2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题三(教师版)

如图1，正方形ABCD 的边长为1，点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、CD 上（点E 、F 、G 与顶点不重合），FG ⊥BE ，垂足为H ．
（1）求证：FG ＝BE ；
（2）联结FE 、EG 、GB ，设AE ＝x ，S 四边形BFEG ＝y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．
图1
动感体验
打开几何画板文件名“20静安25”，拖动点E 在AD 上运动，观察函数图像，可以体验到，y 随x 的增大而增大．拖动点E 在AD 上运动，拖动点F 在AB 上运动，可以体验到，△ABE 与△MFG 始终保持全等．
满分解答
（1）如图2，作FM ⊥CD 于M ，得矩形AFMD ．
所以FM ＝AD ＝AB ．
因为FG ⊥BE ，所以∠1＋∠BFH ＝90°．
又因为∠2＋∠BFH ＝90°，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2．
所以△ABE ≌△MFG ．所以FG ＝BE ．
（2）如图2，在Rt △ABE 中，AE ＝x ，AB ＝1，所以222=+BE AE AB ＝21+x ．
如图3，y ＝S 四边形BFEG ＝12⋅BE FG ＝212
BE ＝212+x ． 定义域是0＜x ＜1．
图2 图3
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线483
y x =-+与x 、y 轴分别交于点A 、B ，此直线向下平移后与y 轴相交于点C 、与x 轴相交于点D ，四边形ABCD 的面积为18．
（1）求直线CD 的表达式；
（2）如果点E 在直线CD 上，四边形ABED 是等腰梯形，求点E 的坐标．
图1
动感体验
打开几何画板文件名“20静安26”， 可以体验到，四边形ABED 有一组对边平行，当另一组对边EB 与DA 相等时，四边形ABED 是等腰梯形或平行四边形．
满分解答
（1）如图2，由483
y x =-+，得A (6, 0)，B (0, 8)． 所以S △OAB ＝12⋅OA OB ＝1682
⨯⨯＝24． 设直线CD 的表达式为43=-+y x b ，则C (0, b )，D (34
b , 0)． 因为S 四边形ABCD ＝18，所以S △COD ＝24－18＝6．
所以13624
⨯⨯=b b ．解得b ＝±4（舍去负值）． 所以直线CD 的表达式为443
=-+y x ． （2）【方法一】如图3，已知A (6, 0)，B (0, 8)，D (3, 0)，设E (x ,443
-+x )． 因为ED //AB ，所以四边形ABED 是梯形．
若四边形ABED 是等腰梯形，那么EB ＝DA ．
根据EB 2＝DA 2列方程，得2224(48)(63)3
+-+-=-x x ． 整理，得22596630++=x x ．
解得x1＝
21
25
-，x2＝－3（此时四边形ABED是平行四边形，舍去）．
所以
E(
21
25
-,
128
25
)．
【方法二】如图4，在x轴上取点M，使MA＝MB，那么MB与CD的交点就是点E．设M(x, 0)．根据MA2＝MB2列方程，得x2＋82＝(6－x)2．
解得x＝
7
3
-．所以M(
7
3
-, 0)．
由B(0, 8)、M(
7
3
-, 0)，得直线BM的解析式为y＝
24
8
7
+
x．
联立
24
8
7
4
4
3
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
y x
y x
，
．
解得
21
25
128
25
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
x
y
，
．
所以E(
21
25
-,
128
25
)．
【方法三】如图3，已知A(6, 0)，B(0, 8)，D(3, 0)，设E(x,
4
4
3
-+
x)．
因为等腰梯形的对角线相等，根据CA2＝DB2列方程．
【方法四】设AB的中点为M(3, 4)，根据MD2＝MC2列方程．
图2 图3 图4 例2020年上海市闵行区初二下学期期末第25题
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1
2
BC，点E为BC中点，联结ED，BD．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果∠ADB＋∠DCB＝90°，求证：四边形ABED是菱形．
图1
打开几何画板文件名“20闵行25”，拖动点D在平面上运动，可以体验到，四边形ABED 始终保持平行四边形的形状不变，当点D落在半圆上时，四边形ABED是菱形．
满分解答
（1）如图2，因为点E为BC中点，所以BE＝EC＝1
2 BC．
已知AD＝1
2
BC，等量代换，得AD＝BE．
又因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形．
（2）如图3，因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC．
已知∠ADB＋∠DCB＝90°，等量代换，得∠DBC＋∠DCB＝90°．
