抽样分布t分布中心极限定理点估计矩估计最大似然法

抽样分布t分布中⼼极限定理点估计矩估计最⼤似然法
⽣物统计与实验设计-统计学基础-2&区间估计-1
正态分布参数:均值和⽅差
其中，选择1d是因为好算；通常，95%区分⼤概率事件和⼩概率事件，
当总体是正态分布时，可以利⽤常⽤抽样分布估计出样本参数：
抽样分布是样本估计量是样本的⼀个函数，在统计学中称作统计量（这就是说，统计量由样本值计算得到），因此抽样分布也是指统计量的分布。

以下是当总体满⾜正态分布时，样本均值也满⾜正态分布（抽样分布是样本均值的分布，此处是正态分布）样本均值的均值与⽅差和总体参数之间的关系：
如上式，若得到⼀次实验的样本，样本容量就是n，计算所有样本会得到⼀次实验的样本均值，多次实验会得到多次实验的样本均值，假如有600次实验则会得到600个样本均值，再对这600个样本均值进⾏计算，计算出样本均值的均值和⽅差，这个样本均值的均值和⽅差与总体参数满⾜上式，根据上式关系即可估算出总体均值和总体⽅差。

当总体不是正态分布，可利⽤中⼼极限定理估计出总体参数：
中⼼极限定理：n⾜够⼤则认为样本呈正态分布，因此其样本均数也呈正态分布。

如今，为了精确计算样本均数，存在三种常见的抽样分布（抽样分布是指统计量的分布，以上例为例，就是样本均值的分布），这⾥的计算是为了得到右边的参数部分。

最为常⽤的是t分布，它的特点是对于样本含量没有要求：
化简之后是下式：
t分布的期望和⽅差如下：
由以上期望和⽅差可知，t分布只与⾃由度有关系，与其他⽆关。

使⽤t分布作为抽样分布⽽不使⽤正态分布的理由是：对于⼤样本，当n⾜够⼤时，t分布和标准正态分布的曲线⼏乎重合；对于⼩样本，此时⾃由度为n-1，并不等同于正态分布（其实若样本容量⽐较⼩⽐如25，样本均值分布很⼤可能不是正态分布），⽽t分布在此时因为⾃由度的控制，使得曲线并⾮正态分布，⽐较符合客观事实，所以可以控制系统误差，⽐标准正态分布更准确。

若不使⽤t分布，则可以先使⽤特定数（⽐如30为界限，此处具体值依据具体问题）判断是⼤样本或是⼩样本，再选择分布：
当总体分布为正态分布，则样本指标的分布也采⽤正态分布，即⽤Z分布来进⾏统计推断。

当总体分布为⼆项分布（n很⼤，P有很⼩），即当np⼩于等于5 时，则样本指标的分布采⽤泊松分布来进⾏统计推断。

反之，当np⼤于等于5时，可⽤正态分布近似代替⼆项分布，则样本指标的分布采⽤正态分布来进⾏统计推断。

当⼩样本时：
以上是通过多个样本得到多个多个统计量再计算均值的⽅式，后⾯推出了⼀个样本便估计参数的⽅法。

⽬标是估计出尖值，即估计量：
参数估计可以使⽤点估计和区间估计，点估计完成了参数估计的从⽆到有，区间估计完成了参数估计的精细化：
矩估计：提出了⽤原点矩的⽅法建⽴样本矩与总体矩的关系
右边是总体矩左边是样本矩：eg，⼀阶样本矩等于参数均值。

所以矩估计的思路是：将总体（含有未知参数的式⼦，该式⼦就是由之前学过的不同分布推导或者通⽤求积分得到）和样本（含有统计量的式⼦，⼀般就是数值⼀个个加或做完处理后⼀个个加，⾮常初级）联系起来的桥梁是矩估计
特点：⽆论总体是出于何种分布（总体矩的表达形式有所不同），最终估计出来的总体参数（仅均值和⽅差）的表达式完全⼀致。

最⼤似然估计是⽤⼀组样本估计出总体参数的另⼀种⽅法，它的过程是⾸先建⽴似然函数，该似然函数是在通过样本得知总体分布之后，结合样本数n，建⽴在n个样本同时满⾜某分布之上，得到它们的联合概率密度，取对数（此步骤是为了简化计算，若有其他可化简的⽅法皆可，它并不参与最⼤似然的思想）最后对似然函数求最⼤值（即若估计⼀个参数求⼀阶导，和估计两个参数求⼀阶导和⼆阶导）。

通过⽐较矩估计的和最⼤似然估计的参数，可以得知这⼀统计量和矩估计量估计出的量是不⼀定是⼀样的（但对于总体是正态分布时，估计出的参数是⼀样的）
经验：先最⼤似然，再矩估计
在通过以上⽅式估计参数之后，通过加⼊估计参数的评判标准，判断何种参数最为可靠：
⽆偏性：估计的参数满⾜抽样分布，主要看与集中趋势的⽐较：若估计的参数是位于所有估计的参数中的集中区域，则认为给估计的参数是⽆偏的，否则就是有偏的，有偏常常是系统性错误造成的。