河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章

第二节 一元二次方程及应用
河北五年中考命题规律
年份
题号 考查点 考查内容 分值 总分
2017
19 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开
平方法解一元二次
方程 3
7 26(2) 一元二次方程及根的
判别式
利用题中已知条件
列出方程，并用判别式判断根的情况 4
2016
14 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断
含字母系数的一元
二次方程的根的情
况
2 2
2015
12 一元二次方程根的判
别式
考一元二次方程无
实数根求参数的取值范围 2 2
2014
21 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，
并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程
10 10
2013年未考查
命题规律
纵观河北近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中
各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.
河北五年中考真题及模拟
一元二次方程的解法
1．(2014河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2
－4ac>0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0变形为：
x 2
＋b a x ＝－c a ，第一步
x 2
＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2
－4ac 4a 2
，第三步
x ＋b 2a ＝b 2
－4ac 4a
(b 2
－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2
－4ac 2a
.第五步
(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公
式为__x ＝－b ±b 2
－4ac
2a
__．
(2)用配方法解方程：x 2
－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.
2．(2017沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，
得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2
－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )
A ．甲错误，乙正确
B ．甲正确，乙错误
C ．甲、乙都正确
D ．甲、乙都错误
3．(2016石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32
－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )
A ．－4或－1
B ．4或－1
C ．4或－2
D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
4．(2015河北中考)若关于x 的方程x 2
＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥1
5．(2016河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为0
6．(2016唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2
－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－
32
__．
7．(2017唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），
ab －b 2
（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42
－4×2＝8.
(1)求(－5)*(－3)的值；
(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2
－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，
∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2
＝6；
(2)方程x 2
－5x ＋6＝0的两根为2或3；
①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32
－2×3＝3. 一元二次方程的应用
8．(2016邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )
A ．48(1－x)2＝36
B ．48(1＋x)2＝36
C ．36(1－x)2＝48
D ．36(1＋x)2＝48
9．(2016石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．
10．(2017河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研
发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2
－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．
月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100
(1)求y 与x
(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.
解：(1)由题意，设y ＝a ＋b
x ，
由表中数据得⎩
⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b
120
，
12＝a ＋b
100
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，
∴y ＝6＋600
x
，
由题意，若12＝18－⎝
⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，
∵x ＞0， ∴600
x
＞0，
∴不可能；
(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2
－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，
∴x ＝2n 2
－26n ＋144，
将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2
－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；
由题意，得18＝6＋600
x
，
解得x ＝50，
∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2
－13n ＋47＝0，
∵Δ＝(－13)2
－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；
(3)设第m 个月的利润为W ，
W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝
⎛⎭⎪⎫6＋600x
＝12(x －50)
＝24(m 2
－13m ＋47)，
∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2
－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；
若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.
,中考考
点清单
一元二次方程的概念
1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．
【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
一元二次方程的解法
2.
直接开 平方法
这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数
的一元二次方程，即形如(x ＋m)2
＝n(n≥0)的方程. 配方法
配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．
公式法
求根公式为__x ＝－b ±b 2
－4ac 2a
(b 2
－4ac≥0)__，适用于所有
的一元二次方程.
因式分 解法
因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二
次方程的解.
【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：
(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2
＝－c a
，考虑用直接开平方法解；
(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．
一元二次方程根的判别式
3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2
－4ac__称为根的判别式．
4．判别式与根的关系：
(1)b 2
－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；
(2)b 2
－4ac<0⇔方程没有实数根；
(3)b 2
－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．
【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2
－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.
一元二次方程的应用
5．列一元二次方程解应用题的步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：
(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．
,中考重难点突破
一元二次方程的解法
【例1】(2016保定十七中二月调研)解下列方程：
(1)(x －2)2＝12
；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2
＝2x.
【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．
【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－2
2
；
(2)配方，得(x －2)2
＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；
(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2
－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝
3＋52，x 2＝3－5
2
； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.
1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1
C ．x 1＝3，x 2＝－1
D ．x 1＝－3，x 2＝1
2．(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2
＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：
(1)(广东中考)x 2
－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；
(2)(兰州中考)x 2
－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例2】(2017包头中考)若关于x 的不等式x －a 2
＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2
＋ax ＋1＝0
根的情况是( A )
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a
2
＝1，解得a ＝0，又因
为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2
＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .
【答案】C
4．(2016唐山丰润二模)方程x 2
－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根
5．(2016保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2
－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )
A ．a>2
B ．a<2
C ．a<2且a≠1
D ．a<－2
6．(2017咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断
一元二次方程的应用
【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．
【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万
元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2
万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．
【答案】(1)2.6(1＋x)2
；
(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2
＝7.146.
解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .
【答案】C
【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．
【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.
整理，得x 2
－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，
∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．
【例6】(2017南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .
(1)用含a 的式子表示花圃的面积；
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
，求出此时甬道的宽．
【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等
于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
，列出方程进行计
算即可．
【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得
60×40－(60－2a)(40－2a)＝3
8
×60×40，
解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .
7．(2017巴中中考)某地2014年外贸收入为2.5亿元，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )
A ．2.5(1＋x)2＝4
B ．(2.5＋x%)2＝4
C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4
D ．2.5(1＋x%)2＝4
8．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另
一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2
，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )
A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18
B ．x 2－3x ＋16＝0
C ．(x －1)(x －2)＝18
D ．x 2＋3x ＋16＝0
9．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．
10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？
解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，
∴购买树苗超过60棵；
x[120－0.5(x －60)]＝8 800， x 1＝220，x 2＝80，
当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x ＝220舍去．∴x＝80.
答：该校共购买了80棵树苗．。