新教材高中物理第三章相互作用__力4力的合成和分解导学案新人教版必修第一册

4．力的合成和分解
物理观念：1.知道什么是共点力。

2.知道合力和分力的概念，能从力的作用效果上理解合力和分力。

3.知道力的合成、力的分解，理解力的合成和分解的规律——平行四边形定则。

4.知道矢量和标量，知道平行四边形定则是矢量相加的普遍法则。

科学思维：1.体会等效替代的物理思想。

2.知道合力随分力夹角的变化情况，知道合力的取值范围。

3.会用作图法和计算法求合力或分力。

一 共点力、合力和分力
1．共点力：几个力如果都作用在物体的□01同一点，或者它们的□02作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。

2．合力：假设一个力单独作用的□
03效果跟某几个力共同作用的□04效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。

3．分力：假设几个力共同作用的□
05效果跟某个力单独作用的□06效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。

二 力的合成和分解
1．定义：在物理学中，我们把求几个力的合力的过程叫作□
01力的合成，把求一个力的分力的过程叫作□
02力的分解。

2．平行四边形定则：求两个力的合成，如果以表示这两个力的有向线段为□03邻边作平行四边形，这两个邻边之间的□
04对角线就代表合力的大小和方向。

3．多个共点力合成的方法：先求出任意两个力的□
05合力，再求出这个合力跟□06第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

4．分解法则：力的分解同样遵从□07平行四边形定则。

把已知力F 作为平行四边形的□08对角线，与力F 共点的平行四边形的两个□
09邻边就表示力F 的两个分力。

同一个力F 可以分解为□
10无数对大小、方向不同的分力。

三 矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向，相加时遵从□
01平行四边形定则的物理量叫作矢量。

如力、位移、速度、加速度等。

2．标量：只有大小，没有方向，相加时遵从□
02算术法则的物理量叫作标量。

如质量、路
程、温度、功、电流等。

1．判一判
(1)合力与分力同时作用在一个物体上。

( )
(2)由作出的力的平行四边形可知，合力可能小于分力。

( )
(3)作用于不同物体上的两个力，只要作用线交于一点，就可以进行力的合成。

( )
(4)一个力不可能分解出比它自身大的力。

( )
(5)由于矢量的方向用正负号表示，故具有正负值的物理量一定是矢量。

( )
(6)矢量与标量的本质区别是它们的运算方法不同。

( )
提示：(1)×(2)√(3)×(4)×
(5)×具有正负值的物理量不一定是矢量，如温度有正负值，但它是标量。

(6)√判断一个物理量是标量还是矢量，不是看它是否有方向或有正负值，而是看它的运算采用什么法则。

2．想一想
(1)受力分析时合力和分力都要分析吗？
提示：合力和分力是一种等效替代的关系，受力分析时只能分析其中一种。

(2)如图所示，为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥，在引桥上，汽车的重力有什么作用效果？从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？
提示：汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压桥面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。

高大的桥建造很长的引桥可以减小桥面的坡度，即减小汽车重力沿桥面向下的分力，使行车更安全。

课堂任务合力和分力的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：如图所示，两个孩子共同提起一桶水，使水桶保持静止；一个成年人提起同样的一桶水并使之保持静止。

那么这两个孩子对水桶的作用效果与这个成年人对水桶的作用效果相同吗？
提示：都是把同样的一桶水提起并使之保持静止，作用效果相同。

活动2：这两个孩子对水桶的作用力F1、F2能否用这个成年人的作用力F来代替？这体现了一种什么思想方法？
提示：如图甲所示，F1、F2共同作用的效果与水桶的重力平衡。

如图乙所示，F的作用效果也与水桶的重力平衡。

从这个角度来说，F与F1、F2是一种等效关系，可以等效替代。

这体现了等效替代的思想方法。

活动3：这两个孩子的力是不是就是这个成年人的力？为什么？
提示：这两个孩子的力产生的效果和这个成年人的力产生的效果相同，但是这两个孩子的力和这个成年人的力施力物体不同，它们不是同一个力。

合力与分力的关系
例1 (多选)关于力F1、F2及它们的合力F，下列说法正确的是( )
A．F一定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．F1、F2一定是同种性质的力
C．F1、F2一定是同一个物体受到的力
D．F1、F2与F可以是物体同时受到的三个力
(1)合力与分力的关系是什么？
提示：等效替代的关系。

