湖南高三高中数学月考试卷带答案解析

湖南高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.下列命题中正确的是（）
A．若，则；
B．命题：“”的否定是“”；
C．直线与垂直的充要条件为；
D．“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
3.已知，则“”是“”的（）
A．充分非必条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4.设函数则等于（）
A．3B．6C．9D．12
5.函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．B．
C．D．
6.已知函数，则的大致图象是（）
A．B．C．D．
7.已知，则等于（）
A．B．C．D．
8.要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
9.设是首项为，公差为-1的等差数列，为前项和，若成等比数列，则（）
A．2B．-2C．D．
10.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）
A．-1B．C．-2D．2
11.设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数的
取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.函数的单调减区间为____________．
2.下列各小题中，是的充分必要条件的是___________．
①或有两个不同的零点；
②是偶函数；③；
④；
3.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为___________．
4.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于
，使得，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
1.已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）求满足方程的的值．
2.已知函数的定义域为．如果命题“为真，为假”，求实数的取
值范围．
3.已知向量与互相平行，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
4.数列满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
5.已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
湖南高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】 A
【解析】由得，所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A.
【考点】1、复数的基本运算；2、复数的几何意义.
2.下列命题中正确的是（）
A．若，则；
B．命题：“”的否定是“”；
C．直线与垂直的充要条件为；
D．“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
【答案】C
【解析】因为时“若，则”不成立，所以A错；因为“”的否定是
“”，所以B错；因为“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，所以D 错，故选C.
【考点】1、特称命题与全称命题；2、充分条件与必要条件及四个命题.
3.已知，则“”是“”的（）
A．充分非必条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】因为当“” 成立时,“” 成立. 即“”“” 为真命题；而当“” 成立时, , 即或不一定成立, 即“”“”的充分非必要
条件,故选A.
【考点】1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质.
【方法点睛】本题主要考查不等式的性质及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.
4.设函数则等于（）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】由题意得, ,因为根据对数函数的单调性知:
,
,故选C.
【考点】1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质.
5.函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】本题主要考査函数单调性,因为函数是偶函数, 故,即函数关于对称, 又因为函数在上单调递增, 故函数在上单调递减. 即当时,越小,越大, 故,正确答案为B,故选B.
【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.
6.已知函数，则的大致图象是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，则,故函数仍是分段函数,
以为界分段, 只有A符合，故选A.
【考点】1、分段函数的解析式；2、分段函数的图象.
7.已知，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，.
,故选D.
【考点】向量的基本运算.
8.要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位，故选B.
【考点】三角函数图象的平移变换.
9.设是首项为，公差为-1的等差数列，为前项和，若成等比数列，则（）
A．2B．-2C．D．
【答案】D
【解析】因为是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，，，
由成等比数列，得，即，解得：，故选D.
【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.
10.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）
A．-1B．C．-2D．2
【答案】A
【解析】因为切线与直线平行，斜率为，又，所以切线
斜率的斜率为，即，解得，故选A.
【考点】1、利用导数求曲线的切线方程；2、三角函数的求导法则.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及、三角函数的求导法则，属于难题.求曲线切线的一般步
骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在
处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程
.
11.设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数的
取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意, 存在定,当时,
使,当时,解得,得或,舍去）,
最大值
所以当时, 最大,所以常数的取值范围是,故选D.
【考点】1、利用导数求函数的最值；2、方程有解问题及“新定义”问题.
【方法点睛】本题通过新定义“次不动点”主要考查函数的最值、方程有解问题及转化与划归思想，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题根据“次不动点”满足“存在，使”这一重要性质将“函数
在区间上存在‘次不动点’”，转化为有解进行解答的.
二、填空题
1.函数的单调减区间为____________．
【答案】
【解析】因为,所以，又因为的图象开口向上，
且对称轴方程是，因此的单调减区间是，故答案为.
【考点】1、函数的定义域；2、函数的单调性.
