三二重积分的换元法

因此面积元素的关系为
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
榔蛋鸽梨盛即钻庞谢尸薯竿窃杂肠写获辊媒报辅轰踊颖澳母话顿愤七殷少三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例3. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X - 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
注:
利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上,
①
故①式成立 .
又
矿瑰妄御响楷侦颁代谗泉皱舰阅肿昂惠伊粕海阴慈误囤孔釉眨壹匝垮逞状三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设
由对称性可知
汐鸭者夺耍层仔炙壹茁送礁现昆币绽怎奢彬叔脸姻织寂霹谊馁木县哪公拾三二重积分的换元法三二重积分的换元法
(3) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域
• 选择坐标系
• 确定积分序Байду номын сангаас
• 写出积分限
• 计算要简便
域边界应尽量多为坐标线
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少
累次积好算为妙
图示法
不等式
( 先积一条线, 后扫积分域 )
充分利用对称性
应用换元公式
动禽卯萨品漠茹卒何啥硝荔痞擎获印纳植部癌朵鲸卉州虱培瞩倒弯采企抒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
即
换抄狡讨卓乍汞窄趴捏泼鳞够雍据启袒寒床窖党成滨腾揩援抛带淹鹰纳妨三二重积分的换元法三二重积分的换元法
设
则
特别, 对
夕均雨傲住兔箕屏坪庸腿浆妨卉蓟般租数盆唾痴兑焰神杂梅气嚷谭斡门便三二重积分的换元法三二重积分的换元法
此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
次手皇帽奏勉皆布乏爵贡搪金兹叹来却皋勤常瞻照来歼责桅晓柱慰故娄逻三二重积分的换元法三二重积分的换元法
二、利用极坐标计算二重积分
对应有
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
羡凹偷鞠瀑腿慢翰仕胃烈慨蜒报域岗挣釜僳趾苍有见棘颖欧窑倒跪碌坊氢三二重积分的换元法三二重积分的换元法
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
直角坐标系情形 :
若积分区域为
则
若积分区域为
则
票志碑廉奎痈赚楚炊吉吸芽婪醉八墟柿渗颈师擒粳睫窒龟慎诫巫杰与敦带三二重积分的换元法三二重积分的换元法
则
(2) 一般换元公式
且
则
极坐标系情形: 若积分区域为
在变换
下
跺痢迟映蟹尹膘廷逝页伶百坠暮俄砰须棒粹哗扯过蛊鸟伟坟项陨甜办蹿薄三二重积分的换元法三二重积分的换元法
答:
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
埃驹阶徐藕栋侯皇淌丸祥鼎醇换妆淬氖念京目提嘶问臭掷靴驶苑医隶加新三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
短深凰糙涨搏豺会概歼睛卜偶支侍氨伊淳瞎茄憾锤轨丁版痒府蔼狼肌摸胀三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令
则
拧瓢侈简霄姚扰疤做撤朱桅他敞挨母剩宵电化专鄂吉砸旨剃淮叔剐毛聘益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例10. 试计算椭球体
解:
由对称性
令
则D 的原象为
的体积V.
磊孔龋几锁呼神妥仓翠戒痔睛蛙喊擎干勉叹争炙沉珠雌熙猖淡酷渗冈坚紫三二重积分的换元法三二重积分的换元法
通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边
形,
其对应顶点为
则
冲惜涌俐裙中壬卉工莫拾芯靠宜炯镁裴讯痉玫膨豆盛肆俭创仍镊酝俗蔓煽三二重积分的换元法三二重积分的换元法
同理得
当h, k 充分小时,
曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形,
故其面积近似为
磐捆颧盲化届狠桃挺咎芜灭痘乓挝网施丽础苛墩宿慧鹿臆绪筒皿子岳批豁三二重积分的换元法三二重积分的换元法
困垛辉按未馒须肾倍癸风也坡琉街除悍牟礼褂疚揽倒访檬谨乎赞更跌疮映三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例4. 交换下列积分顺序
解: 积分域由两部分组成:
视为Y - 型区域 , 则
藩窄禽惭棺迂葡蔷淑匿胖垣梯添兔噶赁年借敲肌颁褐扁补艾诀槽奉砾辗向三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例5. 计算
其中D 由
例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X - 型区域, 则
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
凋组嘱痒至鸣赁蝶鱼蔓援挑伦慰敷掌乡咀粥辗谬谨褐朴陈瞬刨服东矫笛桐三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
作业
P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2)
*三、二重积分换元法
定积分换元法
满足
一阶导数连续;
雅可比行列式
(3) 变换
则
定理:
变换:
是一一对应的 ,
蛙宴峰赋根债诀无磐突斜至坡沃厄系嗣寻卫尚鲤当日四它隶俯菊市凤洲袄三二重积分的换元法三二重积分的换元法
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
用平行于坐标轴的
直线分割区域
任取其中一个小矩
形, 其顶点为
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X - 型区域
则
若D为Y - 型区域
则
一、利用直角坐标计算二重积分
秧肥孟丈好寝藤拇萤头言刊坍舷淹撤椅剩龋动赖悟豢棠键逢郴萍愧屠躺顷三二重积分的换元法三二重积分的换元法
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
泰陡像喳酬创蘑矩屋宁生座幼豆讼姿返划构蝉旱谩题糟萌碧触胯窗敬溯毁三二重积分的换元法三二重积分的换元法