(2)两分力的性质一定相同吗？
提示：不一定相同。

[规范解答] 两个分力的作用效果与其合力的作用效果一定是相同的，合力可以等效替代两个分力，A正确；F1、F2可以是同种性质的力，也可以是不同性质的力，B错误；F1、F2一定是同一个物体受到的力，作用在两个物体上的力是不能合成的，C正确；F的作用效果与F1、F2共同作用的效果相同，但是F1、F2与合力F不能是物体同时受到的三个力，D错误。

[答案] AC
规律点拨
合力的作用效果与它的分力共同作用的效果相同，但不能理解为物体在受到这些分力作用的同时，还受到合力的作用。

在力的合成中，分力是实际存在的，每个分力都有与之对应的施力物体，而合力是一个设想的力，是“虚拟”的，没有与之对应的施力物体。

而在力的分解中，合力是实际存在的，分力是设想的力。

[变式训练1](多选)关于力的合成，下列说法中正确的是( )
A．一个物体受到两个力的作用，求出它们的合力，物体便受到三个力的作用
B．如果一个力的作用效果与几个力共同作用的效果相同，这个力就是那几个力的合力C．不同种类的力，不能进行合成
D．某个力单独作用与其他几个力共同作用使物体发生的运动状态变化相同，则这个力就是那几个力的合力
答案BD
解析一个物体受到两个力的作用，这两个力是实际存在的力，而合力则是与这两个力效果相同的力，不是物体实际受到的力，A错误；合力与分力的关系是等效替代，等效即为相同的作用效果，B、D正确；力的合成中，分力的种类不一定相同，C错误。

课堂任务力的合成及应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：为了探究两个互成角度的力的合成规律，做了如图所示的实验。

实验中是如何保证F1、F2与合力F的作用效果是相同的？
提示：实验中，两次将轻质小圆环拉到同一位置O处并保持静止，我们就认为F1、F2与合力F的作用效果是相同的。

活动2：实验中如何把力直观形象又定量地表示出来？
提示：要想把力直观形象又定量地表示出来，需要作出三个力的图示。

活动3：根据多次实验，都得到图丁的实验结果，对于二力合成的规律，你的结论是什么？
提示：两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。

活动4：上述规律叫作平行四边形定则。

如何求多个力的合力？
提示：可以用平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

1．力的合成的规律
(1)平行四边形定则：求两个力的合成，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。

(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向。

三角形定则与平行四边形定则实质上是相同的。

2．两个力的合成
(1)作图法：根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时
a．若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。

b ．若F 1与F 2方向相反，则合力大小F ＝|F 1－F 2|，方向与F 1和F 2中较大的力的方向相同。

②两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解合力。

以下为求合力的三种常见特殊情况：
(3)合力大小与两分力夹角的关系
合力的大小不一定等于分力大小的代数和，也不一定比分力大。

合力可以大于分力，也可以等于分力，还可以小于分力。

两个大小一定的力进行合成时，合力的大小与两分力夹角θ的关系是：θ(0°≤θ≤180°)越大，合力越小；合力F 的范围是：|F 1－F 2|≤F ≤F 1＋F 2。

3．多个力的合成
(1)合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。

具体做法是先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

(2)合成技巧：求解多个力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
①将共线的力合成(方向相同或相反)。

②将相互垂直的力合成。

③将两个大小相等、夹角为θ(一般为60°或120°)的力合成。

④将两个夹角θ>90°且大小满足F 1
F 2
＝sin(θ－90°)的力合成(合力F 与F 1垂直)。

(3)三个力的合力范围的确定
①最大值：三个力方向均相同时，合力最大，F max ＝F 1＋F 2＋F 3。

②最小值
a ．若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。

b ．若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力。

F 3的大小介于F 1、F 2的和与差之间，也可以说成是任意两个力的大小之和
大于第三个力的大小，且任意两个力的大小之差小于第三个力的大小，即三个力的大小具有的特点和三角形三边长度具有的特点相同，这时三个力的合力的最小值为零。

例2 如图所示，为使电线杆稳定，在杆上加了两根拉线CA 和CB ，若每根拉线的拉力都是300 N ，两根拉线与地面的夹角均为60°，两根拉线在同一平面内。

求两根拉线的拉力的合力的大小和方向。

(1)求合力的方法有哪些？
提示：作图法、计算法。

(2)题中的力有什么特点？
提示：两个力大小相等，且夹角是60°。

[规范解答] 两根拉线的拉力沿拉线方向，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示它们的合力的大小和方向。

(1)解法一(作图法)：如图甲所示，自C 点作两条有向线段代表两拉力，夹角为60°。

用0.5 cm 长的线段表示100 N ，则代表两拉力的线段长都是1.5 cm ，作出平行四边形CB ′DA ′，
其对角线CD 表示F 1、F 2两拉力的合力F ，量得CD 的长度约为2.60 cm ，所以合力大小F ＝1000.5
×2.60 N＝520 N 。