2.下列各小题中，是的充分必要条件的是___________．
①或有两个不同的零点；
②是偶函数；③；
④；
【答案】①④
【解析】①有两个不同的零点
或，或有两个不同的零点,是的充分必要条件的,符合题意；②当是偶函数, 成立；取无意义, 故不成立, 故不合题意；③当成立；取，，，,故命题
不成立, 不符合题意；④当成立,符合题意, 故正确的有①④,
故答案为①④.
【考点】1、函数的零点及函数的奇偶性；2、三角函数的性质及集合的性质.
3.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】画出满足条件的平面区域, 如图所示: 目标函数几何意义为区域的点与的钭率, 过
与时钭率最小, 过与时钭率最大, 所以，故答案为.
【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于
，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数,, 当时,, 则当
时,, 若对于,使得,则等价为且
,
,则满足且,解得且,故，故答案为.
【考点】1、函数的奇偶性及全称量词与存在量词的应用；2、函数的单调性及函数的最值.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及全称量词与存在量词的应用、函数的单调性及函数的最值，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的最值，用不等式法求最值时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求最值时主要应用方法①结合方法④解答的.
三、解答题
1.已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）求满足方程的的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求函数的值域先研究其性质，由于，故得，代入求值域；
（2）将代入方程得，换元法先求得的值进而得的值．试题解析：（1）g（x）=+2=（）|x|+2,
因为|x|≥0,
所以0<（）|x|≤1,
即2<g（x）≤3,故g（x）的值域是（2,3].
（2）由f（x）-g（x）=0,
得2x--2=0,
当x≤0时,显然不满足方程,
即只有x>0时满足2x--2=0,
整理得（2x）2-2·2x-1=0,
（2x-1）2=2,故2x=1±,
因为2x>0,
所以2x=1+,
（1+）.
即x=log
2
【考点】1、函数的值域；2、简单的指数方程.
2.已知函数的定义域为．如果命题“为真，为假”，求实数的取
值范围．
【答案】.
【解析】由为真，为假,可得:和中一个为真一个为假.先由真得，进而得假时，再
由真，所以假时，然后分两种情况讨论，求并集即可.
试题解析：若p真q假，则，解得，
若p假q真时1≤a≤2．
综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．
【考点】1、真值表的应用；2、不等式恒成立问题.
3.已知向量与互相平行，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由向量与互相平行可得，运用同角的平方关系，解方程
即可得到和的值；（2）运用角的变换和两角差的余弦公式，计算即可得到 .
试题解析：（1）因为向量a=（2,sin θ）与b=（1,cos θ）互相平行,
所以sin θ="2cos" θ,
又sin2θ+cos2θ=1,
由θ∈（0,）,
则sin θ=,cos θ=.
（2）因为sin（θ-）=,0<<,
又θ∈（0,）,则-<θ-<,
则cos（θ-）===,
则有cos =cos[θ-（θ-）]
="cos" θcos（θ-）+sin θsin（θ-）
=×+×
=.
【考点】1、平面向量共线（平行）的性质；2、同角三角函数的平方关系.
4.数列满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）将的两边同除以得由等差数列的定义得证；（2）由（1）求出，得利用错位相减求出数列的前项和.
试题解析：（1）由得
，所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）得，所以
所以
①-②得：
所以.
【考点】1、错位相减求和；2、等差数列的定义.
5.已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，上单调递增；（3）.
【解析】（1）先求，得即为切线斜率，利用点斜式求解；（2）求出的导数，通过讨论的范围，确实导函数的符号, 从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为对恒成立, 令,通过讨论函数的单调性得到其最小值, 解关于的不等式即可求出的范围.
试题解析：（1）由，，得或（舍去）
经检验，当时，函数在处取得极值.
时，，
则，
所以所求的切线方式为，整理得.
（2）定义域为
，
令，得或
∵，则，且
①当时，，，此时在上单调递增；
②当时，在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，在上单调递减，上单调递增.
（3）由题意，，
即，即对任意恒成立，
令，则，
令，得，即在上单调递减，上单调递增，
当时取得最小值
∴，解得
又∵，所以的取值范围为.
【考点】1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立
（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.。