重庆初三初中数学期中考试带答案解析

重庆初三初中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在0，-2，5，，-0．3中，负数的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2.下列方程一定是一元二次方程的是（）
A．B．
C．D．
3.下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
4.抛物线与轴的交点坐标是（）
A．(1，2)B．C．D．[来5.如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）
A．30°B．40°C．60°D．70°
6.函数的图像如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
7.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，E 为BC 上一点，DE 平分∠AEC ，则CE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，则第8个图形中花盆的个数为（ ）
A ．56
B ．64
C ．72
D ．90
9.2014年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是（ ）
10.已知-1是关于x 的方程
的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A ．
B ．－2
C ．
D ．
11.如下左图为二次函数（a≠0）的图象，则下列说法：
①a ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．
其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12.对于每个非零自然数n ，抛物线与x 轴交于A n 、B n 两点，以
表示这两点
间的距离，则的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.实数的相反数是．
2.方程x2=2x的解是．
3.函数中，自变量的取值范围是．
4.在函数中，若，那么函数的最大值是．
5.将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的点与重合，点在上．已知AB=AC=，将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2)，两个三角形重叠（阴影）部分的面积是
_____．
6.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与
△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF，B、E、C、G在一直线上，△DHE的面积的最小值是．
三、解答题
1.解一元二次方程．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、
BF．
求证：△ADE≌△CBF．
3.计算：（1）
（2）
4.我校初2016级举行了初三体育测试，现随机抽取了部分学生的成绩为样本，按 A(优秀)、B（良好）、C（及格）、D（不及格）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图．如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了_______名学生，其中∠1=
（2）将条形统计图在图中补充完整；
（3）初2016级目前举行了四次体育测试．小新同学第一次成绩为25分，第三次测试成绩为36分，若每次体育期末考试小欣体育成绩的增长率相同，求出这个增长率．
5.为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出1600盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？
6.对x，y定义一种新运算T，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求、的值；
②若关于的方程T有实数解，求实数的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则、应满足怎样的关系式？
7.如图1，抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；
若不能，请说明理由．
四、计算题
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
重庆初三初中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.在0，-2，5，，-0．3中，负数的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】任何正数前加上负号都等于负数．0加上负号就不是负数！在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最小的
负数，所有的负数都比自然数小，比零小（小于0 )的数．用负号（即相当于减号）“－”标记．
故选B
【考点】负数
2.下列方程一定是一元二次方程的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程，一
元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未
知数，且a≠0），因此可知A正确
【考点】一元二次方程
3.下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可知，故不正确；
根据整式的乘法（完全平方式）可知，，故不正确；
根据幂的乘方和合并同类项法则，，故不正确；
根据去括号法则，-（a-1）=-a+1，故正确．
故选D
【考点】整式化简
4.抛物线与轴的交点坐标是（）
A．(1，2)B．C．D．[来
【答案】D
【解析】根据y轴上的点的特点，x=0，可知y=2，因此与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选D
【考点】抛物线与坐标轴
5.如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【答案】A
【解析】先根据平行线的性质求出∠EFD=∠A=70°，再由三角形外角的性质即可得∠E=∠EFD-∠C=70°-40°=30°．故选A
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
6.函数的图像如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
【答案】C
【解析】由题意可知，可化为，因此y=3，由图像可知这时的x值有一个，因此有两个相等的实数根．
故选C
【考点】二次函数与一元二次方程的关系
7.如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE=AD=10，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE=8，则CE BC-BE=AD-BE=10-8=2．
故选B．