用量角器量得∠DCA ′＝∠DCB ′＝30°，所以合力方向竖直向下。

(2)解法二(计算法)：如图乙所示，先画两根拉线的拉力的示意图，并以表示这两个拉力的有向线段为邻边作平行四边形，由于CA′＝CB′，故▱CB′DA′为菱形，两对角线互相垂
直且平分，∠A′CD＝∠B′CD＝30°，则合力F＝2F1cos30°＝2×300×
3
2
N≈519.6 N，方
向竖直向下。

[答案] 519.6 N 方向竖直向下
规律点拨
作图法与计算法的比较
1作图法简单、直观，但不够精确。

计算法结果精确。

应用作图法时，各力必须选定同一标度，并且合力、分力比例适当，分清虚线和实线。

2计算法一般只用于特殊情况下求合力，作图法适用于所有情况。

[变式训练2－1]如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段分别为一个正六边形的两个邻边和三条对角线。

已知F3＝10 N，则这五个力的合力大小为( )
A．0 B．20 N C．30 N D．40 N
答案 C
解析根据平行四边形定则，F1与F4的合力与F3大
小、方向均相同，F2与F5的合力与F3大小、方向均相同，这五个力的合力等于3F3，所以合力的大小为30 N，C正确。

[变式训练2－2]三个共点力的大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析这三个力合力的最小值不一定为零，合力不一定大于分力，A、B错误；若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，设三个力大小分别为3F0、6F0、8F0，由于其中任何一个力的大小都在其余两个力的合力大小的范围之内，故这三个力的合力可以为零，C正确；同理可知D错误。

课堂任务力的分解及应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：在课堂任务2的实验中，如果先用拉力F把小圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同将小圆环拉至O点，你能得出什么结论？
提示：从实验步骤看，F1和F2就是F的分力，这就变成了“探究力的分解规律”的实验，由于各个力的数据都没有改变，因此，力的分解也遵从平行四边形定则。

活动2：如图甲所示，已知力F，如果不加限制，可以分解出多少对分力？
提示：根据力的分解遵从平行四边形定则，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形。

也就是说，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。

活动3：如图乙所示，利用一根铅笔将拴有重物的细绳撑起，感受重物竖直向下拉细绳的力产生了哪两个作用效果？如图丙所示，小孩拉小车前进的过程中，小车受到的拉力有怎样的作用效果？如图丁所示，小孩滑滑梯的过程中，重力有怎样的作用效果？
提示：图乙中，重物竖直向下拉细绳的力有两个作用效果：一个是沿绳BO斜向下拉手指；另一个是使铅笔向里压手掌。

图丙中，小车受到的拉力有两个作用效果：一个是水平向前拉小车；另一个是竖直向上提小车。

图丁中，重力有两个作用效果：一个是使小孩沿滑梯下滑；另一个是使小孩压紧滑梯。

活动4：将活动3中小车受到的拉力、滑滑梯的小孩的重力按其作用效果进行分解，并求出各力的分力，分析这些分力是不是物体的真实受力？
提示：将小车受到的拉力分解，如图a所示，F1＝F cosθ，F2＝F sinθ；将小孩所受重力分解，如图b所示，F1′＝G cosα，F2′＝G sinα。

其中F1、F2和F1′、F2′不是物体的真实受力。

1．对力的分解的讨论
力的分解是力的合成的逆运算。

(1)没有限制条件的力的分解：一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。

因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图甲、乙所示)。

由图乙可知，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大，两分力越大。

(2)有限制条件的力的分解
①已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。

②已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。

③已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
a．当F sinα<F2<F时，有两解，如图甲所示。

b．当F2＝F sinα时，有唯一解，如图乙所示。

c．当F2<F sinα时，无解，如图丙所示。

d．当F2>F时，有唯一解，如图丁所示。

2．力的分解的两种典型方法
(1)力的效果分解法
力的效果分解法是最常用的分解方法，如上面的活动所示。

按力的效果分解的基本步骤：
①根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。

②根据合力和两个分力的方向作出力的平行四边形。

③利用数学知识分析、计算分力的大小。

(2)力的正交分解法
如果物体受的力比较多，求合力时用正交分解法比较好。

①定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。

②正交分解法求合力的步骤
a ．建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，x 轴和y 轴在选择时应使尽量多的力在坐标轴上，或使力的分解更简单。

b ．正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图所示。

c ．分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即F x ＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋…。

d ．求共点力的合力：合力大小F ＝F 2x ＋F 2y ，设合力的方向与x 轴正方向的夹角为α，则tan α＝F y F x。

3．常见的按力的作用效果分解的实例
实例 分析
在地面上的物体受斜向上的拉力F 而向右运动，拉力F 按
效果可分解为两个力：一是使物体沿水平地面前进的分力F 1；二是向上提物体的分力F 2。

