高三文科 直线与平面平行的判定及其性质

高三 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间： 11.2
第一部分 基础知识梳理 1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a ⊄β，b ⊂α，且a ∥b ⇒α∥β； (3)其他判定方法：γ∥β；a ⊂γ⇒a ∥β.
2．直线和平面平行的性质定理：a ∥γ，a ⊂β，γ∩β＝l ⇒a ∥l. 3．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：a ⊂γ，b ⊂γ，a ∩b ＝M ，a ∥β，b ∥β⇒γ∥β；
(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂γ，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒γ∥β. 4．两个平面平行的性质定理 (1)γ∥β，a ⊂γ⇒a ∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ⇒a ∥b. 5．与垂直相关的平行的判定 (1)a ⊥γ，b ⊥γ⇒a ∥b ； (2)a ⊥γ，a ⊥β⇒γ∥β. 考试注意 1.一个关系
平行问题的转化关系：
2.两个防范
(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．
(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
课前热身（三角形的中位线）
1.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
2.已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
第二部分考点解析
考向一直线与平面平行的判定与性质
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。

【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
变式练习 1．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点. （1）求证：EO‖平面PCD ；（2）图中EO还与哪个平面平行？
2.在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为棱BC、C
1
D
1
的中点. 求证：EF∥平面BB
1
D
1
D.
平行线分线段成比例
1.如图所示，正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，侧面对角线AB
1
，BC
1
上分别有两点E，F，且B
1
E=C
1
F.
求证：EF∥平面ABCD.
2.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β,点E，F分别在线段AB，CD上，
且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求证：EF∥β;
（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.
3.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
考向二平面与平面平行的判定与性质
定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行
【例2】如图，在正方体ABCDA
1B
1
C
1
D
1
中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A
1
C
1
B；
证明面面平行的方法有：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
【训练2】如图，在三棱柱ABCA
1B
1
C
1
中，E，F，G，H分别是AB，AC，A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA
1
∥平面BCHG.
第三部分 课堂练习
1．下面命题中正确的是( )．
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行． A ．①③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④
2．平面γ∥平面β，a ⊂γ，b ⊂β，则直线a ，b 的位置关系是( )． A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行或异面
3. 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 为BB 1上一点， M 为AB 的中点，N 为BC 的中点. 求证：MN ∥平面A 1C 1D ；
4.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.
求证：PB//平面 AEC ；
5．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN ∥平面PAD ；
E
P N
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B A
6．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．
求证：MN ∥平面PAD ；
7.如图，在三棱柱ABC —A1B1C1中， D 是 AC 的中点。

求证：AB 1//平面DBC 1
8.如图，在长方体1AC 中，,E P 分别为11,BC A D 的中点，,M N 分别为1,AE CD 的中点，
1,2AD AA a AB a ===。

求证：//MN 平面11ADD A 。

P
A B
C D
M
N
C
9.已知四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 的中点处，．求证：
平面MNQ ∥平面PBC ．
10．ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，E 是棱BC 的中点。

求证：BD 1//平面C 1DE
11.在三棱柱111ABC A B C 中， D 为
BC 中点.求证：1//A B 平面1ADC ；
A
B
C
D
C 1
A 1
B 1。