(优辅资源)广东省普宁市高二数学下学期第一次月考试题 文

普宁第一中学2015-2016学年度第二学期第一次月考
高二数学试题（文科）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则A B =（ ）
A. ()1,3-
B. ()1,0-
C. ()0,2
D. ()2,3 2. i 是虚数单位，复数
5225i
i
-=+（ ） A. i - B. i C. 21202929i -
- D. 410
2121
i -+
3.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）
A. 14y x =±
B. 13y x =±
C. 1
2
y x =± D. y x =± 4.已知向量()1,1a =-，向量()1,2b =-，则()
2a b a +=（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2
5. 已知向量,a b 满足22a b ==，且1a b =，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3π D ．2
π 6.“2a =”是“函数()f x x a =-在[2,)+∞上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 7. 将函数cos y x =的图象向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A.()y f x =是偶函数 B.()y f x =的周期是π
C.()y f x =的图象关于直线2
x π=对称
D.()y f x =的图象关于点(
,0)2π
对称
8、已知奇函数14()(0)
23()()
(0)x x F x f x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩，
则21((log )3
F f = ( )
A ．56
- B ．56
C ．1331()2
D ．1314()23
-
9、已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜图象相邻对称轴的距离为，
一个对称轴中心为（﹣，0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象( )
A ．向右平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移
个单位
D ．向左平移
个单位
10、已知x ，y 满足约束条件020x y x
y y -≥⎧
⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y
=+的最大值为1a +，则a 的取值范
围为（ ）
A ．(1,1)-
B ．[1,1)-
C ．[1,1]-
D ．(1,1]- 11、已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）=且f （x+2）
=f （x ），g （x ）=
，则方程f （x ）=g （x ）在区间[]5,1-上的所有实根之和为( )
A ．﹣8
B ．﹣7
C ．﹣6
D ．0
12、抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ． 1
D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上. 13. 已知1sin ,(,)22
π
ααπ=
∈，则sin 2α= . 14. 已知向量(1,3),(0,1)a b ==，则a 在b 方向上的投影是 . 15. 函数223
()x x f x a
--=（0,1a a >≠）有最小值，则不等式log (
1)0a x -<的解集
为 .
16、若函数(]()
21,0,1()31,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()(()0f x g x ⋅≥对于任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17、（本小题满分12分）已知△ABC 是斜三角形，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c
．若sin cos c A C =, （Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若c =sinC+sin （B ﹣A ）=5sin2A ，求△ABC 的面积．
18.（本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，
90=∠BAC ，且
异面直线B A 1与11C B 所成的角等于
60，设a AA =1. (1) 求a 的值；
(2) 求三棱锥BC A B 11-的体积．
19．（本题10分）已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求()2
f π
的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数3()()()4
4
g x f x f x π
π
=+
++
的最小值． 20．（本题10分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x
，过椭圆C 上一点(2,1)P 作x 轴的垂线，垂足为Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点Q 的直线l 交椭圆C 于点A ,B , 且30QA QB +=，求直线l 的方程．
y
21.（本题11分）设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+． （Ⅰ）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围；
（Ⅱ）记()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值．
第一次月考 数 学（文科） 参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2
-
； 15. {12}x x <<； 16.（1）(1,)+∞（2）3
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17、解：（I ）∵，由正弦定理可得sinCsinA=
sinAcosC ，
sinA≠0， ∴
， 得
，
∵C∈（0，π）， ∴．
（II ）∵sinC+sin （B ﹣A ）=5sin2A ，sinC=sin （A+B ），∴sin（A+B ）+sin （B ﹣A ）=5sin2A ， ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC 为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c 2=a 2+b 2
﹣2abcosC ， ∴，（2）由（1）（2）解得a=1，b=5，
∴．
18. 解：，(1)∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，
即∠A 1BC =60︒，…………………………………………………………………………2分 又AA 1⊥平面ABC ，AB=AC ，则A 1B =A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，…………4分
由1==AC AB ，
90=∠BAC 2=
⇒BC ，
∴121221=⇒=+⇒=a a B A ；……………………………………………6分 (2)连接B 1C ，则三棱锥B 1–A 1BC 的体积等于三棱锥C –A 1B 1B 的体积，
即：B B A C BC A B V V 1111--=，………………………………………………………………8分
△B B A 11的面积2
1
=S ，……………………………………………………………10分 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面B B A 11，
所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6
1
11=-BC A B V ．………………………………12分
19（Ⅰ）由题意得()sin
cos
12
2
2
f ππ
π
=+=； ………………3分
（Ⅱ）因为()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
所以函数()f x 的最小正周期为2π； ………………6分
（Ⅲ）因为3()()()44
g x f x f x π
π=+++()2x x ππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
sin )2cos()4
x x x π
=-=+， ………………9分 所以当324
x k k π
π=+∈Z ，时，函数()g x 的最小值为2-. ………………10分
20（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意得2c a =且22411a b
+=， ………………2分
解得2
6a =，2
2
3b c ==，则椭圆22
:163
x y C +=； ………………4分
（Ⅱ）由题意得点(2,0)Q ，设直线方程为2(0)x ty t =+≠，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则11(2,)QA x y =-，22(2,)QB x y =-，
由30QA QB +=，得1230y y +=， ………………6分
于是1212y y y +=-，2
121
3y y y =-，得到21212()4
3
y y y y +=-（＊）
将直线2(0)x ty t =+≠，代入椭圆22
:163
x y C +=，得到22(2)420t y ty ++-=， 于是12242t y y t -+=
+，122
2
2y y t
-=+， ………………8分 代入（＊）式，解得2
25
t =，
所以直线l
的方程为2)y x =-. ………………10分 21.（Ⅰ）考虑函数()f x 的图像，可知
①当0a ≥时，在[0,1]上，2
()f x x ax =+，显然()f x 在[0,1]上单调递增； ……………2分
②当0a <时，在[0,)+∞上，2
2()[0,)()[,+)
x ax x a f x x ax x a ⎧-+∈-⎪=⎨+∈-∞⎪⎩，，
，，
故()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是12
a
-
≥，即2a -≤. 所以()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是2a -≤或0a ≥； …………5分 （Ⅱ）利用（Ⅰ），当2a -≤或0a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增，
则()(1)|1|M a f a ==+； …………7分
当20a -<<时，2()max ()(1)max |1|24a a M a f f a ⎧⎫⎧⎫
=-=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，，，
解220|1|4
a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，
，得22(1a -<<， s
故当20a -<<
时，2
22(1()4|1|2(10a a M a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+<⎩
，
，，≤
综上，2
22(1()4|1|22(1a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-⎩
，
，，≤或≥， …………10分
于是()M a
的最小值为(2(13M =-…………11分。