F 1＝F cos α，F 2＝F sin α
质量为m 的物体静止在斜面上，其重力按效果可分解为两
个力：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F 1；二是使
物体压紧斜面的分力F 2。

F 1＝mg sin α，F 2＝mg cos α
质量为m 的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重
力按效果可分解为两个力：一是使球压紧挡板的分力F 1；
二是使球压紧斜面的分力F 2。

F 1＝mg tan α，F 2＝mg cos α
质量为m 的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力按
效果可分解为两个力：一是使球压紧竖直墙壁的分力F 1；
二是使球拉紧悬线的分力F 2。

F 1＝mg tan α，F 2＝mg cos α
质量为m 的物体被OA 、OB 绳悬挂于O 点，其重力按效果可
分解为两个力：一是对OA 的拉力F 1；二是对OB 的拉力F 2。

F 1＝mg tan α，F 2＝mg cos α
质量为m 的物体被绳悬挂在支架上而静止，绳对支架上B
点的拉力按效果可分解为两个力：一是拉伸AB 的分力F 1；
二是压紧BC 的分力F 2。

F 1＝F tan α，F 2＝F
cos α
例3 如图所示，接触面均光滑，挡板与斜面垂直，球处于静止状态，球的重力为G ＝50 N ，请用力的分解法求出球对挡板的压力和球对斜面的压力。

(1)本题中球的重力产生了怎样的作用效果？
提示：使球压紧挡板并压紧斜面。

(2)重力的两个分力的方向分别是什么？
提示：一个垂直于挡板，一个垂直于斜面。

[规范解答] 如图所示，根据球的重力的作用效果，把重力分解为垂直斜面和垂直挡板
的两个分力。

由几何知识可知：球对挡板的压力F N1＝F 1＝G sin30°＝12
G ＝25 N ，方向垂直于挡板向下；球对斜面的压力F N2＝F 2＝G cos30°＝32
G ＝25 3 N ，方向垂直于斜面向下。

[答案] 25 N ，方向垂直于挡板向下 25 3 N ，方向垂直于斜面向下
规律点拨
确定力的实际作用效果的技巧
若物体受三个力作用并处于平衡状态，确定其中一个力的实际作用效果时，可先作出物体所受的三个力的示意图，其中一个力的两个实际作用效果的方向一定在其余两个力的反向延长线上。

[变式训练3－1]将一个大小为10 N且有确定方向的力F分解成两个力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( ) A．有无数组解B．有两组解
C．有唯一解D．无解
答案 B
解析设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝F sin30°＝5 N。

因5 N ＜F2＝6 N＜10 N，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，则在分解时有两组解，故B正确。

[变式训练3－2]压榨机的内部结构如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链。

在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D。

已知L＝0.5 m，h＝0.1 m，F＝200 N，物块C的质量不计，且与左壁接触的面光滑，求物块D受到的压力。

答案500 N，方向竖直向下
解析根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则
F1＝F2＝F
2cosα。

而下方的杆对物块C 的力F 1′＝F 1，F 1′产生两个效果：
使物块C 压紧左壁和使物块C 压紧物块D ，因此可将F 1′分解，如图乙所示，则F 4＝F 1′sin α＝tan α2
F 。

由tan α＝L h ，得F 4＝2002×0.50.1
N ＝500 N ，可知物块D 受到的压力F 压＝F 4＝500 N ，方向竖直向下。

1．(合力的范围)有两个共点力F 1＝2 N ，F 2＝4 N ，它们的合力F 的大小可能是( )
A ．1 N
B ．5 N
C ．7 N
D ．9 N
答案 B
解析 由|F 1－F 2|≤F ≤|F 1＋F 2|知，它们的合力F 的大小范围为2 N≤F ≤6 N，B 正确。

2．(合力与分力的关系)下列关于合力和分力之间的关系的说法中正确的是( )
A ．合力就是分力的代数和
B ．合力总比某一分力大
C ．分力与合力的方向总是不一致的
D ．合力的大小可能等于某一分力的大小
答案 D
解析 合力是分力的矢量和，而不是代数和，A 错误；两个力的合力的大小在两分力的代数和与两分力的代数差的绝对值之间，故合力可能小于某一分力，也可能等于某一分力，B 错误，D 正确；当两分力的方向相同时，合力与分力的方向相同，C 错误。

