山西山大附中2014高三8月月考-数学(理)

山西山大附中2014高三8月月考
数学（理）
考试时间：110分钟 满分：150分
考查内容：高中全部
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.
满足）3——3i 的复数z 的共轭复数是（
）
・ ・ ・ ・
A. _3 i B . -3-i C . 3 i
D. 3-i
2.
已知函数
1
的定义域为M , g （x ）=lnd • x ）的定义
域为N ,
f （X ）二
J 1 -X
则 M P IN 二（ ）
A <x|x -1?
B . ；、x|x 1
C 「x|-1：x ：1
D .-
3.
已知a,b 是实数，则“ a>0或b>0 ”是“ a +b 〉0且ab > 0 ”的（）
A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C.充分必要条件 D
.既不充分也不必要条
件
4 .已知P 是:ABC 所在平面内一点，"PB ^C 2P^ - 0，现将一粒红豆 随机撒在心ABC 内，则红豆落在i PBC 内的概率是「开始' （ ）
5 .如图所示，程序框图输出的所有实数对（X 』） 所对应的点都在函数（
）
A. 1 B .1 C .2 D .1
4
3
3
2
A. y-xj的图象上 B . y=2x的图象上C. y=2x的图象上 D . y=2x4的图象上
-1
的圆的方程是（
10.离心率为q 的椭圆与离心率为^的双曲线有相同的焦点，且椭圆 长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构
A . f(3)
f
（3）
2
1 f(3) B.
f(2)
1
3
f
（3） f （2）
C .
3
2
1
D.
1
3 2
f(2)
f(3)
f(3)
f(3)
(2)
f(3)
2 1
x -1 时,
3 , 1
f(2) f(3)
6.二项式
的展开式的第二项的系数为
(ax
a
2 /dx
的值
A. 3
B.
7 C. 3或 7
D. 3或10
3
3
3
P —ABCD
的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（
A. 12'
：
24
二
36
二 48
二
&圆心在抛物线
y 2=2X 上，且与该抛物线的准线和x 轴都相切
A. x 」
2
2
+ (y —1 )=1
B
C.
x —1 2
D.
x 」 2
9
•设 f (x)
是定义在实数集R 上的函数，满足条件y h f （x T ） 是偶函数,
且的大小关系是（
为（ )
的三视图如右图所示，其中 7 .四棱锥P _ABCD
,四棱锥
成等比数列，贝S 「
-1
A. 1
B. -e2
C. 1
D. -e i
e2 U
11 .已知f（X）是偶函数，且f （x）在0母）上是增函数，如果f（ax V： f （x—2）在1上恒成立，则实数a的取值范围是（）
x.,1]
2
A- [-2,1] B • [-5,0] C • [-5,1] D • [-2,0]
12.已知球的直径sc =4 , A,B是该球面上的两点，AB=V3，
.ASC - . BSC =30〃，则三棱锥S - ABC的体积为（）
A. 3用
B. 2^/3
C. 73 D . 73
2
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

共20分。

）
13 .某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0. 19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数
为____________ .
为等比数列，s是它的前n项和。

若aa=2a，且a与2a
14.已知何
｝
的等差中项为5，则S5= .
4
15.设x、y满足约束条件上-y+2A0，若目标函数
4x _ y _ 4 二0
x 一0
y-0 -1
3
z = ax by(a 0,b 0)的最大值为6，贝“
1 2的最小值 lOg 3(
a b )
为 _______ •
16. 下列命题中，真命题的序号为 (1) 在 ABC 中，若A B ，则 sin A sin B ；
(2) 已知 AB =(3,4),C5 =(_2,_1)，则 A B 在 CD 上的投影为-2 ； (3)
已知
R,cosx=1， q:\z x w R,x 2 _x +1>0，贝廿 “ P 代「q ”
为彳假 命题； (4) 要得到函数
x 二的图象，只需
将
x 的图象向左平
y=cos(_— — )
y = si n_
2 4
2
移二个单位.
4
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说 明，证明过程或演算步骤。

)
17. (本题满分12分)设厶 ABC 的三边为a b c 满足b + c
.
cos B cosC a
(I)求A 的值； (H)求 2B
2C
的取值范围.
2 cos —+2』3cos —
2 2
18.
(本题满分12分)我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下:
两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人 比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局 获胜的
概率皆为2，且各局比赛胜负互不影响•
(I)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率;
3
(H)设•表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量•的分布列和数学期望.
19.(本题满分12分)如图，四棱锥P_ABCD的底面是直角梯形，
AB//CD , AB_AD，厶PAB禾口厶PAD是两个边长为2的正三角形，DC = 4 , O为BD的中点，E为PA的中点.
(I )求证：PO —平面ABCD ；
(n)求证：0E //平面PDC ；
(皿)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
20.(本题满分12分)已知椭圆x2 y2
p+^^IRb A O)
a b
且过点(2,1).
(I)求椭圆的方程; 的离心率为■-
6 ，
3
(H)若过点C (-1 , 0)且斜率为k的直线丨与椭圆相交于不同的两
点代B，试问在x轴上是否存在点MAMB 3k51 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
21.（本小题满分12分）设函数f（x）-（x"）2• blnx，其中b为常数（I）当1时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
b > —
2
（H）若函数f（x）有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点。