所以∠BDC＝90°，△BCD是直角三角形．
又因为DE是斜边BC的中线，所以DE＝BE．
所以四边形ABED是菱形．
图2 图3
例2020年上海市闵行区初二下学期期末第26题
如图1，在正方形ABCD中，AB＝4．点M是边AB上的任意一点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝90°．联结MN，与正方形ABCD的对角线AC交于点E．设AM＝x，AE＝y．
（1）求证：DM＝DN；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结BE，当△MBE是以BM为腰的等腰三角形时，求AM的长．
图1
打开几何画板文件名“20闵行26”，拖动点M在AB上运动，可以体验到，△MAD与△NCD 始终保持全等，△MEF与△NEC始终保持全等．观察函数图像可以体验到，y随x的增大而增大．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点M在AB上运动，可以体验到，△MBE 始终保持等腰三角形的形状不变，当点M落在圆上时，△MBE是等边三角形．
满分解答
（1）如图2，由∠ADC＝∠MDN＝90°，得∠ADM＝∠CDN．
又因为∠DAM＝∠DCN＝90°，DA＝DC，所以△DAM≌△DCN．
所以DM＝DN．
（2）如图3，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，所以AC＝42．
作MF⊥AB，交AC于点F，得等腰直角三角形AMF．
所以FM＝AM＝CN＝x．所以AF＝2x．
由MF//BC，得∠FME＝∠CNE．
又因为∠MEF＝∠NEC，所以△MEF≌△NEC．
所以FE＝CE＝1
2
CF＝
422
-x
．
所以y＝AE＝AC－CE＝
422
42
2
-
-
x
＝
422
2
+x
．
定义域是0＜x≤4．
图2 图3
（3）如图3，因为△MEF≌△NEC，所以ME＝NE．
所以BE是Rt△MBN斜边上的中线．
所以BE＝ME，△MBE是等腰三角形（如图4所示）．
如图5，若△MBE是以BM为腰的等腰三角形，那么BM＝BE＝ME．
所以△MBE是等边三角形．
在Rt△BMN中，BM＝4－x，BN＝4＋x，∠BMN＝60°，所以MN＝2BM＝8－2x．由勾股定理，得BM2＋BN2＝MN2．所以(4－x)2＋(4＋x)2＝(8－2x)2．
整理，得x2－16x＋16＝0．
解得x1＝843
-，或x2＝843
+（舍）．
所以AM＝843
-．
图4 图5
例2020年上海市浦东区初二下学期期末第26题
如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）若EF＝1，求四边形EBCF的面积．
图1
动感体验
打开几何画板文件名“20浦东26”，可以体验到，△EFB与△CGF是等底等高的两个三角形，四边形EBCF的面积可以转化为△BFG的面积．
满分解答
（1）如图2，因为EF是△ABC的中位线，所以EF//BC，．
所以四边形EBCF是梯形．
又因为BE＝1
2
AB，CF＝
1
2
AC，AB＝AC，所以BE＝CF．
所以四边形EBCF是等腰梯形．
（2）如图3，作FG//EC交BC的延长线于点G，得平行四边形CEFG．因为四边形EBCF是等腰梯形，所以BF＝CE＝GF．
又因为CE⊥BF，所以GF⊥BF．所以△BFG是等腰直角三角形．
因为EF是△ABC的中位线，所以BC＝2EF＝2．
所以BG＝BC＋CG＝BC＋EF＝2＋1＝3．
所以BF＝FG＝2
BG．所以S△BFG＝
1
2
BF FG＝2
1
4
BG＝
9
4
．
如图4，因为△EFB与△CGF是等底等高的两个三角形，所以S△EFB＝S△CGF．所以S四边形EBCF＝S△EFB＋S△CFB＝S△CGF＋S△CFB＝S△BFG．
所以S四边形EBCF＝9
4
．
图2 图3 图4
例2020年上海市浦东区初二下学期期末第27题
在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图1为P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为(1, 2)．
（1）如图2，点B的坐标为(b, 0)．
①若b＝－2，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为_______；
（2）如图3，点C在直线y＝－1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；
（3）如图4，等边三角形DEF的边DE在x轴，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为(1, 0)，点M的坐标为(m, 2)．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．
图1 图2 图3 图4
动感体验
打开几何画板文件名“20浦东27”，拖动点M在直线y＝2上运动，可以体验到，正方
形MKNL是否存在，取决于点N是否在边FE、FD上．
满分解答
（1）①如图5，矩形AGBH为点A，B的“相关矩形”．
由A(1, 2)，B(－2, 0)，得BG＝3，AG＝2．所以S矩形AGBH＝3×2＝6．
②如图6，若S矩形AGBH＝8，那么BG＝4．