【考点】平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边，勾股定理
8.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，则第8个图形中花盆的个数为（）
A．56B．64C．72D．90
【答案】D
【解析】由题意可知：
第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32-3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42-4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52-5盆花，
…
第n个图形：正n+2边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2-（n+2）盆花，
则第8个图形中花盆的个数为（8+2）2-（8+2）=90盆．
故选：D．
【考点】规律探索，正多边形
9.2014年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）
【答案】A
【解析】童童的行程分为5段： 家至轻轨站，y 由0缓慢增加； 轻轨站等一会，y 不变；
乘轻轨去奥体中心，y 快速增加； 看比赛，y 不变；
车回家，y 快速减小．
结合选项可判断A 选项的函数图象符合童童的行程． 故选A ．
【考点】函数的图像与性质
10.已知-1是关于x 的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A ．
B ．－2
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，
，由x=1可知两一个根为x=-3．
故选A
【考点】一元二次方程根与系数的关系
11.如下左图为二次函数（a≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．
其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】①由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，可知a ＜0，故错误； ②由二次函数与x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），可知对称轴为x=
=1，即-=1，
因此可得b=-2a ，即2a+b=0，故正确；
③由函数的顶点在第一象限，因此可知，当x=1时，y=a+b+c ＞0，故正确；
④由二次函数与x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），图象开口向下，因此当-1＜x ＜3时，y ＞0，故正确． 共3个正确的． 故选C
【考点】二次函数的图像与性质
12.对于每个非零自然数n ，抛物线与x 轴交于A n 、B n 两点，以
表示这两点
间的距离，则的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】 先化简抛物线y=x 2-x+
=
，然后求出一元二次方程的根，知与x 轴的交点为（
，0），（
，0），根据两点间的坐标差求出距离
=-，找出规律解答，即可求出
A 1
B 1+A 2B 2…+A 2015B 2015=（1-
）+（
-）+…+（
-
）=1-=
．
故选D
【考点】二次函数与一元二次方程，规律探索
二、填空题
1.实数的相反数是 ． 【答案】3
【解析】根据只有符号不同的两数互为相反数，可知-3的相反数为3． 【考点】相反数
2.方程x 2=2x 的解是 ． 【答案】x 1=0，x 2=2
【解析】把方程先移项，然后根据因式分解法解方程可得x 1=0，x 2=2． 【考点】一元二次方程的解法 3.函数
中，自变量的取值范围是 ．
【答案】x≠-3
【解析】根据分式的意义，分母不等于0，可知x+3≠0，解得x≠-3． 【考点】分式的意义
4.在函数中，若，那么函数的最大值是 ． 【答案】-2 【解析】二次函数
的对称轴为直线x=-=1，然后由a=-1＜0，可知当x ＞1时，y 随x 的增大而
减小，因此在2≤x≤5内，x=2时，y 有最大值，最大值=-2． 【考点】二次函数的最值．
5.将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的点与重合，点在上．已知AB=AC=，将
△MED 绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2)，两个三角形重叠（阴影）部分的面积是
_____．
【答案】6+
【解析】设BC ，AD 交于点G ，过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F ，设FC=x ，则GF=FC=x ，然后由旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，根据锐角三角函数可知tan ∠FAG=，可知AF=
=
，所以x+
=2
+2，
解得x=2
，因此阴影部分的面积为
．
【考点】旋转的性质，锐角三角函数，三角形的面积
6.如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E 、F 分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度沿BC 、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，B 、E 、C 、G 在一直线上，△DHE 的面积的最小
值是 ．
【答案】
a 2
【解析】连接FH ，则FH ∥BE 且FH=BE ，FH ⊥CD ．因此△DFH 为直角三角形．设BE=x ，△DHE 的面积为y ，依题意y=S △CDE +S 梯形CDHG -S △EGH =×3a×（3a-x ）+×（3a+x ）×x-×3a×x=
x 2-ax+
a 2，y=
x 2-ax+
a 2=
（x-a ）2+
a 2，当x=
a ，即BE=
BC ，E 是BC 的中点时，y 取最小值，△DHE 的面积y 的最小值为
a 2．
【考点】正方形的性质，二次函数的综合应用
三、解答题
1.解一元二次方程． 【答案】
【解析】根据配方法或公式法求解方程即可．
试题解析：解：
【考点】一元二次方程的解法
2.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，连接DE 、
BF ．
求证：△ADE ≌△CBF ． 【答案】见解析
【解析】根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC ，AB=CD ，又点E 、F 是AB 、CD 中点，所以
AE=CF ，然后利用边角边即可证明两三角形全等．
试题解析：解： 证明：在平行四边形ABCD 中，∠A=∠C ，AD=BC ， ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴AE=CF ．
在△AED 和△CFB 中，
∴△AED ≌△CFB （SAS ）
【考点】平行四边形的性质，三角形全等的判定
3.计算：（1） （2）
【答案】（1）2
；（2）
【解析】（1）根据整式的乘法计算，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的混合运算的法则，先算括号内的，再把除变为乘法，分子分母约分化简即可． 试题解析：解：原式=2 解：原式=