22.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程cos「为参数）.以O为
1 ®
y 二sin
极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求圆C的极坐标方程；
（H）直线|的极坐标方程是戸佝n0 +V3cos T）=3/3，射线OM•日丄与
3 圆C的交点为°, P，与直线l的交点为Q，求线段pQ的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲
已知函数f（X）= X - a
⑴若不等式f(x)，的解集为.-仁X乞5!，求实数a的值；(II)在⑴ 的条件下，若f(x) f(x 5^m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范
参考答案
1. D . 2 . C . 3 B 4 D 5 D. 6.C (文 B) 7.A 8.B 9.A 10.D 11.D 1
2.C
13. 16 14.31 15.2 16.(1)(3)
17 •【解析】：(1) b c=a cos B - a cosC ,
1
sin B si nC
二 si nA cosB si nA cosC ,
所以 sin(A C) sin(A B) = sin AcosB sin AcosC ,
sin A cosC cos As in C sin AcosB cos As in B=s in AcosB sin A cosC
因为二曲「：2n ，
6
6
3
所以 所以 所以 cos Asin C + cos Asin B = 0 , 即 5分 所
以
c A= o
6分
4 分
cosA(sin C sin B) = 0
(2) (2)
2cos 2
B+^/3cos 2
C 1+cosB 十2府〕*c °sC
2 2 2
JI
2sin(B
6)
.31
2
9
所
以
1 :s B - < 2
6
11分
所
以
.3
B 6宀'
12分
1
&解⑴由题意知'乙每局获胜的概率皆为
门」•1
3
3
比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连
16 81
所以随机变量•的分布列为
2
4 6 P
5 20 16
9
81
81
-10分
(文科)解：
(I)由题意可知(0-2 0.15 0.075 a 0.025) 2 =1，解得5
=2
4
20 81
266 81 81
12
胜，则 P ^C 23 3
3 3
81
(H)由题意知，匕的取值为2,4,6 .
p
（ »|）2 Q 2
1 2 ,1 社
1 1 2
2 2 1 1 2
1 P —C 2§花）+C 2拧？
20 ....... 4分
.. 5分 ....6 分
7分
81
a = 0.05.
所以此次测试总人数为一：一40 .
0.05x2
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40
人. ............ 4分
(H)由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成
绩优秀的频率为(0.15 0.05) 2 =0.4，则估计从该市初二年级男生中任
意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4 . ....... 7分(皿)设事件A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组.
由已知，测试成绩在24有2人，记为a,b ；在I.4,6有6人，记为
A, B,C,D,E, F .
从这8人中随机抽取2
人
有
a ,
b , a A
,B ,a C,a, D a E a F b A b
B
AB,AC, AD,AE,AF,BC, BD, BE, BF, CD, CE,CF, DE, DF, EF 共28 种情况事件A包括aA,aB,aC,aD,aE,aF,bA,bB,bC,bD,bE,bF 共12 种情况.
12 3
所以P(A) = J .
28 7
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为3 .
12
19 (I)证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF二AB
T AB _ AD , AB =AD , AB // DC，二四边形ABFD 为正方形，
T O为BD的中点，二O为AF, BD的交点，
.• PD 二PB =2 , PO _ BD ,
• BD = . AD2 AB2=2.2，
二P0= PB2 -B。

2 "2，AO』BD「2，
2
在三角形PAO 中，PO2 AO2二PA2 = 4，二PO _ AO ,
：AO^BD -O，二PO —平面ABCD ；
（II ）方法1 ：连接PF , V O为AF的中点，E为PA中点，「• OE // PF , T OE 二平面PDC , PF 二平面PDC，二OE // 平面PDC • 方法2：由（I ）知PO _平面ABCD，又AB _ AD，所以过O分别做AD, AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：A（-1,-1,0），B（-1,1,0），D（1,—1,0） F（1,1,0），
c（i,3,o）, p（o,o,T2），E i 丄72），（2，
2， 2 ）
则OE十1」雀），礼（2），启77-问，乩（1,3"）
2 2 2
OE」PF 二OE//PF V OE二平面PDC，PF平面PDC，
2
二OE // 平面
PDC ；
（皿）设平面PDC的法向量为*=（x，y，z），直线CB与平面PDC所成角e,
则返二。

