复变函数课件

Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例 2.计算ln(4).
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9( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y | e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 . (3) limez 不.
.
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26
t-域
Matlab code
1
0.8
syms t,w;figure(1);
0.6
ezplot((sin(t))./t,[-50,50]); 0.4
f(t)=sin(t)/t
Fw=fourier((sin(t))./(t),w);0.2
figure(2);
0
ezplot(Fw,[-5,5])
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pL nzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
q
q
p
当 k 0 ,1 , ,q 1 时 ,z q 共 有 q 个 不 同 取 值 q 值 .
东南大学数学系(第三版)
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主要内容
第七－九章不讲 共9周36课时
Sin & Cos 分离变量法(有界) Bessel Legendre
“三类典型方程” 求 ＋ “边界条件”解
行波法与积分变换法(无界)
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Green函数法(有界或无界)
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预备知识
1基本概念 偏微分方程(PDE): 含有未知多元函数及其偏导的方程，如
• 双曲函数与反双曲函数
sh z ez ez Arsh z Ln(z z 2 1), 2
ez ez
chz
Arch z Ln(z
z 2 1),
2
t h z sh z Arth z 1 Ln(1 z ),
ch z
2 1 z
coth z ch z Arth z 1 Ln(1 z ).
j
(t0)
Conditions
Properties • 线性性质
• 对称性质(无)
• 延迟、位移性质
LL[1f[F(t(st0)a])]eesta0tLf[(ft)(t)]
• 相似性质
L[f(at)]1F(s),a0
aa
23
Con’t
• 卷积定理
• 卷积定理
Def:
f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d.Def:
• 4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建 林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.
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017－44/1－2
2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
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《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(导数)
( 5 ) 为 无 理 数 或 复 数 时 ， z e l n z e i 2 k ( k 0 , 1 , 2 , ) 无 穷 多 值 函 数 .
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MATLAB及在电子信息课 程中的应用( 第3版 )
陈怀琛 等 编著,
电子工业出版社, 2006.
电路 信号与系统 数字信号处理 控制系统
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幂整函数 w z 3 的图像
虚部
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21
根式函数 w z1/2的图像
虚部
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Fourier & Laplace Transform
Define
F() f(t)ejtdt
f(t)21
F()ejtd
Conditions
Properties • 线性性质
-0.2
-0.4
-50 -40 -30 -20 -10
0
10 20 30 40 50
t
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W-域
(heaviside(w+1)-heaviside(w-1))
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
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-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
w
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《数学物理方程与特殊函数》
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1.
函数图像
2.性质
(1)单值性
(2)周期性 T 2. (3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
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2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
y0ez ex.
z
( 4 ) 解 析 性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( e z ) ' e z .
3.举例 例1.计算e3i4.
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2.3.2 对数函数
1.定义 指 数 函 数 的 反 函 数 , 满 足 e w z ( 0 ) 的 w ,即
2.性质
(1)多值性
主值支
w Lnz
函数图像
u u u 2 u F (x 1 ,x2, ,xn,u ; x 1, x2, , xn; x2 1, ) 0
其中: uu(x1,x2 为,多,x 元n)函数.
方程的阶: 未知函数导数的最高阶数；
方程的次数: 最高阶偏导的幂次；
线性方程: 未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的
称为线性方程，否则就是非线性的；
自由项:
不含未知函数及其导数的项；
齐次方程: 没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，
2021/6/16 否则称为非齐次的；
31
Con’t
方程的解: 若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为
t
F[
f(x)dx] 1 F()
j
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f(n 1)(0).
