2021高考数学(文)二轮专题复习【统考版】课时作业16 函数的图象与性质 Word版含解析

课时作业16 函数的图象与性质
[A·基础达标] 1．已知集合M 是函数y ＝1
1－2x
的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4
的值域，则M ∩N ＝( )
A ．{x |x ≤1
2}
B ．{x |－4≤x <1
2}
C ．{(x ，y )|x <1
2且y ≥－4} D ．∅ 2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x
C ．y ＝|x |
D ．y ＝－x 2＋1 3．[2020·开封市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( )
A ．－15
B ．－7
C ．3
D ．15 4．[2020·福州市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( )
5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1
的图象如图所示，则f (－3)等于
( )
A ．－12
B ．－54
C ．－1
D ．－2
6．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝2＋m
2x －1，则f (－1)＝( )
A.32 B ．－32 C.12 D ．－12
7．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )
A ．ln(x ＋1)
B ．ln(x －1)
C ．e x ＋1
D ．e x －1
8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[0,1]
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )
10．[2020·西安西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，
偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则
( )
A ．sgn f (x )>0
B ．f (4 041
2)＝1
C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z )
D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z )
11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )
A ．f (x 1)>f (x 2)
B ．f (x 1)≥f (x 2)
C ．f (x 1)<f (x 2)
D ．f (x 1)≤f (x 2)
12．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)； ②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；
③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0.
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，f (2)，f (3)的大小关系是( )
A ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32>f (2)>f (3)
B ．f (3)>f (2)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32
C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32>f (3)>f (2)
D ．f (3)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32>f (2)
13．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1
x ，则f (2)＝________.
14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2(x ≥0)，
2x ＋2(x <0)，
若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值范围是________． 15．[2020·安徽六安一中模拟]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0,1]上的函数R (x )＝
⎩⎨⎧
1p
，x ＝q p (p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数)，
0，x ＝0，1或无理数.
若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，
当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
185＋f (lg 30)＝________.
16．[2020·南充市第一次适应性考试]已知函数f (x )＝x e x ＋x ＋2
e x ＋1
＋sin x ，
则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．
[B·素养提升]
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≤e ，
ln x ，x >e ，
则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )
2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x －a |＋1，x >1，
a x ＋a ，x ≤1
(a >0且a ≠1)，若f (x )有最小值，则
实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1 B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，1∪(1，＋∞) 3．[2020·四川成都新都诊断测试]已知定义在R 上的函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且满足对∀x ∈R ，都有f (x )－f (－x )＝0，则符合上述条件的函数是( )
A ．f (x )＝x 2
＋|x |＋1 B ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
C ．f (x )＝ln|x ＋1|
D ．f (x )＝cos x
4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2
时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－1x ＋4的所有x 之积为( )
A ．3
B ．－3
C ．－39
D ．39
5．已知函数f (x )＝x
x 2＋1
，关于函数f (x )的性质，有以下四个推断：①f (x )
的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )
是区间(0,2)上的增函数．其中推断正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a
x ，x ∈[－4，－1]的值域为________．
7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]
上是增函数．给出以下结论：
①函数f (x )的一个周期为4；
②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；
③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减； ④函数f (x )在[0,100]内有25个零点．
其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
8．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：
①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x ≥1，0，x <1；
⑤y ＝x x 2＋1.
其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)
课时作业16 函数的图象与性质
[A·基础达标]
1．解析：由题意得M ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，所以M ∩N ＝
⎣
⎢⎡
⎭⎪⎫－4，12.故选B.
★答案★：B
2．解析：根据y ＝2x 的图象知该函数非奇非偶，可知A 错误；由y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B 错误；当x ∈(0，＋∞)时，y ＝|x |＝x 为增函数，不符合题意，可知C 错误；由－(－x )2＋1＝－x 2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D 正确．故选D.
★答案★：D
3．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.
4．解析：y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B.综上，选A.
★答案★：A
5．解析：由题中图象可得a (－1)＋b ＝3. ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋5，x <－1，
ln (x ＋2)，x ≥－1.
故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. ★答案★：C
6．解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f (x )＝2＋m
2x
－1，则f (0)＝2＋m 1－1＝0，∴m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝1
2x －1.∴f (－1)
＝－f (1)＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1＝1
2.故选C.
★答案★：C 7．解析：因为y ＝ln x 关于直线y ＝x 的对称图形是函数y ＝e x 的图象，且把y ＝e x 的图象向左平移一个单位长度后，得到函数y ＝e x ＋1的图象，所以f (x )＝e x ＋1.故选C.
★答案★：C
8．解析：由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.
★答案★：C
9．解析：当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由1
2→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.
★答案★：D
10．解析：根据题意得函数f (x )是周期为2的函数，作出函数f (x )的大致图象，如图所示，
数形结合易知f (x )∈[0,1]，则sgn f (x )＝0或sgn f (x )＝1，可知A 错误；
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0412＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2 02012＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，可知B 错误； f (2k )＝0(k ∈Z )，则sgn f (2k )＝0(k ∈Z )，可知C 正确；当k ＝2时，sgn(f (2))＝sgn(0)＝0，|sgn 2|＝1，可知D 错误．
11．解析：由函数y＝f(x＋a)是偶函数，可得其图象关于y轴对称，因此函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，又f(x)在(－∞，a)上是增函数，所以函数y＝f(x)在(a，＋∞)上是减函数．由于x1<a，x2>a且|x1－a|<|x2－a|，所以x1到对称轴的距离比x2到对称轴的距离小，故f(x1)>f(x2)．★答案★：A
12．解析：对任意的x∈R，都有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数；因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；因为对任意的x1，x2∈[0,1]，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f(3)＝f(1)，f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
2＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2，f(2)＝f(0)，1>
1
2>0，所以f(3)>f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
2>f(2)，故选D.