，n PD =0 即x i 3y i「2z「O，X| ~■ y<)_ '、= O
解得y^O
X| 2z-i
,令乙=仆贝S平面PDC的一个法向量为瞎=（逅0」）,
1
° MA =区—m,y 1),MB =(X 2 —m,y 2),
又
又 CB =(一2,一
2,0)
则
sin 0
2 2
_ 3，
一3—2：2 一 3
A 直线 C
B 与平面 PD
C 所成角的正弦值为 cos ：： n, CB
二.
3
20.【解析】：（1） v 椭圆离心率为
6，A
b 2
1 a
2 一
3
又罕椭圆过点（2 ,1）,代入椭圆方程,
所以
2 5b 2
5. a 5,b
3
A 椭圆方程为
5
5
3
,即 x 2 3y 2 =5.
⑵在X 轴上存在点關） ，使 MMB
2
5
3 21
是与K 无关的常数.6
证明：假设在x 轴上存在点M （m ,o ）,使MA MB 5 3k 2比
是与k 无关的
常数,
v 直线L 过点C （-1 , 0）且斜率为K, A L 方程为 y = k(x 亠
1),
分
由r 2丄 2 』x +3y =5, 、y =k(x +1), 设 A%, yJ,B(X 2,y 2)
2^2
2 2 2 2
(3k 2 1)x 2 6k 2x 3k-^0. ，则
3k 2 1
3k 2 1
M
A ^十為用1 -m)(x2 -m) +yy +名 9
(X 1 _m 也 _m )+k 2(x 1 +1 “2 +1
2 21
oo
5 1 k x 1x^ k - m x i
x 2
m k
3k +1
2
打.2 3k -5 打 2
-6k
1 k .——
2 k -m 2
3k +1
3k
3k 2 1
2
3k 1
12分
21解：（I ）由题意知, f （
x ）的定义域为（0,畑）,
1
时，函数 > —
2
有两个相同的解
1
,
=0
x =
2
f'(x) =2x -2
—= x
2x 2 -2x b 二当—1 时，f （x ）0，
2
函数 2（x _〔）2 — _ 1
（x 0）
x
f （x ）在定义域（0,乜）上单调递增. 但当
x 兄）时，f '
（x ） 0
，
2
x （2「）时，f '（x ） °
2
2
-m 2
1
2 2 2 2 2
-k 6mk 3m k m
10
设常数为t ，则
2 2
-k 亠6mk 亠3m k
11
整理得(3m 2 6m 一1 _3t)k 2 m 2_t=0
对任意的
k 恒成立,
3m 2 6m -1 -3t =0, —2 m —t =0.
解得 1
m =—
6
即在x 轴上存在点M （
6，°
）
使MA 編• 5
3k 2 +1
是与
K 无关的常数.
（H ）①由（I ）得，
f （x ）
无极②
1
时,
—=
2
2
f'(x)冒
1时，函数f （x ）在（0, +些）上无极值点. .I b —— 2
③当 1时，f （x ）=0有两个不同解，
b :::
2 1 1-2b
1
1-2b
X i
, x 2 2
2 2 2
i ）
…时，
3（0,；），舍去，
2 2
而 x 2 = 1 + " 一2b Z 代(0,邑) 2 2
f （x ）, f （x ）随x 在定义域上的变化情
况如下表:
f (x)有惟一极小值点
1
.j _ 2b
，X 2 - 2 + 2
"）当 0宀 J 时，0<x
1 V 1
此时，f （x ），f （x ）随x 的变化情况如下表:
由此表可知： ° 时，f （x ）有一个极大值
J"
2 1 2 2
和一个极小值点
X 2
此时
由此表可知：当b 空0时,
综上所述:
当且仅当 1时f(x)有极值点； b <
2
当b 乞0时，f (x )有惟一最小值点
1
.. 1 _ 2b 和一个极小值点
x =
2 2 x 丄二 2 2
22.【解析】:(I )圆C 的普通方程是&「)2 • y
2 ,又 所
以圆C 的极坐标方程是
23.解：（I ）由 f （x ）乞3得|x-a^3，解得 a-3_x_x 3 • 又已知不等式f (x )空3的解集为「XI -仁X/， 所以召-3 = T ，解得a = 2 • — 4分
© +3=5
(H)当 a =2 时，f (x) =|x -2|，设 g(x^ f (x) f (x 5)，
于是
-2x —1,x ：： —3,
g(x) =|x —2 |+| x +31= « 5,—3 兰 x 乞2,
-------------- 6
入二2cos 弓
解得=1 = 1
彳 兀 “3 I
为点P 的极坐标，则有 当° ”」时，f(x)有一个极大值点
2
为点Q 的极坐标，则有 由于- "2
，所以
PQ | = E - p 2
I 「2（sin 匕.3cos®） = 3.3 e 丄
2
3
，所以线段PQ
的长为2.
解得 「2=3 • " 3
2x +1, x >2.
分
所以当x ：：: 一3 时，g(x) 5 ；
当- 3—X—2 时，g(x) =5 ；
当x 2 时，g(x) 5 -
综上可得，g(x)的最小值为5. ----------- 9分
从而右f (x) f (x 5)亠m，即g(x)亠m对—切头数x恒成立，则m的取值范围为(-乂，5] . --------- 10分。