F (n )(s) L [( t)nf(t)]
• 积分性质
L[ t f(t)dt]1F(s)
0
s
F(s)dsL[
f
(t)]
s
t
24
常见函数的Fourier变换
(1). f
(t)
1, | t | a
0
,
els
e
F ( )
2a
• f微1(t)分f2(性t)d t质2 1 F 1()F 2()d
1 L[f(t)]1esT
Tf(t)estdt
0
• 微分性质
L [f(n)(t)]snF(s)sn 1f(0)sn2f'(0)
F[f (n)(t)](j)nF() F(n)()F[(jt)n f(t)]
• 积分性质
t
f1 (t)*f2(t)0f1 ()f2 (t)d.(t 0 )
F[f1(t)*f2(t)]F1()F2()
F[f1(t)
f2(t)]21
F1()*F2()
• 乘积定理及Parseval定理
L [f1 ( t)* f2 ( t) ] L [f1 ( t) ] L [f2 ( t) ]
• 周期函数的像函数
13
小结
初等函数是复变函数的主要研究对像.
介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等 函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.
要求: 会计算基本初等函数值.
展望
第三章 复变函数积分.
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结论:一般情形下幂函数为多值函数
(1 ) 0 z z0 e 0 L n z 1 ; 函数图像
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2.3.5 幂函数
1.定义
z e L n z ( C , z 0 ) ; 规 定 z 0 , R 时 , z 0 .
2. 对 具 体 取 值 进 行 讨 论
3.举例
例3.计算下列函数值 (1). 31i , (2).i2i, (3).1 2.
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sh z
2 z 1
注：双曲函数与三角函数的关系为
函数图像
Q:双曲正(余)弦的单值性、 周期性、奇偶性如何？
s h z i s i n ( i z ) , c h z c o s ( i z ) , t h z i t a n ( i z ) , c o t h z i c o t i z .
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常见函数的Laplace变换
Attention: t-域函数f(t)的理解应该为t为非负！
L[1] 1 , L[u (t )] 1 .
s
s
L[eat ] 1 , L[ (t)] 1. sa
L[sin
t]
2
s2
,
L[cos t]
2
s
s2
L[t meat ]
(s
m! a )m1
• 对称性质
F [ F ( t) ] 2f( )
• 延迟、位移性质
F F[1f[(Ft(t0)]0)e]jwet0Fjw [0tff(t()t])
•
相似性质 F[f (at)]
1
F().
|a| a
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Define
F(s) f(t)estdt 0
f(t)21j
jF(s)estds.
互 为
( 2 ) n z n e n L n z e n [ l n | z | i ( a r g z 2 k ) ] e n l n | z | e i n a r g z | z | n e i n a r g z 单 值 ;
反 函 数
( 3 ) 1 ( n ) z 1 n e 1 n L n z |z |1 n e i a r g z n 2 k ( k 0 , 1 ,,n 1 ) n 值 ; n
复变函数
复变积分
第六－七章不讲 共9周36课时
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace变换
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4
复球面
2021/6/16
5
4.4 罗朗级数
2021/6/16
6
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
虚部
指数函数w=exp(z)的图像
2021/6/16
16
对数函数w=Ln(z)的图像
2021/6/16
虚部
实部
17
三角函数w=sin(z)的图像 虚部
2021/6/16
18
反三角函数w=Arctan(z)的图像 虚部
2021/6/16
19
双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)的图像 虚部
2021/6/16
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反三角函数
定义 如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为
w A rcsinz iL n (iz1z2).
同样，有
w A rcco sz iL n(zz2 1 )
2021/6/16
wArctanz1iLnzi. 2 iz
均为多值函数.
函数图像
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2.3.4 双曲与反双曲函数
sin a a
.
抽样函数 s i n t t
(2). f
(t)
eat , t 0, else
0,a
0
F ( )
a
1 j
.
1, t 0
(3).u (t )
0,
e
lse
F ( )
1 j
( ).
(4).常见广义Fourier变换
F[(t)]1F[1]2()F[tn]2jn(n)().
F[ej0t]2(0) F F[[csions00tt]][[((00))((00))]].,
《复变函数与积分变换》(第二版)
华中科技大学数学系
教师 黄志祥(博士)
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参考教材
• 1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社， 2007年4月.
• 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业 出版社，2006年7月.
• 3. MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈 怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.
w L n z l n |z | i A r g z l n |z | i ( a r g z 2 k ) .
w l n z l n | z | i a r g z L n z l n z i 2 k , k Z .
(2)运算性 (3)解析性
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);