★答案★：D
13．解析：方法一令1－ln x＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝
1
e1－t
，即f(x)＝
1
e1－x
，故f(2)＝e.
方法二由1－ln x＝2，得x＝
1
e，这时
1
x＝
1
1
e
＝e，即f(2)＝e.
★答案★：e
14．解析：如图，画出函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x2＋2(x≥0)，
2x＋2(x<0)
的大致图象，可知函数f(x)是增函数，若f(t＋1)>f(2t－4)，则只需要t＋1>2t－4，解得t<5.
★答案★：(－∞，5)
15．解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，
所以2是函数f(x)的周期，
则f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
18
5＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
18
5－4＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
5＝－f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
5＝－R⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
5＝－
1
5，
f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－
lg 3)＝0，所以f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
18
5＋f(lg 30)＝－
1
5.
★答案★：－
1
5
16．解析：f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ＝x (e x ＋1)＋2e x ＋1＋sin x ＝2
e x ＋1＋x ＋sin
x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2e x
e x ＋1
－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝
2e x ＋1＋2e x
e x ＋1
＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以 f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11.
★答案★：11
[B·素养提升]
1．解析：令g (x )＝f (e －x )，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e e －x ，e －x ≤e ，
ln (e －x )，e －x >e ，
即g (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
e e －x ，x ≥0，
ln (e －x )，x <0， 因此g (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，排除A ，C ；
又e e －0>ln(e －0)＝1，排除D ，因而B 项成立． ★答案★：B
2．解析：①当a >1时，x ≤1，f (x )＝a x ＋a 单调递增，此时a <f (x )≤2a ；1<x <a ，f (x )＝a －x ＋1单调递减，x >a ，f (x )＝x －a ＋1单调递增，故x >1时，f (x )的最小值为f (a )＝1.故若f (x )有最小值，则a >1.②当0<a <1时，x ≤1，f (x )＝a x ＋a 单调递减，此时f (x )≥2a ；x >1，f (x )＝x －a ＋1单调递增，此时f (x )>2
－a .故若f (x )有最小值，则2a ≤2－a ，得0<a ≤2
3.综上，实数a 的取值范围
是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，23∪(1，＋∞)．故选C. ★答案★：C
3．解析：对于A ，函数f (x )＝x 2＋|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋x ＋1，x ≥0，x 2－x ＋1，x <0
为偶函
数，但在(0，＋∞)上单调递增，所以A 不符合题意；对于B ，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12|x |
为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以B 符合题意；对于C ，函数f (x )＝ln|x ＋1|的定义域为{x |x ≠－1}，其图象不关于原点对称，不具有奇偶性，所以C 不符合题意；对于D ，函数f (x )＝cos x 为偶函数，但在(0，＋∞)上不具有单调性，所以D 不符合题意．故选B.
★答案★：B
4．解析：因为函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以直线x ＝0是其图象的对称轴，从而直线x ＝2就是函数y ＝f (x )图象的对称轴．因为f (x )＝f (4－x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或4－x ＝1－1x ＋4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋
3x －3＝0，Δ>0，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝－3；由4－x ＝1－
1x ＋4
，得x 2＋x －13＝0，Δ>0，设方程的两根为x 3，x 4，则x 3x 4＝－13，所以x 1x 2x 3x 4＝39.故选D.
★答案★：D
5．解析：函数f (x )的定义域满足x 2＋1≠0，故为全体实数，①正确；
当x ＝0时，f (x )＝0，当x >0时，f (x )＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以0<1x ＋1x
≤1
2，
又f (－x )＝－x x 2＋1
＝－f (x )，故f (x )为奇函数，所以x <0时，－1
2≤f (x )<0，故
函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12，故②③正确；当x >0时，f (x )＝1x ＋1x
，因为y ＝x ＋1x 在(0,1)上单调递减，在[1,2)上单调递增，所以f (x )＝x
x 2＋1
在(0,1)上
单调递增，在[1,2)上单调递减，故④错误．选C.
★答案★：C
6．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所
以g (x )＝2
x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，
即⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－2，－12. ★答案★：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－2，－12
7．解析：令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，得f (－2)＝0，由于函数f (x )为偶函数，故f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为4，故①正确．由于函数f (x )为偶函数，故f (－4＋x )＝f (4－x )＝f (4－8－x )＝f (－4－x )，所以直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，画出函数图象的大致趋势如图所示．由图可知，函数f (x )在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (98)＝0，零点的周期为4，所以f (x )在[0,100]内共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的序号有①②④.
★答案★：①②④ 8．解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1
－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4>0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x 是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x ≥1，0，x <1，
当x <1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，故其是
“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1
，当x ≠0时，y ＝1
x ＋1x
，不是R 上的增函
数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.
★答案★：②④
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