不同的根，则实数m 的取位范围是________ 【答案】 (1). 2 (2). 91,20,42⎛⎤⎛⎤
--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）当1
3
m =时，画出()f x 和()g x 的图象，根据图象判断出()()g x f x =根的个数.
（2）对m 分成0,0,0m m m =><等三种情况，结合()f x 和()g x 的图象，求得m 的取值范围.
【详解】当(]1,0x ∈-时，()()311321
3111
x x f x x x x +-+=-
=-=-+
+++. ()()1g x m x =+过定点()1,0-.
（1）当1
3
m =时，画出()f x 和()g x 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有2个交点，所以()()g x f x =有2个根.
（2）当0m =时，()0g x =，此时()f x 和()g x 的图象有1个交点，不符合题意.
当0m >时，结合()f x 和()g x 的图象可知，要使()()g x f x =在(]1,1-内有且仅有两个不同的根，
则(]0,AB m k ∈，其中()()1,1,1,0A B -，011112AB k -==--，故10,2m ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 当0m <时，由32
1
x mx m x +-
=++化简得()22320mx m x m ++++=， 由()()2
2342490m m m m ∆=+-+=+>解得94
m >-，
结合()f x 和()g x 的图象可知，要使()()g x f x =在(]1,1-内有且仅有两个不同的根， 则9,4BC m k ⎛⎤∈-
⎥⎝⎦，其中()()0,2,1,0C B --，()20201BC k --==---，故9,24m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦
. 综上所述，m 的取值范围是91,20,42⎛⎤⎛⎤
-
-⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
.
故答案为：2；91,20,42⎛⎤⎛⎤
-
-⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
【点睛】本小题主要考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
16. 已知函数
2
()cos(2)2cos 3
f x x x π
=-
+
（1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的值域. 【答案】（1）最小正周期T π=，对称轴方程()212
k x k Z ππ
=+∈；（2）1
,312
. 【解析】 【分析】
（1）化简()f x 的解析式，进而求得()f x 的最小正周期和对称轴方程.
（2）利用三角函数在给定区间上的值域的求法，求得()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域.
【详解】（1）()cos 2cos
sin 2sin
1cos 23
3
f x x x x π
π
=+++
33
2cos 212
x x =
++3sin 2cos cos 2sin 133x x ππ⎫=++⎪⎭
213x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的最小正周期为22
T π
π==. 由232x k π
π
π+
=+
得()212
k x k Z ππ
=
+∈，
即()f x 的对称轴方程为()212
k x k Z ππ
=
+∈.
（2）由（1）得()213f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭.
所以22,2,23
3
3333
x x x π
π
ππππ
π-
≤≤
-
≤≤-≤+≤
所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，121123x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，
所以()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的值域为1
,312
. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、对称轴方程和值域的求法，属于中档题.
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，已知3cos (cos cos )C a B b A c += （1）求cos C 的值； （2）求sin(2)6
C π
+
的值
【答案】（1）13；（2）
7
18
-. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos C 的值.
（2）先求得sin C 的值，由此求得sin 2,cos 2C C 的值，进而求得sin(2)6
C π
+的值.
【详解】（1）依题意3cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得：()3cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，
()3cos sin sin C A B C +=，即3cos sin sin C C C =，由于0C π<<，所以sin 0C >，
所以13cos 1,cos 3
C C ==.
（2）由（1）得1cos ,03C C π=
<<，所以sin 3
C ==，
1sin 22sin cos 2339
C C C ==⨯
=
， 2
217cos 22cos 12139C C ⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
，
所以sin(2)6
C π
+
sin 2cos
cos 2sin
6
6
C C π
π
=+
717929218
⎛⎫=
+-⨯=
⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
18. 已知函数
()sin()cos 34
f x x x π=-+
，x ∈R
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()24
A f =
，3,2
b c ==，求a 的值
【答案】（1）()5,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）a =. 【解析】 【分析】
（1）化简()f x 解析式，利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间. （2）利用2f A ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值求得A ，利用余弦定理求得a .
