《函数的奇偶性》说课稿——获奖说课稿

函数的奇偶性
前言
函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，也是数学中的常见性质之一。

片
面地来讲，它们是课程表中的某一个知识点，但是如果它被用来将不同的数学概念联系起来，比如对称、周期性、等等，则可以把它作为基础知识点，引导学生探求数学中的奇美妙世界。

本文将围绕着函数的奇偶性来进行讲解。

正文
什么是函数的奇偶性
一个给定的函数，如果对于任意的x，都有f(−x)=−f(x)，则称该函数为一个奇函数，如果对于任意的x，都有f(−x)=f(x)，则称该函数为一个偶函数。

奇偶性的性质
1.若f(x)是一个奇函数，则其图像关于原点对称。

若f(x)是一个偶函数，
则其图像关于y轴对称。

2.对于任意的奇函数f(x)，f(0)=0。

对于任意的偶函数f(x)，f(0)是
正的。

3.奇函数与奇函数相加，得到一个奇函数；奇函数与偶函数相加，得到
一个奇函数；偶函数与偶函数相加，得到一个偶函数。

4.奇函数与奇函数相乘，得到一个偶函数；奇函数与偶函数相乘，得到
一个奇函数；偶函数与偶函数相乘，得到一个偶函数。

5.如果f(x)是一个定义域为$[0,\\infty)$上的偶函，那么f(x)可以表示
为一个关于x=0的偶函数的傅里叶级数。

奇偶性的应用
对称性
奇函数是关于原点对称的，而偶函数则是关于y轴对称的。

根据这一性质，我
们可以很容易地画出函数的图像。

例如，对于函数f(x)=x3，其中f(x)是一个奇
函数，我们可以得到关于原点的对称图像：
奇函数对称性1
同样地，对于函数g(x)=x2，其中g(x)是一个偶函数，我们可以得到关于y轴的对称图像：
偶函数对称性1
这种对称性不仅存在于函数的图像中，还可以应用于方程的解决。

例如，对于二次方程ax2+bx+c=0，如果b=0，那么该方程是一个偶函数。

如果我们知道一个根x0，那么−x0也是一个根。

这种对称性使得解方程变得更加简单。

周期性
对于任意函数f(x)，如果存在一个正数T，使得f(x+T)=f(x)对任意的x都成立，那么我们称f(x)是有周期的，T是这个周期。

对于周期函数f(x)来说，它的奇偶性是很容易进行判断的。

对于一个奇函数f(x)，如果它具有周期T，那么对于任意x，有：
f(x+2nT)=f(x)+2nf(T)
其中$n\\in \\mathbb{Z}$，所以f(T)=0。

因此，奇函数的周期只能是一半的偶数。

对于一个偶函数f(x)，如果它具有周期T，那么对于任意x，有：
f(x+2nT)=f(x)
其中$n\\in \\mathbb{Z}$，所以f(T)是一个正数。

因此，偶函数的周期是一个偶数。

手绘图像
当学生们见识到函数奇偶性对于图像的影响时，例如x3函数的关于原点的对称性或x2函数的关于y轴的对称性，他们会很感兴趣。

同时，学生们还可以自己动手绘制其他奇偶函数的图像，来加深自己的理解和掌握一些基本的绘图规律。

总结
函数的奇偶性是高中数学中的一个重要部分。

通过学习它，学生们可以更好地理解对称性、周期性等数学概念，并且理解证明它们在数学中的重要性质。

同时，学生们还可以用手动绘对应图像，进一步加深理解。