【考点】整式的乘法，分式的乘除
4.我校初2016级举行了初三体育测试，现随机抽取了部分学生的成绩为样本，按 A(优秀)、B （良好）、C （及格）、D （不及格）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图．如图，请你结合图表所给信息解答下列问
题：
（1）本次调查共随机抽取了_______名学生，其中∠1= （2）将条形统计图在图中补充完整；
（3）初2016级目前举行了四次体育测试．小新同学第一次成绩为25分，第三次测试成绩为36分，若每次体育期末考试小欣体育成绩的增长率相同，求出这个增长率． 【答案】（1）100名 72°；（2）见解析；（3）增长率为20%
【解析】（1）根据条形图得出B 组共40人，利用扇形图可知B 组占总数的40%，利用两数相除即可得出总人数； （2）结合总人数以及B ，C ，D 三组人数即可得出A 组人数；
（3）利用一元二次方程的应用，结合增长率问题得出等式方程求出即可． 试题解析：解：（1）100名 72°
（2）补到20
（3）令增长率为x ， ∴25（1+x ）2=36，
∴x 1=0．2，x 2=-2．2（舍） 答：增长率为20%
【考点】扇形统计图，条形统计图，一元二次方程的解法
5.为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出1600盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？
【答案】（1）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；
（2）如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼600盒
【解析】（1）根据题意可设售价为x 元，则利润为（x-40）元，卖出的件数为（700-20x ），因此可列式，然后根据二次函数的最值求出最大利润；
（2）根据题意可让P=6000，然后解方程即可，再把解与58比较即可求得结果．
试题解析：解（1）P=（x ﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x 2+2400x ﹣64000=﹣20（x ﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P 最大值=8000元
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；
（2）由题意，得﹣20（x ﹣60）2+8000=6000，
解得x 1=50，x 2=70．
∵每盒售价不得高于58元 ∴x 2=70（舍去）
∴﹣20×50+1600=600
答：如果超市想要每天获得6000元的利润，那么超市每天销售月饼600盒
【考点】二次函数与一元二次方程
6.对x ，y 定义一种新运算T ，规定：
（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则
运算，例如：． （1）已知T （1，﹣1）=﹣2，T （4，2）=1．
①求、的值；
②若关于的方程T 有实数解，求实数的值；
（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则、应满足怎样的关系式？
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】（1）①已知两对值代入T 中计算求出a 与b 的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p 的范围即可；
（2）由T （x ，y ）=T （y ，x ）列出关系式，整理后即可确定出a 与b 的关系式．
试题解析：解：（1）①由题意得： 解得
②由题意得：
化简得：
解得：
（2）由题意得：
化简得：
【考点】二元一次方程组，一元二次方程
7.如图1，抛物线经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求抛物线和直线BC 的解析式；
（2）如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN ∥EF 交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N 的坐标；
若不能，请说明理由．
【答案】（1）BC：y=﹣x+4 （2）当P（2，6）时，△PCB的面积最大．（3）
【解析】（1）根据已知的点，利用待定系数法求得解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；然后表示出PQ，然后根据三角形的面积，得到二次函数，再根据二次函数的最值求得结果；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，然后过点M作MN∥EF，交直线BC于M，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；然后根据MN的距离，结合平行四边形的性质求解．
试题解析：解：（1）依题意，有：解得
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+4．
∴由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=﹣x+4
（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=﹣x+4；
过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；
∴PQ=（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x2+4x；
=PQ•OB=×（﹣x2+4x）×4=﹣2（x﹣2）2+8；
S
△PCB
所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．
（3）存在．
抛物线y=﹣x2+3x+4的顶点坐标E
直线BC：y=﹣x+4；当时，
过点M作MN∥EF，交直线BC于M，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；
∴MN=|（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x2+4x|；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形
|﹣x2+4x|=
由解得（不合题意，舍去）
【考点】二次函数的综合题
四、计算题
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到
AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明
△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
图3，证明思路与方法与图2完全相同．
试题解析：证明：
（2）如图1：过点E做SE平行于AD交AB于S点，
，
，
，
如图2：过点E做EH平行于AD交AB延长线于H点，
，
【考点】菱形的性质，等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形。