【详解】（1）()sin cos
cos sin
cos 3
3f x x x x π
π⎛
⎫
=- ⎪
⎝
⎭
21sin cos 2x x x =
+
11cos 2sin 242x x += 11sin 2cos cos 2sin sin 223323x x x πππ⎛⎫⎛⎫=
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 由222232
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，
解得1212
k x k π5ππ-≤≤π+， 所以()f x 的单调递增区间为()5,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）由（1）得()1sin 223f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
，
所以1sin 223432A f A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 由于20,33
3A A π
π
ππ<<-
<-
<
，所以2333
A A πππ
-=⇒=
.
由余弦定理得a ===【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题. 19. 已知函数
2
3
2
()32f x a x ax =-+，()33g x ax =-+，x ∈R ，其中0a >
（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间(1,1)-上的极值； （3）若0
10,2x ⎛⎤
∃∈ ⎥⎝⎦
，使不等式00()()f x g x >成立，求a 的取值范围
【答案】（1）33y x =-+；（2）答案见解析；（3）3a >-【解析】 【分析】
（1）当1a =时，32()32f x x x =-+，可得()10f =，根据导数求得(1)f '.由此利用导数的几何意义能求出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.
（2）令22
()363(2)0f x a x ax ax ax '=-=-=，分别讨论21a ≥
和2
01a
<<两种情况，结合导数性质即可求出函数()f x 在区间()1,1-上的极值.
（3）令22
3
1()()()331,0,2
F x f x g x a x ax ax x ⎛⎤=-=-+-∈ ⎥⎝
⎦
，要保证：0
10,2x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦
，使不等式00()()f x g x >成立，只需max ()0F x >，根据导数判断()F x 单调性，由此能求出a 的取值范围.
【详解】（1）当1a =时，32()32f x x x =-+
()10f ∴=，
又
2()36f x x x '=-
∴(1)3f '=-
故点()()
1,1f 为()1,3-
根据直线方程点斜式：()00y y k x x -=-
∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33y x =-+
（2）令22
()363(2)0f x a x ax ax ax '=-=-=
0a >
1220,x x a
∴==
①当2
01a
<
<，即2a > 列表讨论()f x '与()f x 的变化情况：
∴当0x =时，()f x 取得极大值()02f =， 当2
x a =
时，()f x 取得极小值242f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
②当2
1a
≥
时，即02a <≤时， 列表讨论()f x '与()f x 的变化情况：
∴当0x =时，()f x 取得极大值()02f =，无极小值.
（3）令22
3
1()()()331,0,2
F x f x g x a x ax ax x ⎛⎤=-=-+-∈ ⎥⎝
⎦
则22
()363F x a x ax a '=-+
要保证：0
10,2x ⎛⎤
∃∈ ⎥⎝⎦
，使不等式00()()f x g x >成立
只需max ()0F x >
10,,02x a ⎛⎤
∈> ⎥⎝⎦
22()33(12)0F x a x a x '∴=+-> ∴()F x 在区间10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增
max 1()2F x F ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
max ()0F x >，
即3
2
21113310222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即2680a a +->
解得3a <-(舍)或3a >-
∴a 的取值范围是3a >-+.
【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的切线方程和函数的极值，及其根据不等式在指定区间上存在解求参数范围问题，解题关键是掌握构造函数求参数范围的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 20. 已知函数()()211ln 2f x x ax a x =
-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1
e
． ()1求实数b 的值；
()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；
()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使
得函数()F x 在区间[]
,m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 【解析】
分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1
x e
=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111
g b e e e
⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭
，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函
数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[]
,m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()
()()
2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2
ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.
详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1
x e
=
， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；
当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减.
所以当1
x e
=
时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111
g b e e e
⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭
，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.
()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x
-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()
2
1x f x x
=
'-，故()f x 在()0,+∞单调增
②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>
故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．
③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2
ln 2F x x x x =-+，
所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1
'20x x
ω=-
>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，
所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()
F x 区间()1,+∞内单调递增.
假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[]
,m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，
则()()()()
2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，
问题转化为关于x 的方程()2
ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实
根， 即方程2ln 2
2
x x x k x -+=+在
区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，
令()2ln 2
2
x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22
342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2
342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x
-+=+-
=>对
()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，
故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所
以方程2ln 2
2
x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.
综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[]
,m n 上的值域是
()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦.
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.。