当点B在点G左侧时，1－b＝4．所以b＝－3．
当点B在点G右侧时，b－1＝4．所以b＝5．
（2）如图7，矩形APCQ为点A，C的“相关矩形”．
若矩形APCQ为正方形，那么CQ＝AQ＝3．
当点C在点Q左侧时，C(－2,－1)．
由A(1, 2)、C(－2,－1)，得直线AC的表达式为y＝x＋1．
当点C在点Q右侧时，C(4,－1)．
由A(1, 2)、C(4,－1)，得直线AC的表达式为y＝－x＋3．
图5 图6 图7 （3）如图8，矩形MKNL为点M，N的“相关矩形”．
若矩形MKNL为正方形，那么ML＝NL，△MNL为等腰直角三角形．
因为△DEF是等边三角形，FO⊥DE，所以OD＝OE．
在Rt△ODF中，因为OD＝1，DF＝DE＝2，所以OF＝3．
图8 图9 图10 以点M的位置为分类标准，分两种情况讨论m的取值范围．
①点M在y轴左侧．
如图9，当点N与点E重合时，ML＝NL＝2，此时m＝－3．
如图10，当点N与点F重合时，ML＝NL＝23m32．
②点M在y轴右侧．
如图11，当点N与点F重合时，ML＝NL＝23m＝23
如图12，当点N 与点D 重合时，ML ＝NL ＝2，此时m ＝3．
所以m 的取值范围为－3≤m ≤3－2或2－3≤m ≤3．
图11 图12
例 2020年上海市普陀区初二下学期期末第24题
如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过点A (0, 4)和B (2, 0)．
（1）求直线AB 的表达式；
（2）把直线AB 向下平移，平移后的直线与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点D 的坐标为(0,－6)，点E 是直线CD 上的一点，如果四边形ABDE 是等腰梯形，求点E 的坐标．
图1
动感体验
打开几何画板文件名“20普陀24”，可以体验到，四边形ABDE 有一组对边平行，当另一组对边EA 与DB 相等时，四边形ABDE 是等腰梯形或平行四边形．
满分解答
（1）设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋4（k ≠0）．
代入点B (2, 0)，得2k ＋4＝0．解得k ＝－2．
所以直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋4．
（2）如图2，因为AB //CD ，D (0,－6)，所以直线CD 的表达式为y ＝－2x －6． 设E (x ,－2x －6)．
因为ED //AB ，所以四边形ABDE 是梯形．
若四边形ABDE 是等腰梯形，那么EA ＝DB ．
根据EA 2＝DB 2列方程，得2222(264)26+---=+x x ．
整理，得28120++=x x ．解得x 1＝－6，或x 2＝－2．
如图3，当x ＝－2时，四边形ABDE 是平行四边形，舍去．
所以E(－6, 6)．
图2 图3
例2020年上海市普陀区初二下学期期末第25题
如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，P是射线AC上的一点，联结BP，过点P作BP 的垂线交射线DC于点F．
（1）求证：PB＝PF；
（2）当点F在边DC上时，四边形PBCF的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数解析式和定义域；
（3）当以P、B、C、F为顶点的四边形的面积为12时，求AP的长．
图1 备用图
动感体验
打开几何画板文件名“20普陀25”，拖动点P在AC上运动，观察函数图像，可以体验到，y随x的增大而减小．观察左图，可以体验到，△BPM和△FPN始终保持全等，四边形PBCF的面积可以转化为正方形PMCN的面积．观察右图，可以体验到，四边形PBFC的面积可以看成是两个同底三角形的面积和．
满分解答
（1）如图2，作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，得正方形PMCN．
又因为BP⊥PF，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2．
又因为PM＝PN，所以△BPM≌△FPN（ASA）．
所以PB ＝PF ．
（2）由（1），得S 四边形PBCF ＝S △PBM ＋S 四边形PMCF ＝S △FPN ＋S 四边形PMCF ＝S 正方形PMCN ＝PN 2． 如图3，在等腰直角三角形ADC 中，AD ＝4，所以AC ＝42． 在等腰直角三角形PCN 中，PC ＝AC －AP ＝42-x ，
所以PN ＝22PC ＝2(42)2
-x ． 所以y ＝22[
(42)]2-x ＝2142162-+x x ．定义域是0≤x ＜22．
图2 图3
（3）以点F 的位置为分类标准，分两种情况讨论．
①如图2，当点F 在线段DC 上时，由（2），得S 四边形PBCF ＝PN 2＝12． 所以PN ＝23．所以PC ＝2PN ＝26．
所以AP ＝AC －PC ＝4226-．
②如图4，当点F 在线段DC 的延长线上时，同理可得△BPM ≌△FPN ．
由S 四边形PBFC ＝12⋅BC NF ＝12，得14122
⨯=NF ．所以NF ＝6． 如图5，在等腰直角三角形AM ′P 中，M ′P ＝BM ＝NF ＝6，所以AP ＝2M ′P ＝62．
图4 图5。