3．(合力的范围)两个共点力F 1与F 2的合力大小为6 N ，则F 1与F 2的大小可能是( )
A ．F 1＝2 N ，F 2＝9 N
B ．F 1＝4 N ，F 2＝8 N
C ．F 1＝1 N ，F 2＝8 N
D ．F 1＝2 N ，F 2＝1 N
答案 B
解析 由于合力大小范围为：|F 1－F 2|≤F ≤|F 1＋F 2|，可以对每组数据进行简单加减确定其合力范围，只要6 N 在该范围内，即符合题目要求，所以B 正确。

4．(合力的计算)两个大小都是5 N 、夹角为120°的共点力，其合力的大小和方向为( )
A ．10 N ，方向与其中一个力的夹角为60°
B ．5 3 N ，方向与其中一个力的夹角为60°
C ．5 N ，方向沿两力夹角的角平分线
D．10 N，方向无法确定
答案 C
解析由题意可知，两个共点力的大小均为F＝5 N，之间的夹角为120°，如图所示，由平行四边形定则和几何知识可知，合力的大小也为 5 N，合力方向在两力夹角的角平分线上，故C正确。

5．(力的分解)将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是( )
答案 C
解析A中重力产生了使物体下滑的效果及挤压斜面的效果，故两分力即图中所示，A 正确；B中重力产生了向两边拉绳的效果，B正确；C中重力产生了向墙壁和斜面挤压的效果，故两分力应垂直于两接触面，C错误；D中重力产生了拉绳及挤压墙面的效果，D正确。

6．(力的分解)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。

当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向车轮，A、D错误；按照力的作用效果，可以将F沿水平方向和竖直方向分解，水平方向的分力产生使汽车减速的效果，竖直方向的分力产生使车轮向上运动的效果，B正确，C错误。

7．(力的分解)有一直角“V”形槽固定在水平面上，其截面如图所示，BC面与水平面间夹角为60°，有一质量为m的正方体均匀木块放在槽内，木块与BC面间的动摩擦因数为μ，
与AB 面间无摩擦。

现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动，则木块所受的摩擦力为
( )
A.12μmg
B.32
μmg C.22
μmg D ．μmg 答案 A
解析 将重力按照实际作用效果正交分解，如图。

故木块对BC 面的压力F 压＝F 2＝mg sin30°＝1
2mg ，滑动摩擦力为F f ＝μF 压＝12
μmg ，A 正确。

8. (求分力)甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO ′方向航行，甲用1000 N 的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO ′方向航行，乙的拉力至少应多大？方向如何？
答案 500 N 方向垂直于OO ′指向航行方向的右侧
解析 要使船沿OO ′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO ′方向。

在图中作平行四边形，可知当乙拉船的力的方向垂直于OO ′时，乙的拉力F 乙最小，其最小值为F
乙min
＝F 甲sin30°＝1000×12 N ＝500 N 。

9．(求合力)在同一平面内的四个共点力F 1、F 2、F 3、F 4的大小分别为19 N 、40 N 、30 N 和15 N ，方向如图所示，求它们的合力。

(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案 38.2 N ，方向与F 1夹角为45°斜向右上方
解析 本题若直接运用平行四边形定则求解，计算过程十分复杂。

因此，可采用力的正交分解法求解。

如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x 轴和y 轴上的合力F x 和F y ，有
F x ＝F 1＋F 2cos37°－F 3cos37°＝27 N ，
F y ＝F 2sin37°＋F 3sin37°－F 4＝27 N 。

将F x 和F y 合成，如图乙所示，合力：F ＝F 2x ＋F 2y ≈38.2 N，tan φ＝F y F x ＝1。

即合力的大小约为38.2 N ，方向与F 1夹角为45°斜向右上方。

10. (力的合成)(多选)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F 与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法中错误的是( )
A ．合力大小的变化范围是0≤F ≤14 N
B ．合力大小的变化范围是2 N≤F ≤10 N
C ．这两个分力的大小分别为6 N 和8 N
D ．这两个分力的大小分别为2 N 和8 N
答案 ABD
解析 由图可知当两力夹角为180°时，两力的合力为2 N ，则有|F 1－F 2|＝2 N ，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10 N ，则有 F 21＋F 2
2＝10 N ，解得这两个力的大小分别为6 N 、8 N ，C 正确，D 错误；当两个分力方向相同时，合力等于14 N ，当两个分力方向相反时，合力大小等于2 N ，由此可见合力大小的变化范围是2 N≤F ≤14 N，A 、B 错误。